La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Probabilités : axiomes et formules Cours Interprétation de la preuve (3b)

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Probabilités : axiomes et formules Cours Interprétation de la preuve (3b)"— Transcription de la présentation:

1 Probabilités : axiomes et formules Cours Interprétation de la preuve (3b)

2 Peut-on se passer de calculs de probabilités en sciences forensiques ? La réponse est claire : non, pour deux raisons. Le calcul des probabilités a des applications directes (il suffit de citer la génétique des populations). (1) Cest la base théorique nécessaire au scientifique qui, dans lestimation, identifie des modèles probabilistes et, (2) dans les tests, en compare plusieurs pour en choisir un.

3 La notion de probabilité La vision fréquentiste repose sur la loi des grands nombres, établie pour la première fois par J. Bernoulli en 1713, fournit une définition pratique de la notion de probabilité. Une seule expérience ne suffisant pas pour évaluer la probabilité dun événement on va répéter un très grand nombre de fois lexpérience. Cette loi stipule que si on répète un grand nombre n de fois une épreuve, la fréquence f avec laquelle on observe la survenue dun événement tend (quand n infini) vers une limite qui est définie comme probabilité de cet événement. Ainsi du lancer dun dé : la probabilité d observer la face 6 est la limite du rapport no. de 6 obtenus / no. d essais = f

4 La notion de probabilité : un exemple Par exemple, en lançant un nombre n de fois une pièce parfaite de monnaie, la fréquence f de pile tendra vers 1/2 au fur et à mesure que n augmentera. Dessiner lexemple

5 La notion de probabilité : un exemple N. tossesN. heads in n tossesFrequency

6 Les probabilités dites objectives Du point de vue pratique il est clair que la vision fréquentiste ne permet pas de trouver la probabilité dun événement puisquun tel processus nécessitant une infinité dobservations est physiquement irréalisable : cela permet tout au plus de donner une définition de la probabilité comme limite dune fréquence. Remarquons que dans la conception fréquentiste il est impossible de donner une valeur et même au sens à la probabilité d un événement non répétable du genre « neigera- t-il le 25 octobre 2990 », ce qui limite le champ dapplication du calcul des probabilités.

7 Les probabilités subjectives Cette définition pratique de la probabilité suppose que lon puisse répéter lépreuve indéfiniment, ou tout au moins imaginer pouvoir le faire. Tel est le cas dans le jeu de pile ou face. Le point de vue classique étant trop limité, lexistence même de probabilités objectives à été niée par beaucoup : « La probabilité nexiste pas » « Labandon de croyances superstitieuses sur lexistence du phlogistique, de léther, de lespace et du temps absolu … ou des fées, a été une étape essentielle dans la pensée scientifique. La probabilité, considérée comme quelque chose ayant une existence objective est également une conception erronée et dangereuse, une tentative dextérioriser ou de matérialiser nos véritables conceptions probabilistes! »

8 Les probabilités subjectives La probabilité objective dun événement nexiste pas et nest donc pas une grandeur mesurable analogue à la masse dun corps, cest simplement une mesure dincertitude, pouvant varier avec les circonstances et lobservateur, donc subjective, la seule exigence étant quelle satisfasse aux axiomes du calcul des probabilités.

9 Les probabilités subjectives (Bayesiennes) Une probabilité est donc une mesure donnée à une évaluation subjective (personnelle) qui se base sur les informations à disposition de la personne. En résumé, la probabilité : dépend des informations à disposition ; peut changer en fonction de nouvelles informations ; peut varier entre individus ; correspond aux aires dun diagramme de Venn.

10 Les probabilités subjectives : exemple «Je pense quil y a 20 chances sur 100 pour quil pleuve demain.» Ce chiffre est basé éventuellement sur lexpérience acquise. «Cette personne a une probabilité 30% dêtre décédé pour des raisons cardiaques» : ce chiffre peut être basé sur un modèle de pronostique incluant les expériences acquises sur un grand nombre de décès a priori semblables.

11 Les probabilités subjectives : exemple Cette probabilité 30% peut être obtenue aussi en soumettant le dossier de la victime à une dizaine dexperts qui notent de 0 à 100 le risque de mort pour des raisons cardiaques et en constatant que la note moyenne obtenue est 30. Cette probabilité de 30% est dite subjective. Ô (Harold Jeffreys, Theory of probability. Oxford University Press, 1939 (III edition, Clarendon Press, 1998) Ô Leonard J. Savage, The foundations of statistics. II revised edition, Dover Publications, Inc., New York, 1972 (original 1954) Ô Bruno de Finetti, Probabilità e induzione (induction and probability). Editrice Clueb, Bologna, 1993

12 Les probabilités subjectives : exemple Il est clair donc quil faut être capable de définir la probabilité autrement que par une approche fréquentielle si on veut être capable de parler de probabilité dévénements qui ne peuvent se produire quune fois et pour lesquels la répétition de lépreuve na aucun sens (comme cest le cas dans les deux exemples précédents).

13 Les trois axiomes Le calcul des probabilités repose sur un certain nombre de règles minimales qui permettent de construire toutes les théories nécessaires. On définit un axiome comme un principe de base non démontrable permettant de construire la suite de la théorie. Un axiome, même si, très souvent, il correspond au bon sens apparent, est toujours contestable puisquil nest pas démontrable.

14 Les trois axiomes ¶La probabilité de tout événement associé à une épreuve est un nombre compris entre 0 et 1 ; ·Si deux événements A 1 et A 2 sont incompatibles, la probabilité de lévénement (A 1 ou A 2 ) est égale à la somme des probabilités de A 1 et de A 2 ; ¸La probabilité de lévénement certain est égal à 1.

15 S A e Epreuve On suppose quà chaque fois quon réalise lépreuve, on obtient un point e (événement élémentaire) à lintérieur de S représenté par lensemble des points contenus dans le rectangle. On suppose que lensemble des événements élémentaires est réparti de façon uniforme sur la surface de S. On suppose que la surface de E vaut 1. A (surface rouge) est une partie de S : il représente lévénement composé de tous les points événements élémentaires à lintérieur de sa frontière. La probabilité de S est 1. La probabilité de A est, dans cette représentation, la surface de A (sur la figure, elle vaut à peu près 0.2).

16 Formules (1) La probabilité de lévénement impossible est nulle : Lévénement impossible et lévénement certain sont incompatibles ; la réunion de lévénement impossible et de lévénement certain est lévénement certain (ces deux résultats sobtiennent en considérant les listes dévénements qui caractérisent respectivement lévénement impossible (liste vide) et lévénement certain (liste composée de tous les événements élémentaires).

17 Formules (1) Lapplication des axiomes 2 et 3 donne le résultat. En effet :

18 Formules (2) La probabilité du contraire dun événement est égale à 1 moins la probabilité de cet événement : Un événement et son contraire sont incompatibles ; lévénement (A ou contraire de A) est certain, ce qui veut dire que lorsque lon réalise lépreuve ou bien lévénement élémentaire correspondant réalise A ou bien réalise le contraire de A.

19 Formules (2)

20 Formules (3) Si un événement A est inclus dans un événement B, alors la probabilité de A est inférieure ou égale à la probabilité de B. Ceci se déduit immédiatement du fait que lon peut écrire dans ce cas B comme (A ou (non-A et B)). Les deux événements (A) et (non-A et B) sont incompatibles. Lapplication des axiomes indique que : puisque est nécessairement positif (Axiome 1).

21 Formules (4) La probabilité de lévénement A ou B est égale à la somme des probabilités de A et B, moins celle de (A et B). La façon la plus simple de mémoriser la formule donnant la probabilité de A ou B sobtient grâce à lanalogie probabilités- surface. En effet, la surface de A ou B est égale à la surface de A, plus celle de B, moins celle de A et B (oublier ce dernier terme reviendrait à compter 2 fois la surface de A et B dans A et dans B.

22 Probabilités conditionnelles - indépendance On peut admettre quenviron personnes étaient porteurs en France en 1999 du virus de lhépatite C. Sil ne dispose que de cette information, le médecine avant de recevoir un patient en consultation peut penser que ce parient a une probabilité denviron 1% dêtre VHC + (550000/ ) sil suppose que sa clientèle ressemble globalement à lensemble de la population française. Si en consultant le dossier de son patient avant quil ne franchisse sa porte, le médecin constate que celui-ci est un enfant de 10 ans, la probabilité que pour ce patient soit VHC + est à coup sûr beaucoup plus faible, (peut être entre et ) car on sait que les personnes contaminées par ce virus sont en général des adultes (transfusion, toxicomanie, etc.).

23 Probabilités conditionnelles - indépendance Si en revanche linformation fournie par le dossier indique que le patient est toxicomane par voie intraveineuse depuis plus de 5 ans, les données épidémiologiques indiquent que la probabilité quil soit VHC + est certainement supérieure à 1%. Si, enfin, le seul renseignement que le dossier présente est le fait que le patient est asthmatique, lopinion du médecin sur la probabilité pour que le patient soit VHC + ne sera pas modifiée, car il ny a pas de relation entre le fait dêtre asthmatique et le fait dêtre porteur du virus VHC +. La probabilité que le malade qui franchira la porte soit porteur de VHC est toujours de 1%.

24 La démarche de la connaissance La démarche médicale, et la démarche de la connaissance en général, se fait toujours par étape: on est, au début, dans une certaine incertitude quantifiée par des probabilités a priori : le mot a priori signifie quil sagit de la probabilité avant davoir une information. Par exemple, a priori, avant davoir quelque renseignement que ce soit sur le patient qui attend de lautre côté de la porte, la probabilité a priori pour que ce patient soit VHC + est 1%.

25 La démarche de la connaissance Le médecin obtient, par exemple en prescrivant des examens complémentaires, des informations qui sont susceptibles de modifier la probabilité du diagnostic auquel il sintéresse. Les probabilités modifiées sappellent des probabilités a posteriori : lexpression a posteriori est utilisée pour signifier quil sagit de la probabilité après linformation reçue. La nouvelle information permet de faire évoluer la probabilité a priori.

26 Le processus du raisonnement Autres informations (dossier) Probabilités a posteriori Probabilités a priori Données analytiques Décision sur lhypothèse (maladie) se combinent avec

27 Probabilités conditionnelles (1) Soit S lensemble des événements. Supposons quaprès avoir réalisé lépreuve on obtienne linformation que lévénement élémentaire obtenu a réalisé un événement B (autrement dit, que lévénement B sest produit). On peut à nouveau définir les probabilités de tous les autres événement de S, conditionnellement à cette information.

28 Probabilités conditionnelles (2) La probabilité conditionnelle dun événement A, sachant que B sest produit, est définie par légalité suivante : on suppose que

29 Probabilités conditionnelles (3) Pour prendre des exemples extrêmes, la probabilité de A sachant quil sest produit - noté P(A|A) - est 1 et la probabilité du contraire de A sachant que A sest produit - noté P(non-A|A) - est évidemment 0. Cette formule se comprend bien en considérant la figure suivante : les chances de tomber dans A sachant quon est dans B sont obtenues en faisant le rapport de la surface de (A et B) sur la surface de B. E AB

30 Probabilités conditionnelles (4) En termes de probabilité a priori et a posteriori, P(A) est la probabilité a priori de A (avant que lon sache si B sest produit ou non) et P(A|B) est la probabilité a posteriori de A (sachant que B sest produit). La formule donnant P(A|B) sécrit de façon équivalente : En échangeant A et B dans la formule précédente, le premier terme reste inchangé car (A et B) = (B et A) ; on peut donc écrire :

31 Probabilités conditionnelles (5) On déduit que :

32 Probabilités conditionnelles (6) Il est à noter que la symétrie de la notation correspond à des modes de recueil de linformation différents. Par exemple : l P(VHC + |toxicomane) peut être évaluée dans une population de toxicomanes chez qui on dose les anticorps à VHC. l P(toxicomane|VHC + ) sera évaluée dans une population de patients de VHC + quon interrogera sur leur toxicomanie passée.

33 Indépendance et information 1 ère définition de lindépendance : La meilleure définition quon peut donner de lindépendance de 2 événements est en terme dinformation : on dira que deux événements sont indépendants lorsque savoir que lon sest produit napporte pas dinformation sur la probabilité de lautre. Dans lexemple introductif, lasthme et le VHC + sont deux événements indépendants. En effet, savoir que le patient a lune des deux affections napporte aucune information sur sa probabilité davoir lautre. Un événement A est dit indépendant dun événement B lorsque savoir que B sest produit ne modifie pas la probabilité de lévénement A : la probabilité a priori de A est identique à la probabilité a posteriori de A.

34 Indépendance et information 2 ème définition de lindépendance : Deux événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de réaliser lévénement (A et B) est égale au produit des probabilités de réaliser A et de réaliser B. Ces deux définitions se traduisent par deux formules :

35 Indépendance et information La première définition de lindépendance de A et B sécrit La seconde définition de lindépendance sécrit

36 Indépendance et information La seconde formule rend évident la symétrie entre A et B : si B est indépendant de A, alors A est indépendant de B. Ce qui signifie en pratique que si on démontre que A napporte pas dinformation sur B, on en déduit immédiatement B napporte pas réciproquement sur A. Dans lexemple introductif, savoir que la probabilité de VHC est la même chez les asthmatiques et les non- asthmatiques, cest automatiquement en déduire que la probabilité dasthme est la même chez les porteurs et les non-porteurs de VHC.


Télécharger ppt "Probabilités : axiomes et formules Cours Interprétation de la preuve (3b)"

Présentations similaires


Annonces Google