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Incertitude, risque et apprentissage ECO8071 – Charles Séguin Inspiré en partie de notes de Larry Karp et Christian Traeger 1.

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1 Incertitude, risque et apprentissage ECO8071 – Charles Séguin Inspiré en partie de notes de Larry Karp et Christian Traeger 1

2 LINCERTITUDE, quest-ce? Ne pas connaître la valeur dun élément? Ne pas connaître la probabilité dun événement? Ne pas avoir conscience de la possibilité dun événement? Un exemple : lancer une pièce de monnaie en lair Quest-ce qui est incertain? Est-ce risqué? 2

3 CATÉGORISATION de lincertain Incertitude : Je connais toutes les possibilités; Je représente la vraisemblance de leur occurrence par des probabilités. 3

4 CATÉGORISATION de lincertain Incertitude Ambiguïté et flou : Je connais toutes les possibilités; Je ne peux représenter la vraisemblance de leur occurrence par des probabilités uniques. 4 ? ?

5 CATÉGORISATION de lincertain Incertitude Ambiguïté et flou Inconscience : Je ne connais pas toutes les possibilités. Nous allons nous concentrer sur lincertitude. 5 ?

6 INCERTITUDE et RISQUE Lancer une pièce est-il risqué? Parier sur le résultat du lancé dune pièce est-il risqué? Il y a risque lorsque lobjectif (utilité, profit, etc.) dun agent est incertain. Lincertitude dun élément affectant lutilité dun agent expose cet agent au risque. 6

7 REPRÉSENTATION de lincertitude Variable aléatoire : Une variable dont les valeurs possibles sont associées à des probabilités. Probabilité : Nombre entre 0 et 1 qui mesure la vraisemblance; La somme des probabilités des valeurs dune variable aléatoire est 1. Pile ou face : Parier 100 $ sur pile : 7

8 DISTINCTIONS importantes ou non Incertitude Fondamentale : La variable est aléatoire indépendamment de la perception de lagent; (Purement) stochastique. Perceptive : Certaines limitations de lagent rendent la variable aléatoire; Incertitude (propre). Probabilité Objective : Tirée de données statistiques ou dun raisonnement logique. Subjective : Représente les croyances de lagent; Il peut y avoir des probabilités subjectives différentes pour le même événement. 8

9 ESPÉRANCE et UTILITÉ ESPÉRÉE Espérance : Somme des valeurs dune variable aléatoire pondérée par leurs probabilités; Pari : Utilité espérée : Somme de lutilité des valeurs dune variable aléatoire pondérée par leurs probabilité Pari : 9

10 APPRENTISSAGE Concept dynamique; Consiste à mettre à jour les probabilités dune variable aléatoire avec des informations nouvelles; Après que la pièce soit retombée : Quels sont les probabilités? Vas-tu parier 100 $ sur pile? Lapprentissage peut influencer une décision risquée. 10

11 TYPES dApprentissage Surprise (Naïf) : Lapprentissage nest pris en compte quune fois quil sest produit. Anticipé (Sophistiqué) : Lapprentissage est pris en compte avant quil se produise. Passif : Lapprentissage est exogène aux décisions de lagent. Actif : Lapprentissage est affecté par les décision de lagent. 11

12 Un exemple simple (décision binaire) 2 périodes; Décision : construire un barrage ou pas (irréversible); Bénéfices : un barrage génère des bénéfices de 10M $ par période; Coûts : un barrage dénature la rivière sur laquelle il est construit, ce qui génère des coûts incertains de 3M $ ou 35M $ avec probabilités égales (peu importe le moment de construction); Lobjectif du décideur est de maximiser lespérance des bénéfices nets des coûts. 12

13 Exemple simple SANS APPRENTISSAGE Doit-on construire et quand? 13 Construire oui non Construire Déjà fait oui non Période 1Période 2Bénéfices nets espérées

14 Exemple simple AVEC APPRENTISSAGE ANTICIPÉ Si janticipe que je vais connaître la valeur des coûts avec certitude à la période 2? 14 Construire oui non App. Déjà fait Période 1Période 2 Bénéfices nets 35 3 Cons. oui non oui non App Déjà fait Espérance

15 Exemple simple apprentissage NON-anticipé Que se passe-t-il à la période 1 si le décideur nanticipe pas quil apprendra la vraie valeur des dommages à la rivière? Décision identique à labsence dapprentissage. Est-ce toujours le cas? Non… 15

16 Valeur dOPTION (quasi) Dans lexemple précédent, lapprentissage augmente la valeur maximale de lobjectif (ex ante); La différence entre la valeur de lobjectif ex ante avec apprentissage anticipé et sans apprentissage anticipé est la valeur doption; Dans le cas de notre exemple, la valeur doption dattendre dapprendre avant de décider de construite ou non le barrage est de 2,5M $. La valeur doption peut-elle être négative? 16

17 Deuxième exemple (décision CONTINUE) Un problème de changements climatiques : Deux périodes : Niveau démission dans la période i : Incertitude sur les dommages : Objectif : Quel est le niveau optimal démission sans apprentissage? Réponse : Objectif maximisé : 2,5 17

18 Deuxième exemple APPRENTISSAGE NON-ANTICIPÉ Décision sans apprentissage à la période 1 et décision contingente à la période Période 1Période 2 Objectif ex post Objectif espéré

19 Deuxième exemple APPRENTISSAGE ANTICIPÉ Décision contingente à la période 2 utilisée pour résoudre les émissions de la période Période 1Période 2 Objectif espéré

20 Prudence Lanticipation de lapprentissage ne diminue pas nécessairement les actions irréversibles optimales précédents lapprentissage; Cela dépend de la nature du problème, du type dapprentissage et de la prudence du décideur; La prudence caractérise les préférences du décideur par rapport à un changement de niveau de risque; Si le risque augmente dans une période, un décideur préférera transférer de la richesse vers cette période si il est prudent; Un décideur est prudent si la troisième dérivé de sa fonction dutilité (objectif) est positive. 20

21 Principe de précaution Quest-ce? Définition de la Convention-Cadre des Nations Unies sur les Changements Climatiques : Lorsquil y a risque de dommages irréversibles ou importants, le manque de certitude scientifique complète ne devrait pas justifier de repousser des mesures efficientes pour prévenir la dégradation de lenvironnement. Que pensez-vous de cette définition? Peut-elle aider à faire des choix? 21

22 Résolution PARTIELLE de lincertitude Les exemples précédents ont considérés uniquement une résolution complète de lincertitude. Quest-ce quune résolution partielle? Prenez le dernier exemple. Si au lieu dapprendre la valeur de S, le décideur modifiait les probabilités attribués à chacune des réalisations de S. Avec probabilités égales, le décideur peut apprendre que : a : b : 22

23 Apprentissage ACTIF Lapprentissage est actif lorsque le décideur peut influencer larrivée dinformation. Cela implique souvent un arbitrage entre quête dinformation et coûts. Revenons à notre exemple de changements climatiques (résolution complète de lincertitude): Supposons que la résolution complète de lincertitude est incertaine et que cette incertitude dépend des émissions de la première période; Avec probabilité japprends avec certitude la valeur de S, sinon je napprends rien, et. 23

24 Incertitude avec INFÉRENCE BAYÉSIENNE Théorème de Bayes : En mots : sachant les probabilités inconditionnelles des événements A et B, ainsi que la probabilité conditionnelle de B si A a déjà été observé, quelle est la probabilité de A conditionnelle à lobservation de B? En math : Pour lapprentissage : Le décideur a ex ante une distribution a priori de la variable aléatoire; Lobservation dun signal fournira de linformation sur cette variable et permettra détablir une distribution a posteriori; Dans les deux premiers exemples avec distributions discrètes, le signal donnait une information parfaite sur la variable aléatoire, ce qui impliquait une distribution a posteriori où une seule valeur avait une probabilité de 1. 24

25 Distributions conjuguées Un truc de modélisation pour utiliser linférence bayésienne, les distributions conjuguées. Si la probabilité postérieure appartient à la même famille que lantérieure, cette dernière est la conjuguée de la distribution conditionnelle du signal. Si est la conjuguée antérieure de, alors la distribution appartient à la même famille que. Exemple : si le signal est distribué conditionnellement Poisson et que A est distribué Gamma, alors A conditionnel au signal est aussi distribué Gamma (signal dist. selon binomiale négative). 25

26 Distributions conjuguées EXEMPLE Revenons encore à lexemple de changement climatique. S peut prendre les valeurs entières ; Quel est le signal? Sur quoi apprend-t-on? Quest qui est fondamentalement incertain? 26


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