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Congrès Dédra-Math-isons 2009-2010 La Quatrième Dimension Matteo Malacarne Thomas Van Himbeeck Frédéric Van Naemen Hoang Son Nguyen.

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1 Congrès Dédra-Math-isons La Quatrième Dimension Matteo Malacarne Thomas Van Himbeeck Frédéric Van Naemen Hoang Son Nguyen

2 Table des matières Une approche visuelle : la tesselation Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Une nouvelle dimension Une approche analytique Des recherches, des calculs et des dessins … Introduction : Escher et ses salamandres

3 Introduction : Escher et ses salamandres

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5 Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Une nouvelle dimension Une approche analytique Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche visuelle : la tessellation

6 Une approche visuelle : la tesselation Point Segment Polygone Polyèdre

7 Un hypercube : projection interne Un hypercube : projection parallèle Une approche visuelle : la tesselation Polychore

8 Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche visuelle : la tesselation De la deuxième à la troisième dimension Pavages de polygones : polyèdres réguliers Les solides de Platon Une nouvelle dimension Paver en trois dimensions Angles diédraux Les six polychores réguliers Une approche analytique : la quatrième dimension interceptée par la nôtre ? Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche géométrique

9 Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Pavages de polygones : polyèdres réguliers

10 Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Pavages de polygones : polyèdres réguliers

11 Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Langle interne

12 Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Les solides de Platon Nœud du pavage Formule de langle interne On isole p et q Il nexiste alors que 5 combinaisons {p,q} possibles

13 Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Les solides de Platon

14 Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Paver en 3 dimensions

15 Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Angles diédraux

16 Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

17 Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers Par la formule des angles diédraux Nœud du pavage On isole p et q dans le même membre et r dans lautre Il nexiste alors que 6 combinaisons {p,q,r} possibles

18 Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers Lhypertétraèdre (ou pentachore) : - 5 cellules tétraédriques - 10 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 10 arêtes - 5 sommets {3,3,3}

19 Lhyperoctaèdre (ou hexadécachore) : - 16 cellules tétraédriques - 32 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 24 arêtes sommetss {3,3,4} Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

20 Lhypericosaèdre (ou hexacosichore) : cellules tétraédriques faces triangulaires (triangles équilatéraux) arêtes sommets {3,3,5} Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

21 Lhypercube (ou tesseract) : - 8 cellules cubiques - 24 faces carrées - 32 arêtes - 16 sommets {4,3,3} Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

22 Licositétrachore (pas danalogue en 3 dimensions) : - 24 cellules octaédriques - 96 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 96 arêtes - 24 sommets {3,4,3} Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

23 Lhyperdodécaèdre (ou hecatonicosachore) : cellules dodécaédriques faces pentagonales (pentagones réguliers) arêtes sommets {5,3,3} Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

24 Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

25 Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche visuelle : la tesselation Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Pavages de polygones : polyèdres réguliers Les solides de Platon Une nouvelle dimension Paver en trois dimensions Angles diédraux Les polychores réguliers Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche analytique

26 Une approche analytique Des recherches … Elements analytiques de lhypercube

27 Une approche analytique Des recherches … Intersections

28 Une approche analytique Des calculs et des dessins … Intersections dun hypercube avec un espace


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