Economie des ressources épuisables

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1 Economie des ressources épuisables
Sébastien Rouillon 2014 (Première version, 2008)

2 1. Formalisation générale
On étudie l’exploitation d’une ressource épuisable. On note : T : La durée d’exploitation (finie ou non) ; S0 : Le stock initial ; (q0, q1, …, qT) : Un plan d’extraction ; W(q0, q1, …, qT) : une fonction d’objectif.

3 1. Formalisation générale
Tout problème de res. épuisable implique de : Choisir un plan d’extraction Q = (q0, q1, …, qT) pour maximiser un objectif W(q0, q1, …, qT) sous une contrainte d’épuisement q0 + q1 + … + qT  S0.

4 2. La fonction objectif La fonction W(Q) est appelée fonction objectif. Sa forme dépendra du type de problème que l’on veut traiter : Equité intergénérationnelle ; Exploitation commerciale.

5 2. La fonction objectif Dans tous les cas, la f° objectif :
définit un critère d’évaluation des plans Q d’extractions possibles ; détermine les propriétés de la solution Q° du problème.

6 3. Equité intergénérationnelle
Réfléchir à l’équité intergénérationnelle de la répartition de la ressource revient in fine à définir une fonction objectif W(Q). Voici des exemples exotiques possibles : Objectif Fonction objectif Egalité Indice de Gini Lissage Somme de carrés des écarts

7 3.1 Critères welfaristes Si la ressource n’est jamais stockée, la quantité qt, extraite à la période t, est consommée par la génération courante. Notons alors : Ut(qt) : L’utilité tirée par la génération t de la quantité extraite qt. Elle sera supposée croissante et concave.

8 3.1 Critères Welfaristes Il paraît légitime, pour évaluer Q = (q0, q1, …, qT), de prendre en compte : plutôt que les qt directement, les utilités Ut(qt) qu’elles procurent. Alors, l’objectif peut s’écrire : W(U0(q0), U1(q1), …, UT(qT)) Quand la fonction objectif s’écrit de cette façon, elle est dite Welfariste.

9 3.1 Critères Welfaristes Voici deux ex. de telles fonctions :
Maximin : W = min {U0(q0), U1(q1), …, UT(qT)} Additive actualisée (0 <  < 1) : W = U0(q0) +  U1(q1) + … + T UT(qT)

10 3.2 Fonction Maximin Rawls (1971) justifie son utilisation en affirmant qu’elle serait adoptée, si les générations décidaient la fonction W derrière un voile d’ignorance, les rendant incapables de savoir : à quelle date elles vivront ; quelle sera leur fonction d’utilité ; et si elles avaient une aversion infinie pour le risque.

11 pour maximiser W = min {U0(q0), U1(q1)}
3.2 Fonction Maximin Etudions le cas simple où : S0 = 1 et T = 1. On cherche q0 et q1 pour maximiser W = min {U0(q0), U1(q1)} telles que q0 + q1  1.

12 3.2 Fonction Maximin Théorème : La solution (q0°, q1°) vérifie les conditions : U0(q0°) = U1(q1°), q0° + q1° = 1.

13 3.2 Fonction Maximin Preuve : Soit (q0°, q1°) la solution.
Comme l’utilité est croissante, si q0° + q1° < 1, on peut augmenter W = min {U1(q0°), U2(q1°)} . Donc : q0° + q1° = 1. Supposons que : (H1) U0(q0°) < U1(q1°). Alors : W = min {U0(q0°), U1(q1°)} = U0(q0°). En augmentant q0° (et en diminuant q1° d’autant), W augmente. (H1) est donc contradictoire. Idem avec : (H2) U0(q0°) > U1(q1°).

14 3.2 Fonction Maximin Preuve : Si les deux générations ont
la même f° d’util., on aura de plus : q0° = q1° = 1/2 U0 U1 U0 U1 W q1 q0° q1° q0 1

15 3.2 Fonction Maximin Exercice 1 : Supposons que les deux générations aient pour fonctions d’utilité : U0(q0) = 5 (1 – q0/2) q0, U1(q1) = 8 (1 – q1/2) q1. Si S0 = 1, montrer que : (q0°, q1°) = (2/3, 1/3).

16 3.3 Fonction additive actualisée
Barro (1974) justifie son utilisation en affirmant qu’elle serait adoptée par une dynastie parfaitement altruiste, où chaque génération traite sa descendance comme elle-même, notamment en actualisant de la même façon son utilité au cours de sa vie et celles de ses descendants.

17 3.3 Fonction additive actualisée
Supposons encore que S0 = 1 et T = 1. On cherche q0 et q1 pour maximiser W = U0(q0) +  U1(q1) et telle que q0 + q1  1.

18 3.3 Fonction additive actualisée
On appelle utilité marginale de la génération t, la fonction Umt, associant à toute quantité qt, son gain d’utilité de t pour l’augmentation d’une unité (infiniment petite) de sa consommation de la ressource. Par définition de la dérivée : Umt = Ut’(qt)

19 3.3 Fonction additive actualisée
Théorème : La solution (q0°, q1°) vérifie les conditions : Um0(q0°) =  Um1(q1°), q0° + q1° = 1.

20 3.3 Fonction additive actualisée
Preuve : Um0 Um1 Une unité en + à la gén° 1 augmente W de Um0. Une unité en + à la gén° 2 augmente W de Um1. W est max. quand Um0 = Um1. Um0 Um1 Um1 q1 q0° q1° q0 1

21 3.3 Fonction additive actualisée
Exercice 2 : Supposons que les deux générations aient pour fonctions d’utilité : U0(q0) = 5 (1 – q0/2) q0, U1(q1) = 8 (1 – q1/2) q1. Si d = 1/2 et S0 = 1, montrer que : (q0°, q1°) = (5/9, 4/9).

22 3.3 Fonction additive actualisée
Exercice 3 : Supposons que les deux générations ont la même fonction d’utilité : U0(-) = U1(-) = U(-) avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la consommation de la ressource. Montrer que : (q0°, q1°) = (1/(1 + ), /(1 + ))

23 3.3 Fonction additive actualisée
Exercice 3 : On a : Um0(q0) = 1 – q0 et Um1(q1) = 1 – q1. La solution du problème vérifie donc : (1) : 1 – q0 =  (1 – q1) (2) : q0 + q1 = S0 = 1 En utilisant (2) : q1 = 1 – q0. En substituant dans (1) : 1 – q0 =  q0 On trouve donc : q0° = 1/(1 + ). En substituant dans (2) : q1° = 1 - 1/(1 + ) = /(1 + ).

24 < Attention, casse-tête ! >
3.4 Exercices < Attention, casse-tête ! > Adapter l’exercice 3 dans le cas où on ne connaît pas le stock initial S0, mais on sait seulement qu’il est distribué uniformément sur [0, S].

25 4. Mathématiques des ressources épuisables
Cette section présente les outils mathématiques, permettant de résoudre un problème de ressource non renouvelable. On distingue deux types de modèles : Modèle en temps discret ; Modèle en temps continu.

26 4.1 Temps discret On veut résoudre le problème suivant :
Choisir un plan d’extraction (qt ; t = 0, 1, …, T) pour maximiser la fonction objectif W(Q) = Σ tT=0 t Ut(qt) sous la contrainte d’épuisement Σ tT=0 qt  S0.

27 4.1 Temps discret On forme le lagrangien associé :
L = Σ tT=0 t Ut(qt) – l (Σ tT=0 qt – S0), où : l est un multiplicateur de Lagrange.

28 4.1 Temps discret La solution du problème vérifie :
qt  0, L/qt  0 et qt (L/qt) = 0, t, l  0 et l (Σ tT=0 qt – S0) = 0.

29 4.1 Temps discret Avec des fonctions d’utilité standards, la solution vérifiera : qt > 0, pour tout t, et l > 0. On la trouvera donc en résolvant le système : L/qt = t Ut’(qt) – l = 0, pour tout t, Σ tT=0 qt – S0 = 0.

30 4.2 Temps continu On veut résoudre le problème suivant :
Choisir un plan d’extraction (q(t) ; t  0) pour maximiser la fonction objectif W(Q) = 0T e-rt Ut(q(t)) dt sous la contrainte d’épuisement 0T q(t) dt  S0.

31 4.2 Temps continu On forme le lagrangien associé :
L = 0T e-rt Ut(q(t)) dt – l (0T q(t) dt – S0), où : l est un multiplicateur de Lagrange.

32 4.2 Temps continu La solution du problème vérifie :
q(t)  0, L/q(t)  0 et q(t) (L/q(t)) = 0, t, l  0 et l (0T q(t) dt – S0) = 0.

33 4.2 Temps continu Avec des fonctions d’utilité standards, la solution vérifiera : q(t) > 0, pour tout t, et l > 0. On la trouvera donc en résolvant le système : L/q(t) = e-rt Ut’(q(t)) – l = 0, pour tout t, 0T q(t) dt – S0 = 0.

34 4.3 Exercices Exercice 4 : Supposons que les trois générations ont la même fonction d’utilité : U0(-) = U1(-) = U2(-) = U(-) avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la consommation de la ressource. Ecrire le lagrangien associé à ce problème. Déterminer le système d’équations caractérisant sa solution.

35 5. Gestion privée d’une ressource épuisable
On étudie ici la gestion d’une res. épuisable par des propriétaires privés. On note : P(q) = la fonction de demande inverse i = le taux d’intérêt Toutes ces données sont supposées constantes à travers le temps.

36 5.1. Valeur Actualisée Nette
On appelle Valeur Actualisée Nette, associée à un flux de profits futurs (p0, …, pt, …), la somme d’argent, notée VAN, telle que tout acteur du marché financier serait indifférent entre : d’une part, disposer immédiatement de la somme d’argent VAN ; d’autre part, percevoir, dans le futur, la suite des flux de profits (p0, …, pt, …).

37 5.1. Valeur Actualisée Nette
Supposons que le taux d’intérêt du marché financier soit de i = 50% par période. La VAN associée à un profit de 1 €, perçu aux périodes t = 0, 1, 10 ou 100, est donnée par le tableau (avec 1/(1 + i) = 2/3) : t VAN 1 2/3 (2/3)10 (2/3)100

38 5.1. Valeur Actualisée Nette
En toute généralité, la valeur actualisée nette d’un flux de profits (p0, …, pt, …), pour un taux d’intérêt i, s’écrit : VAN = p0 +  p1 + … + t pt + … où :  = 1/(1 + i) = le facteur d’actualisation, associé au taux d’intérêt i.

39 5.2. Monopole Supposons qu’il y a un propriétaire-exploitant unique, en position de monopole sur le marché de la ressource épuisable. On note : S0 = son stock (c0, …, ct, …) = ses coûts d’extraction unitaire

40 5.2. Monopole Le monopole cherche à : Choisir un plan d’extraction
(q0, …, qt, …) pour maximiser son profit intertemporel VAN = Σt t (P(qt) – ct) qt sachant sa contrainte d’épuisement q0 + … + qt + …  S0 On appelle équilibre du monopole la solution (q0*, …, qt*, …) de ce problème.

41 Rm = (P(q) q)’ = P’(q) q + P(q)
5.2. Monopole On appelle recette marginale du monopole, la fonction Rm, associant à toute quantité q, l’accroissement de sa recette totale pour l’augmentation d’une unité (infiniment petite) de son offre de la ressource. Par définition de la dérivée : Rm = (P(q) q)’ = P’(q) q + P(q)

42 5.2. Monopole En adaptant les résultats de la sect° 4, on déduit que :
Théorème : L’équilibre du monopole (q0*, …, qt*, …) vérifie : (1) : Rm0 – c0 = … = t(Rmt – ct) = … (2) : q0* + … + qt* + … = S0

43 5.2. Monopole La condition (1) signifie que le monopole choisit un plan d’extraction tel que la dernière unité extraite rapporte autant, en valeur actuelle, à n’importe quelle date. Sinon, il aurait intérêt à réduire son offre à une date où la dernière unité extraite rapporte moins, en valeur actuelle, pour l’augmenter à une date où la dernière unité extraite rapporte plus, en valeur actuelle. La condition (2) signifie qu’il épuise son gisement, en un temps fini ou infini.

44 P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t.
5.2. Monopole Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du monopole dans le cas où : P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t. On a : RT = q1-e. D’où : Rm = (1 – e)/qe. L’équilibre du monopole vérifie : (1) : (1 – e)/q0e = … = t (1 – e)/qte = … (2) : q0 + … + qt + … = S0 En utilisant (1) : qt/q0 = dt, pour tout t, en notant d = 1/e. En substituant dans (2) : (2) : q0 (1 + d + … + dt + …) = q0/(1 - d) = S0 Donc, q0 = (1 - d) S0. Finalement, avec (1) : qt* = dt (1 - d) S0, pour tout t.

45 5.3. Concurrence parfaite Supposons qu’il y a J propriétaires-exploitants identiques. On note, pour chaque j : s0 = son stock, avec Σj s0 = S0 (c0, …, ct, …) = ses coûts d’extraction unitaires (p0, …, pt, …) = son anticipation des prix futurs

46 5.3. Concurrence parfaite Tous les propriétaires cherchent à :
Choisir un plan d’extraction (q0, …, qt, …) pour maximiser leur profit intertemporel VAN = Σt t (pt – ct) qt sachant leur contrainte d’épuisement q0 + … + qt + …  s0 On appelle équilibre du propriétaire la solution (q0*, …, qt*, …) de ce problème.

47 pour maximiser Σt t Ut(qt),
5.3. Concurrence parfaite A quelques détails près (ici, s0 est quelconque et T peut être infini), ce problème est semblable à celui de la section 2.2. En effet, en posant : Ut(qt) = (pt – ct) qt, on peut le réécrire : Choisir (q0, …, qt, …), pour maximiser Σt t Ut(qt), sachant q0 + … + qt + …  s0.

48 5.3. Concurrence parfaite En adaptant le théorème de la sect° 2.2, avec ici, Umt(qt) = pt – ct, on déduit : L’équilibre du propriétaire (q0*, …, qt*, …) vérifie : (1) : p0 – c0 = … = t (pt – ct) = …, (2) : q0* + … + qt* + … = s0.

49 5.3. Concurrence parfaite La condition (1) signifie que les propriétaires doivent anticiper que la dernière unité extraite rapporte autant, en valeur actuelle, à n’importe quelle date. Sinon, tous auraient intérêt à attendre la date où (ils anticipent que) la dernière unité extraite rapportera le plus, en valeur actuelle, pour extraire s0 en une fois. Mais alors, le prix à cette date s’effondrerait et leur anticipation serait contredite. La condition (2) signifie qu’il épuise son gisement, en un temps fini ou infini.

50 5.3. Concurrence parfaite Un équilibre du marché (symétrique et avec anticipation parfaite) se définit par : Une anticipation de prix (p0*, …, pt*, …) Un plan d’extraction (q0*, …, qt*, …) tels que : L’anticipation (p0*, …, pt*, …) se réalise si tous les propriétaires appliquent le plan (q0*, …, qt*, …) Le plan (q0*, …, qt*, …) est un équilibre des propriétaires s’ils anticipent (p0*, …, pt*, …)

51 5.3. Concurrence parfaite Théorème : Les anticipations de prix (p0*, …, pt*, …) et le plan d’extraction (q0*, …, qt*, …) forment un équilibre de marché (symétrique et avec anticipation parfaite) si : (p0*, …, pt*, …) = (P(Σjq0*), …, P(Σjqt*), …), p0* – c0 = … = t (pt* – ct) = …, q0* + … + qt* + … = s0.

52 J = 2, P(q) = 1/q et ct = 0, pour tout t.
5.3. Concurrence parfaite Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du marché dans le cas où : J = 2, P(q) = 1/q et ct = 0, pour tout t. L’équilibre du marché vérifie : (1) : (p0, …, pt, …) = (1/(2q0), …, 1/(2qt), …) (2) : p0 = … = t pt = …, (3) : q0 + … + qt + … = s0. En substituant (1) dans (2), on a : (2) : 1/(2q0) = … = t/(2qt) = … Il s’ensuit que : qt/q0 = t, pour tout t. En substituant dans (3) : (3) : q0 (1 +  + … + t + …) = q0/(1 - ) = s0 Donc, q0 = (1 - ) s0. On en déduit que : qt* = t (1 - ) s0, pour tout t. L’offre totale est donc Σj qt* = 2qt* = t (1 - ) S0, pour tout t. Les prix d’équilibre sont : pt* = 1/[t (1 - ) S0], pour tout t.

53 J = 2, P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t.
5.3. Concurrence parfaite Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du marché dans le cas où : J = 2, P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t. L’équilibre du marché vérifie : (1) : (p0, …, pt, …) = (1/(2q0)e, …, 1/(2qt)e, …), (2) : p0 = … = t pt = …, (3) : q0 + … + qt + … = s0. En utilisant (1), on a : (2) : 1/(2q0)e = … = t/(2qt)e = … Il s’ensuit que : qt/q0 = dt, pour tout t, en notant d = 1/e. En substituant dans (3) : (2) : q0 (1 + d + … + dt + …) = q0/(1 - d) = s0 Donc, q0 = (1 - d) s0. Finalement, avec (2) : qt* = dt (1 - d) s0, pour tout t. L’offre totale est donc : Σj qt* = 2 qt* = dt (1 - d) S0, pour tout t. Les prix d’équilibre sont : pt* = 1/[dt (1 - d) S0]e, pour tout t.

54 Rt = pt – ct, en concurrence parfaite
5.4. Règle d’Hotelling On appelle rente de rareté à la date t du propriétaire, notée Rt, sa marge sur la dernière unité extraite à la date t : Rt = pt – ct, en concurrence parfaite Rt = Rmt – ct, en monopole

55 5.4. Règle d’Hotelling Théorème (Règle d’Hotelling) : A l’équilibre, la rente de rareté croît à toute période au rythme du taux d’intérêt i : (Rt+1 – Rt)/Rt = i. Preuve : En substituant Rt = pt – ct ou = Rmt – ct, la seconde condition du théorème devient : R1 = … = t Rt = …. On a donc : quelle que soit t,  Rt+1 = Rt, d’où l’on déduit : (Rt+1 - Rt)/Rt = 1/ - 1 = i.

56 5.5. Application Excel Soit le problème de ressource suivant :
S0 = le stock initial, T = la durée d’exploitation, d = le facteur d’actualisation, Ut(qt) = (a – b qt/2) qt = l’utilité, Ct(qt) = c qt = le coût d’extraction, avec a > 0, b > 0, c > 0 et 0 < d < 1.

57 5.5. Application Excel On va construire une feuille de calculs pour déterminer les plans d’extraction d’équilibre en conc. pure et parfaite et du monopole. Pour cela, il faut maximiser resp. : WCPP(Q) = St dt [Ut(qt) – Ct(qt)], WM(Q) = St dt [RTt(qt) – Ct(qt)]. (Rque : La f° de demande est Pt(qt) = a – b qt.)

58 5.5. Application Excel On organise la feuille de calcul en :
Une zone de paramètres (a, b, c, d, S0) ; Une zone de calculs pour déterminer l’équilibre en conc. pure et parfaite ; Une zone de calculs pour déterminer l’équilibre du monopole.

59 5.5. Application Excel Zone de paramètrage :
On déclare, dans les cellules : B4 et B5 : les paramètres a et b de la fonction d’utilité ; B6 : le paramètre c de la fonction de coût ; B7 : le fact. d’actualisat° d ; B8 : le stock initial S0.

60 5.5. Application Excel On déclare, dans les cellules :
A15:A25 : les dates t ; B15:B25 : les qtités qt ; C15:C26 : les stocks St ; D15:D25 : les util. Ut(qt) ; E15:E25 : les coûts Ct(qt) ; F15:F25 : dt (Ut(qt) – Ct(qt)). Zone de calculs : Cas de la conc. pure et parf. =$B$7^A15*(D15-E15) =$B$6*B15 =$B$8 =C15-B15 =($B$4-$B$5/2*B15)*B15 =SOMME(F15:F24)

61 5.5. Application Excel Dans le solveur, on déclare :
Boîte de dialogue du Solveur : Dans le solveur, on déclare : F26 comme cellule cible ; B15:B24 comme cellules variables ; B15:B24 >= 0 comme contraintes ; C25 >= 0 comme contrainte.

62 5.5. Application Excel Le Solveur converge vers cette solution :

63 5.5. Application Excel On déclare, dans les cellules :
A30:A40 : les dates t ; B30:B39 : les qtités qt ; C30:C40 : les stocks St ; D30:D39 : les rec. RTt(qt) ; E30:E39 : les coûts Ct(qt) ; F30:F39 : dt(RTt(qt)–Ct(qt)). Zone de calculs : Cas du monopole. =$B$7^A30*(D30-E30) =$B$6*B30 =$B$8 =($B$4-$B$5*B30)*B30 =C30-B30 =SOMME(F30:F39)

64 5.5. Application Excel Dans le solveur, on déclare :
Boîte de dialogue du Solveur : Dans le solveur, on déclare : F41 comme cellule cible ; B30:B39 comme cellules variables ; B30:B39 >= 0 comme contraintes ; C40 >= 0 comme contrainte.

65 5.5. Application Excel Le Solveur converge vers cette solution :

66 5.5. Application Excel Comparaison des deux trajectoires d’extraction :

67 5.5. Exercice Adapter la feuille de calculs pour prendre en compte l’hypothèse d’un progrès technique dans l’extraction de la ressource. Formellement, supposer que le coût d’extraction s’écrit : Ct(qt) = ct qt, ct = c (1 – g)t, où g = le taux de progrès technique.

68 6. Mesurer la rareté Les Nations Unies définissent :
Les Réserves comme l'ensemble des gisements connus et exploitables, techniquement et économiquement ; Les Ressources comme l'ensemble des gisements connus ou supposés.

69 6. Mesurer la rareté Coût d’exploit° RESSOURCES Sites inconnus
Non découvertes Découvertes RESSOURCES Trop coûteux Sites inconnus Sites connus Exploitable RESERVES Certitude géologique croissante

70 6.1 Indicateurs physiques

71 6.1 Indicateurs physiques
La ratio Rés./Conso. donne le nombre d’années de consommation, au même rythme, à réserves constantes. Ce n’est pas un bon indicateur de rareté (Cf. tableau).

72 6.1 Indicateurs physiques
Plusieurs facteurs peuvent expliquer l’évolution du ratio Conso./Rés. : La découverte de nouveaux gisements ; L’amélioration des technologies d’exploitation ; L’augmentation du prix, incitant à ouvrir des sites non rentables ; Le comportement stratégique des acteurs.

73 6.2 Indicat. économiques Du point de vue économique, la rareté se mesure comme le coût d’opportunité d’un bien, exprimé en unités d’un autre bien. Comme indicateur de rareté d’une ressource, on utilisera donc : Son coût d’extraction ; Son prix de marché ; Sa valeur in situ.

74 6.2 Indicat. économiques Si, à une date t, l’extraction à l’éq. éco. est qt*, alors : Le coût d’extract° est Cm ; Le prix de marché est pt* ; La valeur in situ est Rt* = qt* – Cm. €/u P(q) pt* Rt* Cm qt* q

75 6.2 Coût d’extraction Coût technique d’un baril de brut (dollar US)

76 6.2 Coût d’extraction Sur la décennie , le coût d’extraction du pétrole a fortement diminué (Cf. Tableau). Ceci traduit un progrès technique important dans ce secteur.

77 6.3 Prix de marché Indices de prix réel 1960-1995
Source : Krautkraemer (2005)

78 6.4 Valeur in situ Comme il est rare qu’un gisement soit vendu, les statistiques sur la valeur in situ sont rares. Elles doivent donc être reconstituées : soit à partir de séries de prix et de coût d’extraction ; soit à partir de séries de coût d’exploration.

79 6.4 Valeur in situ Les tentatives de reconstitution indirecte de séries de valeurs in situ ont en général conclu qu’elles avaient plutôt diminué avec le temps (Krautkraemer 1998).