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Economie des ressources épuisables Sébastien Rouillon 2014 (Première version, 2008)

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1 Economie des ressources épuisables Sébastien Rouillon 2014 (Première version, 2008)

2 1. Formalisation générale On étudie lexploitation dune ressource épuisable. On note : T : La durée dexploitation (finie ou non) ; S 0 : Le stock initial ; (q 0, q 1, …, q T ) : Un plan dextraction ; W(q 0, q 1, …, q T ) : une fonction dobjectif.

3 1. Formalisation générale Tout problème de res. épuisable implique de : Choisir un plan dextraction Q = (q 0, q 1, …, q T ) pour maximiser un objectif W(q 0, q 1, …, q T ) sous une contrainte dépuisement q 0 + q 1 + … + q T S 0.

4 2. La fonction objectif La fonction W(Q) est appelée fonction objectif. Sa forme dépendra du type de problème que lon veut traiter : Equité intergénérationnelle ; Exploitation commerciale.

5 2. La fonction objectif Dans tous les cas, la f° objectif : définit un critère dévaluation des plans Q dextractions possibles ; détermine les propriétés de la solution Q° du problème.

6 3. Equité intergénérationnelle Réfléchir à léquité intergénérationnelle de la répartition de la ressource revient in fine à définir une fonction objectif W(Q). Voici des exemples exotiques possibles : ObjectifFonction objectif Egalité Indice de Gini LissageSomme de carrés des écarts

7 3.1 Critères welfaristes Si la ressource nest jamais stockée, la quantité q t, extraite à la période t, est consommée par la génération courante. Notons alors : U t (q t ) : Lutilité tirée par la génération t de la quantité extraite q t. Elle sera supposée croissante et concave.

8 3.1 Critères Welfaristes Il paraît légitime, pour évaluer Q = (q 0, q 1, …, q T ), de prendre en compte : plutôt que les q t directement, les utilités U t (q t ) quelles procurent. Alors, lobjectif peut sécrire : W(U 0 (q 0 ), U 1 (q 1 ), …, U T (q T )) Quand la fonction objectif sécrit de cette façon, elle est dite Welfariste.

9 3.1 Critères Welfaristes Voici deux ex. de telles fonctions : Maximin : W = min {U 0 (q 0 ), U 1 (q 1 ), …, U T (q T )} Additive actualisée (0 < < 1) : W = U 0 (q 0 ) + U 1 (q 1 ) + … + T U T (q T )

10 3.2 Fonction Maximin Rawls (1971) justifie son utilisation en affirmant quelle serait adoptée, si les générations décidaient la fonction W derrière un voile dignorance, les rendant incapables de savoir : à quelle date elles vivront ; quelle sera leur fonction dutilité ; et si elles avaient une aversion infinie pour le risque.

11 3.2 Fonction Maximin Etudions le cas simple où : S 0 = 1 et T = 1. On cherche q 0 et q 1 pour maximiser W = min {U 0 (q 0 ), U 1 (q 1 )} telles que q 0 + q 1 1.

12 Théorème : La solution (q 0 °, q 1 °) vérifie les conditions : U 0 (q 0 °) = U 1 (q 1 °), q 0 ° + q 1 ° = Fonction Maximin

13 Preuve : Soit (q 0 °, q 1 °) la solution. Comme lutilité est croissante, si q 0 ° + q 1 ° < 1, on peut augmenter W = min {U 1 (q 0 °), U 2 (q 1 °)}. Donc : q 0 ° + q 1 ° = 1. Supposons que :(H1) U 0 (q 0 °) < U 1 (q 1 °). Alors : W = min {U 0 (q 0 °), U 1 (q 1 °)} = U 0 (q 0 °). En augmentant q 0 ° (et en diminuant q 1 ° dautant), W augmente. (H1) est donc contradictoire. Idem avec :(H2) U 0 (q 0 °) > U 1 (q 1 °).

14 3.2 Fonction Maximin Preuve : 1 q0q0 W q1q1 U0U0 U1U1 U0U0 U1U1 Si les deux générations ont la même f° dutil., on aura de plus : q 0 ° = q 1 ° = 1/2 q1°q1°q0°q0°

15 3.2 Fonction Maximin Exercice 1 : Supposons que les deux générations aient pour fonctions dutilité : U 0 (q 0 ) = 5 (1 – q 0 /2) q 0, U 1 (q 1 ) = 8 (1 – q 1 /2) q 1. Si S 0 = 1, montrer que : (q 0 °, q 1 °) = (2/3, 1/3).

16 3.3 Fonction additive actualisée Barro (1974) justifie son utilisation en affirmant quelle serait adoptée par une dynastie parfaitement altruiste, où chaque génération traite sa descendance comme elle-même, notamment en actualisant de la même façon son utilité au cours de sa vie et celles de ses descendants.

17 3.3 Fonction additive actualisée Supposons encore que S 0 = 1 et T = 1. On cherche q 0 et q 1 pour maximiser W = U 0 (q 0 ) + U 1 (q 1 ) et telle que q 0 + q 1 1.

18 3.3 Fonction additive actualisée On appelle utilité marginale de la génération t, la fonction Um t, associant à toute quantité q t, son gain dutilité de t pour laugmentation dune unité (infiniment petite) de sa consommation de la ressource. Par définition de la dérivée : Um t = U t (q t )

19 3.3 Fonction additive actualisée Théorème : La solution (q 0 °, q 1 °) vérifie les conditions : Um 0 (q 0 °) = Um 1 (q 1 °), q 0 ° + q 1 ° = 1.

20 3.3 Fonction additive actualisée Preuve : q0q0 q1q1 Um 1 Um 0 Une unité en + à la gén° 1 augmente W de Um 0. Une unité en + à la gén° 2 augmente W de Um 1. W est max. quand Um 0 = Um 1. Um 1 1 q1°q1°q0°q0° Um 0

21 3.3 Fonction additive actualisée Exercice 2 : Supposons que les deux générations aient pour fonctions dutilité : U 0 (q 0 ) = 5 (1 – q 0 /2) q 0, U 1 (q 1 ) = 8 (1 – q 1 /2) q 1. Si = 1/2 et S 0 = 1, montrer que : (q 0 °, q 1 °) = (5/9, 4/9).

22 3.3 Fonction additive actualisée Exercice 3 : Supposons que les deux générations ont la même fonction dutilité : U 0 (-) = U 1 (-) = U(-) avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la consommation de la ressource. Montrer que : (q 0 °, q 1 °) = (1/(1 + ), /(1 + ))

23 3.3 Fonction additive actualisée Exercice 3 : On a : Um 0 (q 0 ) = 1 – q 0 et Um 1 (q 1 ) = 1 – q 1. La solution du problème vérifie donc : (1) : 1 – q 0 = (1 – q 1 ) (2) : q 0 + q 1 = S 0 = 1 En utilisant (2) : q 1 = 1 – q 0. En substituant dans (1) : 1 – q 0 = q 0 On trouve donc : q 0 ° = 1/(1 + ). En substituant dans (2) : q 1 ° = 1 - 1/(1 + ) = /(1 + ).

24 3.4 Exercices Adapter lexercice 3 dans le cas où on ne connaît pas le stock initial S 0, mais on sait seulement quil est distribué uniformément sur [0, S].

25 4. Mathématiques des ressources épuisables Cette section présente les outils mathématiques, permettant de résoudre un problème de ressource non renouvelable. On distingue deux types de modèles : Modèle en temps discret ; Modèle en temps continu.

26 4.1 Temps discret On veut résoudre le problème suivant : Choisir un plan dextraction (q t ; t = 0, 1, …, T) pour maximiser la fonction objectif W(Q) = Σ t T =0 t U t (q t ) sous la contrainte dépuisement Σ t T =0 q t S 0.

27 4.1 Temps discret On forme le lagrangien associé : L = Σ t T =0 t U t (q t ) – (Σ t T =0 q t – S 0 ), où : est un multiplicateur de Lagrange.

28 4.1 Temps discret La solution du problème vérifie : q t 0, L/ q t 0 et q t ( L/ q t ) = 0, t, 0 et (Σ t T =0 q t – S 0 ) = 0.

29 4.1 Temps discret Avec des fonctions dutilité standards, la solution vérifiera : q t > 0, pour tout t, et > 0. On la trouvera donc en résolvant le système : L/ q t = t U t (q t ) – = 0, pour tout t, Σ t T =0 q t – S 0 = 0.

30 4.2 Temps continu On veut résoudre le problème suivant : Choisir un plan dextraction (q(t) ; t 0) pour maximiser la fonction objectif W(Q) = 0 T e -rt U t (q(t)) dt sous la contrainte dépuisement 0 T q(t) dt S 0.

31 4.2 Temps continu On forme le lagrangien associé : L = 0 T e -rt U t (q(t)) dt – ( 0 T q(t) dt – S 0 ), où : est un multiplicateur de Lagrange.

32 4.2 Temps continu La solution du problème vérifie : q(t) 0, L/ q(t) 0 et q(t) ( L/ q(t)) = 0, t, 0 et ( 0 T q(t) dt – S 0 ) = 0.

33 4.2 Temps continu Avec des fonctions dutilité standards, la solution vérifiera : q(t) > 0, pour tout t, et > 0. On la trouvera donc en résolvant le système : L/ q(t) = e -rt U t (q(t)) – = 0, pour tout t, 0 T q(t) dt – S 0 = 0.

34 4.3 Exercices Exercice 4 : Supposons que les trois générations ont la même fonction dutilité : U 0 (-) = U 1 (-) = U 2 (-) = U(-) avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la consommation de la ressource. Ecrire le lagrangien associé à ce problème. Déterminer le système déquations caractérisant sa solution.

35 5. Gestion privée dune ressource épuisable On étudie ici la gestion dune res. épuisable par des propriétaires privés. On note : P(q) = la fonction de demande inverse i = le taux dintérêt Toutes ces données sont supposées constantes à travers le temps.

36 5.1. Valeur Actualisée Nette On appelle Valeur Actualisée Nette, associée à un flux de profits futurs ( 0, …, t, …), la somme dargent, notée VAN, telle que tout acteur du marché financier serait indifférent entre : dune part, disposer immédiatement de la somme dargent VAN ; dautre part, percevoir, dans le futur, la suite des flux de profits ( 0, …, t, …).

37 5.1. Valeur Actualisée Nette Supposons que le taux dintérêt du marché financier soit de i = 50% par période. La VAN associée à un profit de 1, perçu aux périodes t = 0, 1, 10 ou 100, est donnée par le tableau (avec 1/(1 + i) = 2/3) : t VAN 12/3 (2/3) 10 (2/3) 100

38 5.1. Valeur Actualisée Nette En toute généralité, la valeur actualisée nette dun flux de profits ( 0, …, t, …), pour un taux dintérêt i, sécrit : VAN = … + t t + … où : = 1/(1 + i) = le facteur dactualisation, associé au taux dintérêt i.

39 5.2. Monopole Supposons quil y a un propriétaire-exploitant unique, en position de monopole sur le marché de la ressource épuisable. On note : S 0 = son stock (c 0, …, c t, …) = ses coûts dextraction unitaire

40 5.2. Monopole Le monopole cherche à : Choisir un plan dextraction (q 0, …, q t, …) pour maximiser son profit intertemporel VAN = Σ t t (P(q t ) – c t ) q t sachant sa contrainte dépuisement q 0 + … + q t + … S 0 On appelle équilibre du monopole la solution (q 0 *, …, q t *, …) de ce problème.

41 5.2. Monopole On appelle recette marginale du monopole, la fonction Rm, associant à toute quantité q, laccroissement de sa recette totale pour laugmentation dune unité (infiniment petite) de son offre de la ressource. Par définition de la dérivée : Rm = (P(q) q) = P(q) q + P(q)

42 5.2. Monopole En adaptant les résultats de la sect° 4, on déduit que : Théorème : Léquilibre du monopole (q 0 *, …, q t *, …) vérifie : (1) : Rm 0 – c 0 = … = t (Rm t – c t ) = … (2) : q 0 * + … + q t * + … = S 0

43 5.2. Monopole La condition (1) signifie que le monopole choisit un plan dextraction tel que la dernière unité extraite rapporte autant, en valeur actuelle, à nimporte quelle date. Sinon, il aurait intérêt à réduire son offre à une date où la dernière unité extraite rapporte moins, en valeur actuelle, pour laugmenter à une date où la dernière unité extraite rapporte plus, en valeur actuelle. La condition (2) signifie quil épuise son gisement, en un temps fini ou infini.

44 5.2. Monopole Ex. 5 : Déterminer léquilibre du monopole dans le cas où : P(q) = 1/q e (0 < e < 1) et c t = 0, pour tout t. On a : RT = q 1-e. Doù : Rm = (1 – e)/q e. Léquilibre du monopole vérifie : (1) : (1 – e)/q 0 e = … = t (1 – e)/q t e = … (2) : q 0 + … + q t + … = S 0 En utilisant (1) : q t /q 0 = d t, pour tout t, en notant d = 1/e. En substituant dans (2) : (2) : q 0 (1 + d + … + d t + …) = q 0 /(1 - d) = S 0 Donc, q 0 = (1 - d) S 0. Finalement, avec (1) : q t * = d t (1 - d) S 0, pour tout t.

45 5.3. Concurrence parfaite Supposons quil y a J propriétaires- exploitants identiques. On note, pour chaque j : s 0 = son stock, avec Σ j s 0 = S 0 (c 0, …, c t, …) = ses coûts dextraction unitaires (p 0, …, p t, …) = son anticipation des prix futurs

46 5.3. Concurrence parfaite Tous les propriétaires cherchent à : Choisir un plan dextraction (q 0, …, q t, …) pour maximiser leur profit intertemporel VAN = Σ t t (p t – c t ) q t sachant leur contrainte dépuisement q 0 + … + q t + … s 0 On appelle équilibre du propriétaire la solution (q 0 *, …, q t *, …) de ce problème.

47 5.3. Concurrence parfaite A quelques détails près (ici, s 0 est quelconque et T peut être infini), ce problème est semblable à celui de la section 2.2. En effet, en posant : U t (q t ) = (p t – c t ) q t, on peut le réécrire : Choisir (q 0, …, q t, …), pour maximiser Σ t t U t (q t ), sachant q 0 + … + q t + … s 0.

48 5.3. Concurrence parfaite En adaptant le théorème de la sect° 2.2, avec ici, Um t (q t ) = p t – c t, on déduit : Léquilibre du propriétaire (q 0 *, …, q t *, …) vérifie : (1) : p 0 – c 0 = … = t (p t – c t ) = …, (2) : q 0 * + … + q t * + … = s 0.

49 5.3. Concurrence parfaite La condition (1) signifie que les propriétaires doivent anticiper que la dernière unité extraite rapporte autant, en valeur actuelle, à nimporte quelle date. Sinon, tous auraient intérêt à attendre la date où (ils anticipent que) la dernière unité extraite rapportera le plus, en valeur actuelle, pour extraire s 0 en une fois. Mais alors, le prix à cette date seffondrerait et leur anticipation serait contredite. La condition (2) signifie quil épuise son gisement, en un temps fini ou infini.

50 5.3. Concurrence parfaite Un équilibre du marché (symétrique et avec anticipation parfaite) se définit par : Une anticipation de prix (p 0 *, …, p t *, …) Un plan dextraction (q 0 *, …, q t *, …) tels que : Lanticipation (p 0 *, …, p t *, …) se réalise si tous les propriétaires appliquent le plan (q 0 *, …, q t *, …) Le plan (q 0 *, …, q t *, …) est un équilibre des propriétaires sils anticipent (p 0 *, …, p t *, …)

51 5.3. Concurrence parfaite Théorème : Les anticipations de prix (p 0 *, …, p t *, …) et le plan dextraction (q 0 *, …, q t *, …) forment un équilibre de marché (symétrique et avec anticipation parfaite) si : (p 0 *, …, p t *, …) = (P(Σ j q 0 *), …, P(Σ j q t *), …), p 0 * – c 0 = … = t (p t * – c t ) = …, q 0 * + … + q t * + … = s 0.

52 5.3. Concurrence parfaite Ex. 5 : Déterminer léquilibre du marché dans le cas où : J = 2, P(q) = 1/q et c t = 0, pour tout t. Léquilibre du marché vérifie : (1) : (p 0, …, p t, …) = (1/(2q 0 ), …, 1/(2q t ), …) (2) : p 0 = … = t p t = …, (3) : q 0 + … + q t + … = s 0. En substituant (1) dans (2), on a : (2) : 1/(2q 0 ) = … = t /(2q t ) = … Il sensuit que : q t /q 0 = t, pour tout t. En substituant dans (3) : (3) : q 0 (1 + + … + t + …) = q 0 /(1 - ) = s 0 Donc, q 0 = (1 - ) s 0. On en déduit que : q t * = t (1 - ) s 0, pour tout t. Loffre totale est donc Σ j q t * = 2q t * = t (1 - ) S 0, pour tout t. Les prix déquilibre sont : p t * = 1/[ t (1 - ) S 0 ], pour tout t.

53 5.3. Concurrence parfaite Ex. 5 : Déterminer léquilibre du marché dans le cas où : J = 2, P(q) = 1/q e (0 < e < 1) et c t = 0, pour tout t. Léquilibre du marché vérifie : (1) : (p 0, …, p t, …) = (1/(2q 0 ) e, …, 1/(2q t ) e, …), (2) : p 0 = … = t p t = …, (3) : q 0 + … + q t + … = s 0. En utilisant (1), on a : (2) : 1/(2q 0 ) e = … = t /(2q t ) e = … Il sensuit que : q t /q 0 = d t, pour tout t, en notant d = 1/e. En substituant dans (3) : (2) : q 0 (1 + d + … + d t + …) = q 0 /(1 - d) = s 0 Donc, q 0 = (1 - d) s 0. Finalement, avec (2) : q t * = d t (1 - d) s 0, pour tout t. Loffre totale est donc : Σ j q t * = 2 q t * = d t (1 - d) S 0, pour tout t. Les prix déquilibre sont : p t * = 1/[d t (1 - d) S 0 ] e, pour tout t.

54 5.4. Règle dHotelling On appelle rente de rareté à la date t du propriétaire, notée R t, sa marge sur la dernière unité extraite à la date t : R t = p t – c t, en concurrence parfaite R t = Rm t – c t, en monopole

55 5.4. Règle dHotelling Théorème (Règle dHotelling) : A léquilibre, la rente de rareté croît à toute période au rythme du taux dintérêt i : (R t+1 – R t )/R t = i. Preuve : En substituant R t = p t – c t ou = Rm t – c t, la seconde condition du théorème devient : R 1 = … = t R t = …. On a donc : quelle que soit t, R t+1 = R t, doù lon déduit : (R t+1 - R t )/R t = 1/ - 1 = i.

56 5.5. Application Excel Soit le problème de ressource suivant : S 0 = le stock initial, T = la durée dexploitation, = le facteur dactualisation, U t (q t ) = (a – b q t /2) q t = lutilité, C t (q t ) = c q t = le coût dextraction, avec a > 0, b > 0, c > 0 et 0 < < 1.

57 5.5. Application Excel On va construire une feuille de calculs pour déterminer les plans dextraction déquilibre en conc. pure et parfaite et du monopole. Pour cela, il faut maximiser resp. : W CPP (Q) = t t [U t (q t ) – C t (q t )], W M (Q) = t t [RT t (q t ) – C t (q t )]. (Rque : La f° de demande est P t (q t ) = a – b q t.)

58 5.5. Application Excel On organise la feuille de calcul en : Une zone de paramètres (a, b, c,, S 0 ) ; Une zone de calculs pour déterminer léquilibre en conc. pure et parfaite ; Une zone de calculs pour déterminer léquilibre du monopole.

59 5.5. Application Excel On déclare, dans les cellules : B4 et B5 : les paramètres a et b de la fonction dutilité ; B6 : le paramètre c de la fonction de coût ; B7 : le fact. dactualisat° ; B8 : le stock initial S 0. Zone de paramètrage :

60 5.5. Application Excel On déclare, dans les cellules : A15:A25 : les dates t ; B15:B25 : les qtités q t ; C15:C26 : les stocks S t ; D15:D25 : les util. U t (q t ) ; E15:E25 : les coûts C t (q t ) ; F15:F25 : t (U t (q t ) – C t (q t )). Zone de calculs : Cas de la conc. pure et parf. =($B$4-$B$5/2*B15)*B15 =$B$6*B15 =SOMME(F15:F24) =C15-B15 =$B$7^A15*(D15-E15) =$B$8

61 5.5. Application Excel Dans le solveur, on déclare : F26 comme cellule cible ; B15:B24 comme cellules variables ; B15:B24 >= 0 comme contraintes ; C25 >= 0 comme contrainte. Boîte de dialogue du Solveur :

62 5.5. Application Excel Le Solveur converge vers cette solution :

63 5.5. Application Excel On déclare, dans les cellules : A30:A40 : les dates t ; B30:B39 : les qtités q t ; C30:C40 : les stocks S t ; D30:D39 : les rec. RT t (q t ) ; E30:E39 : les coûts C t (q t ) ; F30:F39 : t (RT t (q t )–C t (q t )). Zone de calculs : Cas du monopole. =($B$4-$B$5*B30)*B30 =$B$6*B30 =SOMME(F30:F39) =C30-B30 =$B$7^A30*(D30-E30) =$B$8

64 5.5. Application Excel Dans le solveur, on déclare : F41 comme cellule cible ; B30:B39 comme cellules variables ; B30:B39 >= 0 comme contraintes ; C40 >= 0 comme contrainte. Boîte de dialogue du Solveur :

65 5.5. Application Excel Le Solveur converge vers cette solution :

66 5.5. Application Excel Comparaison des deux trajectoires dextraction :

67 5.5. Exercice Adapter la feuille de calculs pour prendre en compte lhypothèse dun progrès technique dans lextraction de la ressource. Formellement, supposer que le coût dextraction sécrit : C t (q t ) = c t q t, c t = c (1 – g) t, où g = le taux de progrès technique.

68 6. Mesurer la rareté Les Nations Unies définissent : Les Réserves comme l'ensemble des gisements connus et exploitables, techniquement et économiquement ; Les Ressources comme l'ensemble des gisements connus ou supposés.

69 6. Mesurer la rareté Coût dexploit° Certitude géologique croissante RESSOURCES RESERVES Découvertes Non découvertes Sites connus Sites inconnus Trop coûteux Exploitable

70 6.1 Indicateurs physiques

71 La ratio Rés./Conso. donne le nombre dannées de consommation, au même rythme, à réserves constantes. Ce nest pas un bon indicateur de rareté (Cf. tableau).

72 6.1 Indicateurs physiques Plusieurs facteurs peuvent expliquer lévolution du ratio Conso./Rés. : La découverte de nouveaux gisements ; Lamélioration des technologies dexploitation ; Laugmentation du prix, incitant à ouvrir des sites non rentables ; Le comportement stratégique des acteurs.

73 6.2 Indicat. économiques Du point de vue économique, la rareté se mesure comme le coût dopportunité dun bien, exprimé en unités dun autre bien. Comme indicateur de rareté dune ressource, on utilisera donc : Son coût dextraction ; Son prix de marché ; Sa valeur in situ.

74 6.2 Indicat. économiques Si, à une date t, lextraction à léq. éco. est q t *, alors : Le coût dextract° est Cm ; Le prix de marché est p t * ; La valeur in situ est R t * = q t * – Cm. /u P(q) Cm qt*qt*q pt*pt* Rt*Rt*

75 6.2 Coût dextraction Coût technique dun baril de brut (dollar US)

76 6.2 Coût dextraction Sur la décennie , le coût dextraction du pétrole a fortement diminué (Cf. Tableau). Ceci traduit un progrès technique important dans ce secteur.

77 6.3 Prix de marché Source : Krautkraemer (2005) Indices de prix réel

78 6.4 Valeur in situ Comme il est rare quun gisement soit vendu, les statistiques sur la valeur in situ sont rares. Elles doivent donc être reconstituées : soit à partir de séries de prix et de coût dextraction ; soit à partir de séries de coût dexploration.

79 6.4 Valeur in situ Les tentatives de reconstitution indirecte de séries de valeurs in situ ont en général conclu quelles avaient plutôt diminué avec le temps (Krautkraemer 1998).


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