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1 Le travail a été exécuté par les élèves de 5ème 6h math et 6ème 4h math. Pour chacun, ce fut une motivation pour apprendre et appliquer de nouvelles.

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1 1 Le travail a été exécuté par les élèves de 5ème 6h math et 6ème 4h math. Pour chacun, ce fut une motivation pour apprendre et appliquer de nouvelles connaissances mathématiques figurant dans le programme. Chaque groupe a du expliquer ses réalisations à ses condisciples afin de pouvoir fournir les explications au public en labsence de certains élèves. Un échange entre les connaissances des élèves des deux niveaux a montré les liens entre les études dune année à lautre et limportance de la maîtrise à long terme des notions rencontrées. La présentation à un public varié, a obligé les élèves à adapter leur discours, à rechercher une pédagogie, à dégager les éléments essentiels de leur travail et a donné un sens naturel à la restitution des apprentissages. Ce dossier permet, si vous disposez du logiciel Cabri-géomètre TM de visualiser les figures réalisées en cliquant sur les images. LEAU MONTE! ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du MARAIS1000 Bruxelles Parrain du projet: JEAN DRABBE Professeur Emérite de lULB Professeur: CHANTAL RANDOUR-GABRIEL

2 2 La démarche Dans un premier temps, les élèves de 5ème 6h math cherchent à simuler le remplissage du cylindre et de 2 cônes (un sur pointe et lautre sur sa base) afin dobserver le comportement de fonctions indiquant la hauteur du niveau de leau. Le problème a sa place dans le cours danalyse, mais la partie dessin fera appel à des notions de géométrie. Le logiciel Cabri-Géomètre II tm est choisi pour réaliser une animation. Ces élèves nayant pas la connaissance du logiciel Cabri ni le concept de dérivée, la première partie du travail consiste en lapprentissage des concepts et la familiarisation avec le logiciel. Un des objectifs est de remplir un icosaèdre et de le représenter en perspective oblique. Jean Drabbe développe les calculs pour résoudre ce problème. Pour commencer la recherche, il propose de remplir un octaèdre. Les formules sont calculées en classe et quelques notions de géométrie descriptive et de géométrie dans lespace permettent de représenter loctaèdre se remplissant en perspective oblique. Le remplissage de licosaèdre demande trop de calculs et donc trop de temps pour être développé dans la classe. Il pourrait se faire avec quelques élèves plus tard.

3 3 Les élèves de 6ème 4h math, déjà familiarisés avec Cabri, simulent le remplissage de la sphère après avoir appris les notions de calcul intégral. Les formules démontrées, se pose le problème de résoudre une équation du 3ème degré. Jean Drabbe propose de résoudre ce problème par une trisection dangle. Les élèves de 5ème et de 6ème sont amenés à faire une construction Cabri pour résoudre géométriquement léquation et la tester dans divers cas. Une démonstration utilisant la trigonométrie et nécessitant de nouvelles formules pas encore découvertes par la classe est faite et montre la pertinence de la construction.

4 4 Les acquis des élèves liés au projet Lobservation de la croissance des fonctions et du comportement des dérivées dessinées par approximation, est une belle application des notions danalyse que doivent maîtriser les élèves du secondaire avec lavantage dun support lié à une réalité. La comparaison des dérivées dans le cas du remplissage de la sphère et de loctaèdre fait mieux comprendre aux élèves le rôle de la dérivée seconde. La représentation en perspective oblique de loctaèdre est un bon exercice pour appliquer les théorèmes vus en géométrie et une introduction aux changements de base si lon veut travailler avec des systèmes de coordonnées. Le travail des élèves réalisé, ils doivent présenter le problème au public. Ils proposent un jeu de devinettes consistant à présenter une fonction, le spectateur devant trouver le récipient correspondant au dessin. Afin dattirer le spectateur ils doivent concevoir le dessin de manière à simuler le remplissage des récipients avec une animation et jouer alors avec des paramètres.

5 5 LEAU MONTE! Le développement mathématique détaillé Introduction A la Cité des Sciences de Paris, des robinets de même débit remplissent des récipients de même volume et de même hauteur. Des graphiques indiquant la hauteur de leau et la vitesse de remplissage pour chaque récipient, en fonction du temps sont dessinés. Le spectateur est invité à associer un graphique à un récipient. Voici une simulation de cette expérience réalisée avec le logiciel Cabri-Géomètre. REMPLISSAGE DE 2 CONES ET DUN CYLINDRE Les données suivantes sont choisies mais peuvent être modifiées: H la hauteur des récipients V le volume des récipients D le débit des robinets Temps nécessaire pour remplir entièrement les récipients T = V/D Le temps t varie de 0 à T Volume obtenu au temps t V(t) =t.D

6 6 PETIT FORMULAIRE

7 7 Remplissage dun cylindre et de 2 cônes. Le volume V et la hauteur H étant déterminés, les bases sont obtenues par calcul.

8 8 Dessin du cylindre et des 2 cônes en projection verticale

9 9 Calcul de H(t) pour chaque récipient dans le cas ci-dessous t =2.46 Figure Cabri de El Madyouni A.M.

10 10 Graphique des hauteurs en fonction du temps pour chaque récipient Hauteur temps

11 11 Figure Cabri de Sarout J. Hauteur temps

12 12 Graphique des fonctions hauteur et de leur dérivée en fonction du temps obtenues par calcul approché Choisir un nombre p, calculer dans les 3 cas le rapport (h(t+p)-h(t) ) / p et diminuer p le plus possible (p= donne une bonne approximation ) temps Hauteur Cliquer sur la figure pour voir limage Cabri

13 13 REMPLISSAGE DE LOCTAEDRE données V et D Sur la projection verticale, on voit en vraie grandeur la hauteur des faces et d un côté, les segments roses sur cette figure représentons loctaèdre en perspective oblique

14 14 Appelons c(t1) le côté du carré à la hauteur h(t1) *

15 15 Quand t parcourt le segment T/2 à T, il suffit de laisser vide Vvide(t2) = V-V(t2) Ce volume correspont à une hauteur Hvide(t2) en utilisant la formule * pour ce volume

16 16 Voici la simulation du remplissage dun octaèdre et dun cylindre de volume V et de hauteur H La tangente à la fonction h(t) en t est représentée par un segment. Pour le construire on dessine la droite comprenant les points( t,h(t)) et (t+p,h(t+p)) avant de donner à p une valeur très petite. Hauteur temps

17 17 Voici le niveau deau atteint pour 2 temps différents dans loctaèdre représenté en perspective oblique avec Cabri. rem:le logiciel ne permet pas de mettre en bleu tout le volume rempli. Figure Cabri de Sarout J. Cliquer sur la figure pour voir limage Cabri

18 18 REMPLISSAGE DE LA SPHERE données Vet D 1/Calcul du volume v dune calotte de hauteur h dans une sphère de rayon r

19 19 2/Calcul de la hauteur h dune calotte sphérique de volume v, r étant le rayon de la sphère d après les calculs de Jean Drabbe

20 20 remarque

21 21 3/Résolution de x³-3x-b=0 avec b [-2;2] a/Dessinons une de ces fonctions

22 22 b/Représentons des fonctions de ce type et faisons varier b entre -2 et 2 Observons les divers zéros de ces fonctions. Cliquer sur la figure pour voir limage cabri

23 23

24 24 d/vérifions le résultat sur un exemple

25 25 e/résumons...

26 26 f/Les solutions construites et calculées ! Figure de El Boulahli S. Cliquer sur la figure pour voir limage cabri

27 27 4/Formule pour la hauteur h dune calotte de volume v dans une sphère de rayon r

28 28 Voici la simulation du remplissage de 3 récipients de même volume Le cylindre a le même diamètre que celui de la sphère. Les unités de ce dessin sont les mêmes que sur le dessin suivant. Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.

29 29 Voici les fonctions donnant les hauteurs de leau en fonction du temps et la dérivée de ces hauteurs par rapport au temps dans les 3 récipients. Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A. temps Hauteur

30 30 Voici le graphique des fonctions dérivées lorsquon modifie léchelle des y pour le remplissage du cylindre, de la sphère et de loctaèdre. Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A. temps Hauteur Cliquer sur la figure pour voir limage cabri

31 31 Associe une courbe à un des 4 récipients! Cliquer sur la figure pour voir limage cabri

32 32 Associe une courbe à un des 4 récipients!

33 33 Associe une courbe à un des 3 récipients! Cliquer sur la figure pour voir limage cabri

34 34 Associe une courbe à un des 3 récipients! Cliquer sur la figure pour voir limage cabri

35 35 SOURCES Textes et correspondance de Jean Drabbe Citésdocs Explora n°46, Mathématiques Editions de la Cité des Sciences et de lIndustrie Paris 2001


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