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Fondements – avenir incertain Professor André Farber Solvay Business School Université Libre de Bruxelles.

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1 Fondements – avenir incertain Professor André Farber Solvay Business School Université Libre de Bruxelles

2 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |2 Rappel: Certitude – 1 période Valeur actuelle : Critères de choix dinvestissement: Interprétation de la VAN: Mesure laccroissement de richesse des propriétaires de lentreprise Indépendante des préférences de choix intertemporels Valeur de lentreprise: Non endettée: Endettée:

3 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |3 Introduction de lincertitude Deux approches possibles: Source dincertitude = états de la « nature » (Arrow 1953) Applications contemporaines: actifs dérivés Rentabilités financières = variable aléatoires distribuées selon loi normale (Markowitz 1952) Aujourdhui: analyse dans le cadre détats de la nature TEMPS: 1 période INCERTITUDE: Une seule source dincertitude: la conjoncture 2 états possibles: Bonne conjoncturebProbabilité: p Mauvaise conjoncturemProbabilité: 1-p

4 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |4 Exemple Prix aujourdhuiCash flow bonne conjoncture (0.40) Cash flow mauvaise conjoncture(0.60) Zéro-coupon unitaire (ZC) Action (A) Taux dintérêt sans risque r f Cash flow attendu Rentabilité attendue de laction

5 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |5 Actifs financiers Prix aujourdhuiCash flow bonne conjoncture (p) Cash flow mauvaise conjoncture(1-p) Zéro-coupon unitaire v1v1 11 ActionaCFA 1b =uaCFA 1m =da Taux dintérêt sans risque r f Cash flow attendu Rentabilité attendue de laction

6 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |6 Evaluation de laction Le prix de laction est égale à la valeur actuelle -du cash flow -actualisé au taux de rentabilité attendue

7 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |7 Evaluation dun actif nouveau Evaluation par comparaison: est-il possible de reproduire lactif nouveau en combinant lobligation et laction? Nous devons résoudre le systéme déquations suivant: Solution: n ZC = 0.54 n S = La valeur du portefeuille est donc: V = 0.54 ×100 + (-0.27) × 50 = 40.6 Conclusion: la valeur de lactif nouveau est V = 40.6 Sinon, ARBITRAGE ValeurBonne conjoncture Proba = 0.40 Mauvaise conjoncture Proba = 0.60 Rentabilité attendue Nouvel actif?3050?

8 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |8 Titres contingents / Options digitales ValeurEtat = BEtat = M Option Bv1bv1b 10 Option Dv1mv1m 01 n ZC = n A = n ZC = n A = v u = 0.35 v d = 0.60 Une option digitale est un titre qui paie 1 dans un état du monde, 0 autrement. (also known as Arrow-Debreu securities, contingent claims) 2 états 2 options D Evaluation Les prix doptions digitales sont appelés prix des titres contigents, prix détats

9 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |9 Prix de titres contingents A léquilibre, le prix payé pour recevoir 1 dans un état du monde doit être le même dans les deux titres Dans le cas contraire, il y aurait une possibilité darbitrage Un portefeuille darbitrage est un portefeuille: - dont la valeur est négative ou nulle (vous ne payez rien ou, mieux encore, vous êtes payé pour détenir ce portefeuille) -dont la valeur est positive dans au moins un des états du monde et nulle dans les autres. Labsence darbitrage est lune des conditions les plus générale déquilibre (dans un marché à léquilibre, pas de repas gratuit!)

10 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |10 Théorème fondamental Dans notre exemple: Dans un marché complet (nombre dactifs = nombre détats), la condition dabsence darbitrage (NA) est satisfaite si et seulement si il existe des prix détats strictement positifs tels que: Valuing Asset 3: Expected return:

11 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |11 A more general formulation: PriceValue up state Proba π Value down state Proba 1 - π Zéro-coupon11+r f Actionauada

12 January 15, 2007 DESG 2 Incertitude |12 Utilisation des prix détats Une fois connus les prix détats, lévaluation est simple: La valeur dun actif générant des cash flows futurs C 1b et C 1m est: La valeur actuelle dun projet de coût I qui rapporte C 1b ou C 1m


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