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Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012 Académie de Créteil.

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1 Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012 Académie de Créteil

2 Extraits du nouveau programme : Introduction de « Matrices et suites » « Il sagit détudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à laide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel ».

3 Perspective de la présentation Une entrée spécifique par la résolution de problèmes : les matrices comme outil, une liste dexemples phares. Phénomènes stochastiques : des ressorts communs et des variantes. Phénomènes discrets : loutil matriciel dans des situations diverses.

4 Phénomènes se ramenant à des Marches aléatoires sur un graphe probabiliste

5 Un exemple contextualisé Une petite station de ski dispose de 3 remontées mécaniques (1), (2) et (3). Pour un skieur adoptant un comportement aléatoire, on note X n la variable aléatoire donnant le numéro de la remontée utilisée après n descentes. On note L n la matrice ligne représentant la loi de X n : L n = (P(X n = 0), P(X n = 1), P(X n = 2), P(X n = 3)) L n est appelé létat probabiliste à linstant n.

6 Données numériques

7 Arbre de probabilités conditionnelles

8 Graphe probabiliste La transition de n à n+1 (indépendante de n) peut se visualiser sur un graphe probabiliste. La somme des poids des arrêtes orientées issues de chaque sommet est égale à 1.

9 Matrice de transition A partir de larbre : - On note x 1, x 2, x 3 les probabilités respectives que le skieur vienne demprunter respectivement la remontée (1), (2), (3) à la descente n. - On note y 1, y 2 et y 3 les probabilités pour quil enchaîne sur la remontée (1), (2), (3) à la descente n+1. - On a alors : y 1 = 0.3 x x x 3 - Et les deux autres relations analogues.

10 Matrice de transition Ces relations se traduisent matriciellement par : L n+1 = L n. T où T est la matrice : T = lisible directement sur le tableau :

11 Etat probabiliste après n descentes Il est alors facile de montrer par récurrence que : L n = L 0. T n

12 Calculs de T n sur logiciel Sur tableur : Ski T puissance n.xlsxSki T puissance n.xlsx Avec Xcas, en mode calcul approché, on observe une stabilisation à partir de n=15 sur la matrice :

13 Convergence de T n Une condition suffisante pour que T n converge : On peut démontrer que dans le cas des matrices stochastiques, si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (T n ) converge vers une matrice stochastique [dont toutes les lignes sont égales entre elles et égales à un état stable de T (état alors unique)].

14 Convergence de L n Par passage à la limite dans L n = L 0. T n, ( L n ) converge vers L inf. Par passage à la limite L n+1 = L n. T, L inf est stable pour T (autrement dit, L inf est un vecteur propre associé à la valeur propre 1 ). Valeur exacte de létat stable, et donc de létat probabiliste limite : ……………………………………….

15 Lessence de la démarche

16 Etude asymptotique Cas où T n converge : - Une condition suffisante : pas de zéro (exige en particulier que la probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle). - Condition suffisante moins restrictive : matrice « régulière » : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls. - Etat stable en cas de convergence : cas général

17 Cas où T n ne converge pas Existence dun état stable : convergence possible de Ln Cas des suites extraites convergentes

18 Champs dapplication de la démarche Marche aléatoire sur un graphe probabiliste déclinée dans une multitude de contextes : Marche aléatoire dans labyrinthe

19 Champs dapplication de la démarche Surf aléatoire sur un mini-réseau intranet : - Sans saut - Avec saut Un+1 = A Un + B

20 Champs dapplication de la démarche Ehrenfest

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