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Roland Charnay - 2004-20051 Apprentissages numériques de lécole au collège Apprentissages numériques de lécole au collège Conférence donnée à Angers le.

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1 Roland Charnay Apprentissages numériques de lécole au collège Apprentissages numériques de lécole au collège Conférence donnée à Angers le 2 février 2005 par Roland CHARNAY, IUFM de Lyon À la demande de lInspection Pédagogique Régionale de lacadémie de Nantes

2 Roland Charnay Apprentissages numériques de lécole au collège Apprentissages numériques de lécole au collège Enjeux, difficultés, évolutions

3 Roland Charnay Autour de 3 réflexions Les enjeux de ces apprentissages sur lensemble de la scolarité obligatoire Les connaissances attendues des élèves au terme de lécole primaire (programmes actuels) Les difficultés constatées, à partir de lanalyse des évaluations à lentrée en Sixième

4 Roland Charnay Organisation des programmes Cycle 3 de lécole primaireCollège Exploitation de données numériques Organisation et gestion de données, fonctions Connaissance des nombres entiers naturels Nombres et calcul Connaissance des fractions simples et des nombres décimaux Calcul Espace et géométrieGéométrie Grandeurs et mesure

5 Roland Charnay Plan Lapprentissage des nombres et de leurs désignations Lapprentissage du calcul La résolution de problèmes, avec un intérêt plus particulier pour la proportionnalité

6 Roland Charnay Les nombres et leurs désignations

7 Roland Charnay Entiers naturels Numération décimale et ordre sur ces nombres : depuis le CP Valeur positionnelle des chiffres peu évaluée à l'entrée en Sixième Deux résultats – Ecris en chiffres 25 dizaines 40,8 % – relation désignations orale-chiffrée relativement bien acquise 80 % à 90 %

8 Roland Charnay Quelle explication pour 25 dizaines ? Une remarque : Ecris en chiffres 7 unités 4 dixièmes est mieux réussi (54,8 %) Une explication : les termes comme dizaine… renvoient à une position et non à une valeur C'est la valeur positionnelle qui importe… … Et les relations entre valeurs

9 Roland Charnay Pour les écritures, pas de différence fondamentale entre naturels et décimaux fois plus 100 fois moins 2 4, fois plus 100 fois moins

10 Roland Charnay Décimaux Numération décimale et ordre : depuis le CM1 repris au collège Evaluations : difficultés pour 25 % à 50 % des élèves Au primaire comme au collège – travail insuffisant sur la compréhension – trop axé sur les techniques : revenir au sens chaque fois que c'est possible (ex 7 x 0,1 : c'est 7 dixièmes) – marquant de manière insuffisante les ruptures avec les entiers

11 Roland Charnay Ruptures principales Relativement à l'ordre – procédure de comparaison – intercalation Relativement à des procédures de calcul – notamment multiplication et division par 10, 100… Relativement au "sens" des opérations

12 Roland Charnay Fractions Approche limitée à l'école primaire une seule signification : 5/3 cest 5 fois 1/3 travail par le raisonnement (sans techniques) Peu évalué à l'entrée en Sixième

13 Roland Charnay Au collège : une place centrale et des difficultés nouvelles Nouvelle signification, comme quotient : 7/3 cest le tiers de 7 Comprendre l'équivalence : 7 fois le tiers de 1, cest pareil que le tiers de 7 7/3 est un nombre et non un calcul à effectuer Conception plus théorique : 7/3 est le nombre qui multiplié par 3 donne 7 Fractions avec des décimaux au numérateur et au dénominateur

14 Roland Charnay Des difficultés et un travail à faire au collège Le mot "quotient" – désigne le résultat d'un calcul au cycle 3 – désigne aussi un nombre (sans calcul) au collège L'équivalence des 2 significations de 7/3

15 Roland Charnay Evolution de la notion de nombre au cours de la scolarité Des entiers naturels aux décimaux : – renoncer à lidée de nombres qui se suivent – accepter lintercalation "sans fin" Passage aux fractions quotients : – accepter quun nombre ne sexprime pas nécessairement par une suite de chiffres Passage aux négatifs : – renoncer au fait quun nombre exprime une quantité ou la mesure dune grandeur

16 Roland Charnay Le calcul

17 Roland Charnay Deux questions Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ? Quels sont les besoins en calcul pour lapprentissage des mathématiques ?

18 Roland Charnay Apprendre à calculer… apprendre à rendre calculables des situations par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes) apprendre à traiter des calculs – de façon automatisée ou raisonnée – pour aboutir à un résultat exact ou approché apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine (Cf. initiation à lusage du tableur au collège)

19 Roland Charnay Quel calcul ? CALCUL AUTOMATISE CALCUL REFLECHI OU RAISONNE Résultat exact Résultat approché Calcul mental Résultats Procédures Procédures construites choix des arrondis Calcul écrit Techniques opératoires Procédures construites choix des arrondis Calcul instrumenté Calculs usuels Ex : quotient et reste avec

20 Roland Charnay Priorité au calcul mental Calcul dusage, utile dans la vie ordinaire Moyen privilégié de contrôle Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée) Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances, à leur représentation mentale Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement

21 Roland Charnay Le domaine de la multiplication et de la division NaturelsDécimaux Multiplication Cycle 2 Sens Calcul mental Cycle 3 Sens Calculs mental et posé Fin du cycle 3 Décimal par entier Sens Calculs mental et posé Collège Produit de 2 décimaux Division Cycle 3 Division euclidienne Sens Calculs mental et posé Collège Quotient décimal de 2 entiers Quotient de 2 décimaux

22 Roland Charnay L'extension du calcul aux décimaux et aux fractions suppose des restructurations de connaissances Sens de la multiplication – surtout liée, pour les entiers, à l'addition itérée Sens de la division – liée, sur les entiers, au partage Théorèmes implicites – La multiplication "agrandit" – La division "diminue"

23 Roland Charnay Compétences en calcul mental à l'entrée au collège Mémorisation ou automatisation Peu évaluée – Difficultés avec tables de multiplication – Quart de cent 67 % (Eva 2000) – Cent divisé par quatre 61 % (Eva 2000) – Trente-sept divisé par dix42 % (Eva 2003) – Trois fois zéro virgule cinq 44 % (Eva 2003)

24 Roland Charnay Calcul réfléchi Résultats contrastés sur les entiers % (Eva 2003) 405 – % (Eva 2003) % (Eva 2003) 60 – % (Eva 2003) 52 : 4 35 % (Eva 2000) Résultats plus faibles avec les décimaux 1,7 + 2,3 61 % (Eva 2003) 2,5 x 4 44 % (Eva 2003)

25 Roland Charnay Conclusion Nécessité de poursuivre au collège lentraînement au calcul mental – sous ses 2 formes : mémorisé et réfléchi – et ses 2 types de résultats : exacts et approchés Question des résultats nouveaux dont la mémorisation est utile (relatifs, carrés, racines carrées, puissances de nombres simples…)

26 Roland Charnay Résolution de problèmes

27 Roland Charnay Quelques constats

28 Roland Charnay Evaluation 6 e Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y aura-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %

29 Roland Charnay Procédures possibles Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Addition de 6 en 6 Addition (CE1) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Division par 6 Division (CM1)

30 Roland Charnay Une question Pourquoi des élèves qui disposent de lune ou lautre des connaissances permettant de résoudre ce problème… - ne pensent-ils pas… - nosent-ils pas… - ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question?

31 Roland Charnay Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. La plaque est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et pour largeur 10 cm. 12 cm 10 cm a) Calcule la longueur réelle dune étiquette. Ecris tes calculs. 44 % b) Calcule la largeur réelle dune étiquette. Ecris tes calculs. 23 % 22 % des élèves ont mesuré Raisonnement (exemple 2 : éva 6 e, 2000)

32 Roland Charnay Deux pistes de travail pour l'école et le collège inciter les élèves à initier des procédures de résolution originales, personnelles travailler la capacité à déduire et à articuler différentes étapes par un raisonnement approprié.

33 Roland Charnay Le cas de la proportionnalité

34 Roland Charnay Complexité liée à la variété des problèmes Types de problèmes – Reconnaître la proportionnalité – Recherche d'une quatrième proportionnelle – Problème de comparaison (partie/tout ; partie 1/ partie 2) – Proportionnalité "multiple" (ex : aire du triangle) Types de contextes – Proportionnalité fixée "socialement" – Proportionnalité "intrinsèque" (physique, géométrie) – Proportionnalité "fictive" (pourcentage, vitesse moyenne…)

35 Roland Charnay Complexité liée à la diversité des procédures Propriétés utilisées implicitement ou explicitement – linéarité – coefficient de proportionnalité – égalité de rapports… Sensibilité de ces procédures – aux grandeurs en relation (de même nature ou non) – aux nombres en jeu – au nombre de couples fournis Procédures particulières utilisées dans d'autres disciplines

36 Roland Charnay Des niveaux de conceptualisation différents Exemple : Avec 120 kg de blé, on obtient 100 kg de farine ? Combien de kg de farine avec 900 kg de blé ?

37 Roland Charnay Raisonnement contextualisé 1 Avec 120 kg de blé, 100 kg de farine Avec 5 fois plus de blé, 5 fois plus de farine Donc avec 600 kg de blé, 500 kg de farine Avec 300 kg de blé, 250 kg de farine Avec 900 kg (600 kg kg) de blé, 750 kg de farine (500 kg kg)

38 Roland Charnay Raisonnement contextualisé 2 Combien y a-t-il de fois 120 kg dans 900 kg ? (par division : 7,5 fois) Donc 7,5 fois plus de farine : 100 x 7,5 = 750 Les raisonnements 1 et 2 sont beaucoup plus difficiles si la question porte sur 90 kg de farine…

39 Roland Charnay Raisonnement contextualisé 3 La masse de farine est 1,2 fois moins importante que celle de blé Donc 900 : 1,2 = 750

40 Roland Charnay Premier niveau de conceptualisation Modélisation par un tableau de nombres Donc changement de langage – langage ordinaire langage "numérisé" – Autre représentation du raisonnement Permet une explicitation des propriétés utilisées (linéarité, coefficient)

41 Roland Charnay Deuxième niveau de conceptualisation Fonction linéaire Nouveau langage (plus "algébrisé") Autre formulation des propriétés – Exemple : f(λx) = λf(x)

42 Roland Charnay A l'école primaire Pas d'enseignement de la proportionnalité Résolution de problèmes, avec des procédures "contextualisées" qui s'appuient implicitement : – sur les propriétés de linéarité – sur le passage par l'image de l'unité – sur le coefficient, lorsqu'il a une signification pour les élèves Pourcentage, échelle et vitesse – travaillés dans cet esprit – sans procédures spécifiques

43 Roland Charnay Exemple : 20 % de 350 (vente de croissants) Pour 100 fabriqués 20 vendus Pour 300 fabriqués 60 vendus Pour 50 fabriqués 10 vendus Pour 350 fabriqués 70 vendus Appui sur le langage : 20 pour 100

44 Roland Charnay Pour 100 fabriqués 20 vendus Pour 300 fabriqués 60 vendus (3 fois plus) Pour 50 fabriqués 10 vendus (la moitié) Pour 350 fabriqués 70 vendus Le nombre de pains vendus, c'est 1/5 du nombre de pains fabriqués (ou 5 fois moins) 1/5 de 350, c'est 70

45 Roland Charnay Au collège Difficulté de passer de l'expression verbale "prendre 20 pour 100"… … à une procédure qui utilise : – le quotient 20 / 100 – La multiplication Ce passage n'a rien de "naturel"

46 Roland Charnay Au collège : évolution des procédures Sixième – passage par limage de lunité – rapport de linéarité, exprimé sous forme de quotient – coefficient de proportionnalité, exprimé sous forme de quotient Cinquième – recours plus systématique aux quotients – travail sur des tableaux de nombres (décontextualisation) – première approche graphique Quatrième – produit en croix (lié à égalité de quotients) – caractérisation graphique Troisième – modélisation par une fonction linéaire

47 Roland Charnay Le cas de la multiplication de 2 nombres décimaux Rupture avec la multiplication par un entier (liée à l'addition itérée) L'utilisation de procédures relatives à la proportionnalité précède souvent celle de la multiplication – Ex : 2,750 kg à 32,50 le kg en passant par 500 g et 250 g – Cas plus "complexe" : 2,648 kg en utilisant la signification de chaque chiffre

48 Roland Charnay Relation avec de nombreux domaines du programme Graduation, diagramme, graphique Mesure : changement d'unité, formules, grandeurs- produits, grandeurs-quotients Géométrie : Thalès, agrandissement, réduction, cosinus Et avec d'autres disciplines

49 Roland Charnay Quelques documents documents dapplication des programmes de lécole primaire (notamment cycle 3) document Articulation école-collège document Calcul mental document Calculatrices document Calcul posé document Problèmes pour chercher


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