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Son et Musique Variations sur un thème pour loption Sciences de seconde F Geniet 06/07.

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1 Son et Musique Variations sur un thème pour loption Sciences de seconde F Geniet 06/07

2 Quelques considérations acoustiques Partiels et Harmoniques Un système simple à partiels k kkmm 2 modes :

3 Le mouvement nest en général pas périodique (mathématiquement, cest un tore avec deux fréquences incommensurables). Ce sont des partiels NB : Pour un physicien, cest simple à expliquer : la relation de dispersion est non linéaire, et les vecteurs donde sont quantifiés par la boite Ce cas de figure est en fait général : cavités, plaques, barres… ne vibrent pas de façon harmonique Deux exceptions notables : les tuyaux sonores et les cordes vibrantes sont en première approximation harmoniques. Ce sont des systèmes 1 dimensionnels (quasi) infinis. les fréquences des partiels sont multiples de la fréquence du fondamental.

4 Cordes vibrantes. Dans ce cas, la relation de dispersion est linéaire, et les modes sont harmoniques. On se les représente souvent comme cela :

5 Mais en réalité, avec la magie des cosinus, la vibration de la corde ressemble plutôt à Ce qui se comprend mieux comme la somme de deux ondes se propageant à droite et à gauche à vitesse c : +c-c

6 En regardant bien, on comprend pourquoi lintensité du son du violon augmente avec la vitesse de larchet (et pas avec la pression sur la corde !) : En effet loscillation se déplace à vitesse c fixée le long de la corde. Pendant ce temps, larchet (et la corde en phase « stick ») se déplace de v Le cas du violon est très semblable. Le mouvement observé sappelle vibration de Helmholtz :

7 Conclusion : Au moins deux grandes familles cordes et vents, archétypes des instruments produisant des sons musicaux, sont basés sur la série harmonique. Cela justifie limportance de la série harmonique dans la construction des gammes, et en particulier le rôle essentiel de la première harmonique non triviale : la quinte f quinte = 3 f fondamental

8 Harmoniques et Consonance Les sons musicaux sont très riches en harmoniques (ou partiels) : Remarquer lincompatibilité apparente de ce graphique avec T > 1 !

9 Dans le cas où les sons produits sont harmoniques, on a une idée simple de consonance de deux sons : cest labsence de battements entre les différentes harmoniques des sons. Consonance Dans la réalité, on va voir quil est impossible dobtenir une absence de battements. La notion de consonance semble donc en définitive liée à labsence ou à la lenteur des battements entre les différents sons.

10 Plusieurs logiques en conflit : Intervalles et Gammes Physique Physiologie Mélodie Harmonie Consonance Transposition non limitée

11 Intervalles et Gammes Les intervalles harmoniques sont construits sur des rapports de fréquences simples : octave (2), quinte (3), tierce (5) … Lintervalle doctave définit une relation déquivalence. On passe au quotient pour identifier les notes. intervalle de quinte : f1 / f0 = 3 / 2 Depuis lantiquité, les harmoniques, et la quinte en particulier, apparaissent comme indissociable de la justesse musicale (consonance des harmoniques)

12 1200 log 2 (3/2) = Intervalles harmoniques et gamme bien tempérée sont en conflit ! Fréquences de la gamme chromatique bien tempérée théorique : f i = f 0 2 i/12 Les intervalles sont égaux dans cette construction, mais… Savarts : K = 1000 et log 10 1 octave = Savarts Cents :K = 1200 et log 2 1 octave = 1200 Cents mesure des intervalles suivant I = K log(f 2 /f 1 ). Intervalles et Gammes

13 Sol b Fa#Do Ré b Do# RéMi bb Ré#Mi b Fa b Mi FaMi#SolLa bb Sol#La b La# Si bb Si b LaSiDo b Constructions de la gamme de Pythagore à partir des quintes justes : f n = f 0 (3/2) n ( n = -6 …5 ) Gamme bien tempérée théorique Do RéMiFaSol La Si Ré b Mi b Sol b La b Si b Et les dièses ? Comma de Pythagore

14 Et si on continue le cycle des quintes ? On fabrique une gamme 53 tonique, connue des chinois et qui donne la division du demi ton en 4 ou 5 commas : Remarque : ça ne boucle toujours pas, malgré les apparences ! En effet, 3 53 = = Il y a donc des grands et des petits demi tons, …mais chaque ton contient 9 comas Do Ré b Ré Mi b Mi Fa Sol b Sol La b La Si b Si

15 construction de la Gamme de Zarlin. Gamme de Zarlino Gamme de Pythagore Les physiciens acousticiens disent que cest « la gamme naturelle » …mais les musiciens ne sont pas du tout daccord : Mi 5/41 Do 3/2 Sol Ré 9/4 Si 15/16 Sol 3/2 Fa 4/3 La 5/3 Do 2 (1) A part laspect mathématiquement esthétique des fractions simples, cette gamme est fausse, on ne peut pas construire simplement les notes chromatiques et la transposition est quasi impossible… …mais on continue à sy référer!

16 Conclusion : A travers ces quelques remarques simples, on voit que le problème de produire des instruments justes est en réalité très complexe, et doit concilier plusieurs logiques en apparence opposées. Ce domaine nest pas clos comme le montrent par exemple le renouveau apporté par les travaux de Serge Cordier sur la question de justesse et la pratique de laccord du piano. Il est cependant dommage que les travaux mathématiques sur la musique se contentent souvent de visions très schématiques, peu pertinentes dans ce domaine où les connaissances ont étés élaborées de façon empirique, mais sûre, depuis des millénaires.


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