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Codes Correcteurs dErreurs Limours, 19 Novembre 2003 Michel Waldschmidt Lycée Jules Verne.

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1 Codes Correcteurs dErreurs Limours, 19 Novembre 2003 Michel Waldschmidt Lycée Jules Verne

2 Applications des codes correcteurs derreurs Télévision, Cd, CdRom, minitel, DVD, ordinateurs, internet,… Transmissions dans lespace : Voyager 1 et 2, satellites, sondes spatiales, … Téléphonie, téléphonie mobile, …

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4 Ecouter un CD rayé Sur un disque compact comme sur un ordinateur, chaque son est codé par une suite de 0 et de 1, regroupés par paquets (les octets). Pour garantir la fidélité de lenregistrement, on rajoute dautres octets qui permettent de repérer et de corriger les petites erreurs dues aux poussières et aux rayures.

5 Un disque compact de bonne qualité contient facilement erreurs! 1 seconde de signal audio = bits. La théorie mathématique des codes correcteurs derreur permet daugmenter la fiabilité du son tout en diminuant le coût du codage. Elle sapplique aussi à la transmission des informations par internet ou satellites.

6 Codage du son sur un CD En utilisant un corps fini à 256 éléments, on peut corriger 2 erreurs sur chaque mot de 32 octets avec 4 octets de contrôle pour 28 octets dinformation.

7 Olympus Mons sur la planète Mars Image obtenue par la sonde spatiale Mariner 2 en 1971.

8 La sonde envoyait à la terre ses informations en utilisant un code correcteur derreurs capable de corriger jusquà 7 bits erronés sur 32. Dans chaque groupe de 32 bits, 26 étaient des bits de contrôle et les 6 autres constituaient linformation nette.

9 Voyager 1 et 2 (1977) Itinéraire: Cap Canaveral, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune. Envoyait les informations en utilisant un code binaire permettant de corriger 3 erreurs sur des mots de longueur 24.

10 Codes et Maths Algèbre (mathématiques discrètes, corps finis, algèbre linéaire,…) Géométrie Probabilités et statistiques

11 Construire des codes qui détectent et corrigent le plus grand nombre possible derreurs, tout en allongeant le moins possible les messages, et qui soient faciles à décoder.

12 Transmission de données Transmission SourceBut

13 Transmission dun message codé transmission SourceTexte codé But

14 Transmission imparfaite dun message codé transmission SourceTexte codé Bruit Texte codé But

15 Détecter une erreur Envoyer deux fois le même message 2 mots autorisés sur 4=2 2 (1 lettre utile sur 2) Mots autorisés (deux lettres) 0 1 Taux: 1/2

16 Principe du codage : on autorise seulement certains « mots » (code = dictionnaire des mots autorisés). Les lettres « utiles » sont celles qui portent linformation, les autres (bits de contrôle, clefs) permettent de détecter des erreurs. Taux: nombre de lettres utiles / nombre total de lettres

17 Principe du codage permettant de détecter une erreur: deux mots autorisés distincts ont au moins deux lettres différentes

18 Corriger une erreur Envoyer trois fois le même message 2 mots autorisés sur 8=2 3 (1 lettre utile sur 3) Mots autorisés (trois lettres) Taux: 1/3

19 On corrige en en en et en en en 1 1 1

20 Principe du codage permettant de corriger une erreur: deux mots distincts autorisés ont au moins trois lettres différentes Sil y a une erreur et une seule, il y a exactement un mot du code qui la corrige.

21 Un autre code détectant une erreur Améliorer le taux 1/2 du code {(0,0), (1,1)} Mots autorisés (trois lettres): bit de parité : (x y z) avec z=x+y modulo 2. 4=2 2=2 2 mots autorisés sur 8=2 2 2=2 3 (2 lettres utiles sur 3). Taux: 2/3

22 Mots autorisés Mots Interdits Deux mots autorisés distincts ont au moins deux lettres différentes.

23 Un autre code corrigeant une erreur Améliorer le taux 1/3 du code {(0,0,0), (1,1,1)} Mots de 7 lettres Mots autorisés: (16=2 4 sur 128=2 7 ) (a b c d e f g) Avec (modulo 2) e=a+b+d f=a+c+d g=a+b+c Taux: 4/7

24 Le code binaire de Hamming et Shannon (1948) 16 mots de 7 lettres autorisés Deux mots distincts ont au moins trois lettres différentes.

25 Distance de Hamming Richard W. Hamming ( ) La distance de Hamming de deux mots est le nombre de lettres différentes. Un code permettant de détecter n erreurs est un code dont la distance de Hamming entre deux mots distincts est au moins n+1. Un code permettant de corriger n erreurs est un code dont la distance de Hamming minimale est au moins 2n+1.

26 But: décrire des codes dont les mots ont des distances de Hamming mutuelles grandes, avec un taux maximal. Cela revient à trouver des « points » dont les distances mutuelles sont aussi grandes que possible.

27 Outils mathématiques Algèbre linéaire: les bits de contrôle sont déterminés par des équations linéaires. Théorie des corps finis (Evariste Galois, ). Résolution des équations algébriques par radicaux. Géométrie algébrique, codes géométriques.

28

29 Le code binaire de Hamming et Shannon Cest un code linéaire (la somme de deux mots du code est un mot du code) et les 16=2 4 boules de rayon 1 centrées aux mots du code recouvrent lespace formé par les 128=2 7 mots binaires de longueur 7= (chaque mot a 7 voisins, et (7+1) 16= 256).

30 Empilement de sphères

31 Problème de Kepler: densité maximale d'empilement de sphères identiques: / 18= 0, … Conjecturé en Démontré en 1999 par Thomas Hales. Liens avec la cristallographie.

32 Le problème des chapeaux Trois personnes ont chacune un chapeau, blanc ou noir, sur la tête. Les couleurs sont choisies au hasard. Chacun voit la couleur du chapeau sur la tête des deux autres, mais ne connaît pas la couleur de son propre chapeau. Ils ne communiquent pas. Chacun écrit sur un papier la couleur quil devine pour son propre chapeau: blanc, noir, ou bien il sabstient.

33 Léquipe gagne si une au moins des trois personnes ne sest pas abstenue, et tout ceux qui ne se sont pas abstenus ont donné une réponse correcte.

34 Stratégie simple: ils conviennent à lavance que deux dentre eux sabstiennent, le troisième donne une réponse au hasard. La probabilité quils gagnent est : 1/2. Peut-on améliorer cette probabilité?

35 Indication: Améliorer les chances en utilisant linformation disponible: chacun connaît la couleur des deux autres.

36 Meilleure stratégie: si lun des trois voit deux chapeaux (sur la tête des autres) de la même couleur, il parie que son chapeau est de lautre couleur. Sil voit deux chapeaux de couleurs distinctes, il sabstient.

37 Gagné!

38 Perdu!

39 Gagnant:

40 Perdant:

41 Léquipe gagne exactement quand les trois chapeaux ne sont pas tous de la même couleur, cest-à-dire dans 6 cas sur 8 Probabilité de gagner: 3/4.

42 Y a-t-il de meilleures stratégies? Réponse: NON! Y a-t-il dautres stratégies donnant la probabilité de gagner 3/4? Réponse: OUI!

43 Pile ou Face Lancer une pièce de monnaie trois fois de suite Il y a 8 résultats possibles: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1).

44 Si vous pariez que le résultat sera (0,1,0), vous avez : Les trois valeurs justes si la suite est (0,1,0). Exactement deux bonnes valeurs si cest (0,1,1), (0,0,0) ou (1,1,0), Exactement une bonne valeur si cest (0,0,1), (1,1,1) ou (1,0,0), Aucune bonne valeur pour (1,0,1).

45 Quelque soit le résultat final (8 possibilités), chaque pari a les trois valeurs justes dans 1 cas a exactement deux valeurs justes dans 3 cas a exactement une valeur juste dans 3 cas has zéro valeur juste dans 1 cas

46 But: être sûr davoir au moins deux valeurs justes Évidemment, un seul pari ne suffit pas Suffit-il de deux paris? On rappelle quil y a 8 résultats possibles et que chaque pari a au moins 2 réponses justes dans 4 cas.

47 Réponse: OUI, deux paris suffisent ! Par exemple si on parie (0,0,0) et (1,1,1) dans tous les cas, lun des deux chiffres 0 et 1 sortira plus dune fois. Donc un (et seulement un) des deux paris aura deux ou trois résultats justes.

48 Autres solutions: On choisit deux tickets nayant pas de chiffre commun, comme (0 0 1) et (1 1 0) Ou bien le résultat est lun de ces deux, ou bien il a exactement un chiffre au même endroit en commun avec lun des deux et deux en commun avec lautre.

49 Revenons au cas de (0,0,0) et (1,1,1) Les 8 mots formées de 3 lettres 0 et 1 Se répartissent en deux groupes: celles qui ont deux ou trois 0 et celles qui ont deux ou trois 1

50 (0,0,1) (0,0,0) (0,1,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) (0,1,1)

51 Distance de Hamming entre deux mots: = nombre de places où les deux mots nont pas la même lettre Exemples: (0,0,1) et (0,0,0) sont à distance 1 (1,0,1) et (1,1,0) sont à distance 2 (0,0,1) et (1,1,0) sont à distance 3 Richard W. Hamming ( )

52 Lensemble des huit mots de trois lettres se réparti en deux boules Les centres sont (0,0,0) et (1,1,1) Chacune des deux boules est formée des mots dont la distance est au plus 1 du centre.

53 Retour au problème des chapeaux On remplace blanc par 0 et noir par 1 Ainsi la répartition des couleurs devient un mot à trois lettres sur lalphabet {0, 1} On considère les centres des boules (0,0,0) et (1,1,1). Léquipe parie que le résultat ne correspond pas à un des centres des boules.

54 Si la répartition des couleurs ne correspond pas à un des centres des boules (0, 0, 0) et (1, 1, 1). alors: Une couleur intervient exactement deux fois (le mot comporte les deux chiffres 0 et 1). Un et un seul des membres de léquipe voit deux fois la même couleur: 0 0 sil voit deux chapeaux blancs, 1 1 sil voit deux chapeaux noirs. Il connaît le centre de la boule: (0, 0, 0) dans le premier cas, (1, 1, 1) dans le second. Il parie donc que le chiffre quil ne connaît pas est celui qui ne produit pas le centre de la boule.

55 Les deux autres voient deux couleurs différentes, ils ne connaissent pas le centre de la boule, ils sabstiennent (accessoirement ils savent que léquipe va gagner). Ainsi léquipe gagne quand la répartition des couleurs ne correspond pas à lun des deux centres.. Cest pourquoi léquipe gagne dans 6 cas.

56 Maintenant si la répartition des couleurs (le mot de trois lettres) correspond à un des centres, chacun des membres de léquipe donne la mauvaise réponse! Ils perdent dans 2 cas.

57 Autre stratégie: On choisit deux mots dont la distance de Hamming est 3 - cest-à-dire deux mots nayant pas de même lettre à la même place, comme (0,0,1) et (1,1,0) On considère les deux boules, centrées en ces deux mots, formées des éléments à distance au plus 1 du centre.

58 (0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0) (0,1,0)

59 Léquipe parie que la distribution des couleurs ne correspond pas à lun des deux centres (0,0,1), (1,1,0). Un mot qui nest pas au centre a exactement une lettre distincte du mot du centre, et deux différentes de lautre centre.

60 Si le mot correspondant à la répartition des couleurs nest pas un des deux centres, alors: Exactement un des membres de léquipe connaît le centre, il sait donc quoi parier. Les autres ne connaissent pas le centre, ils sabstiennent. Dans ce cas léquipe gagne.

61 Si le mot correspondant à la répartition des couleurs est un des deux centres, alors: Chacun des membres de léquipe parie le mauvais résultat. Ainsi léquipe perd dans 2 cas sur 8.

62 Le problème des chapeaux avec 7 personnes Léquipe parie que la répartition des couleurs ne correspond pas aux 16 éléments du code de Hamming. Léquipe perd dans 16 cas (ils se trompent tous!) Elle gagne dans =112 cas (un seul donne la réponse, les 6 autres sabstiennent) Probabilité de gagner: 112/128=7/8

63 Pile ou face 7 fois Il y a 2 7 =128 résultats possibles Chaque pari est un mot de 7 lettres sur lalphabet {0, 1} Combien de pari faut-il faire pour être sûr davoir au moins 6 résultats corrects?

64 Chacun des 16 mots du code de Hamming a 7 voisins (à distance 1), la boule dont il est le centre a 8 éléments. Chacun des 128 mots est dans une et une seule de ces boules.

65 Faire 16 paris correspondant aux 16 mots du code: dans tous les cas exactement un des paris aura au moins 6 réponses justes.

66 SPORT TOTO Un match entre deux adversaires a trois issues possibles: ou bien le joueur 1 gagne, ou bien le 2, ou sinon il y a match nul (x). Comment parier sur les résultats de 4 matches en étant sûr davoir au moins 3 réponses justes?

67 Pour 4 matches, il y a 3 = 81 possibilités. Un pari sur 4 matches est un mot de 4 lettres sur lalphabet {1, 2, x}. Un mot a 8 voisins (à distance 1). Par exemple les 8 voisins de (1, 2, x, 1) sont (2, 2, x, 1), (1, 1, x, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 2, x, 2) (x, 2, x, 1), (1, x, x, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 2, x, x) 4

68 Chaque pari donne 4 réponses justes dans 1 cas et 3 réponses justes dans 8 cas, donc au moins 3 réponses justes dans 9 cas. Il faut donc faire au moins 9 paris pour être sûr davoir au moins 3 réponses justes. Comment choisir ces 9 paris?

69 9 mots de 4 lettres (en colonnes) x x x x 1 2 x 1 2 x 1 2 x x 2 x 1 x x x ce code corrige une erreur Taux: 1/2


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