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Phm - Observatoire de Lyon – avril 2014 Autour du Soleil, de la Terre et des noyaux de comètes.

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1 Phm - Observatoire de Lyon – avril 2014 Autour du Soleil, de la Terre et des noyaux de comètes

2 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc2 Gravitation à la surface dun astre satellisation autour dun corps céleste Titre un peu plus sérieux

3 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc3 La force due à la gravitation qui retient les objets à la surface dun astre habituellement sphérique, sexprime de façon simple par la loi de Newton : Si lon applique cette force sur un objet de masse unité, on a la valeur de la gravité à la surface de ce corps appelée sur Terre. Préambule Deux paramètres la masse du corps et son rayon apparaissent dans lexpression. pesanteur MR

4 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc4 Cette force quoique moindre sexerce toujours en séloignant du corps, mais tout objet peut être satellisé si laccélération centrifuge due à la vitesse de rotation de lobjet autour du corps compense la gravité Préambule (suite) Lexpression de la vitesse de satellisation à une distance d du centre est donnée par la formule : qui sobtient facilement en égalant laccélération centrifuge due à la rotation, à la pesanteur : A une certaine vitesse, lobjet se libère de sa tutelle gravitationnelle. Cette vitesse, à la surface de lastre est :

5 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc5 Lorsque lobjet est satellisé, les lois de Kepler sont toutes applicables et permettent davoir les caractéristiques des orbites : période, demi-grand axe, etc. Préambule (fin)

6 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc6 Gravité à la surface La valeur de la gravité g à la surface de la Terre est bien connue, facile à retrouver connaissant son diamètre et sa masse. Il en est de même de la plupart des objets du système solaire. Les vitesse de libération sont des données essentielles dans le cas des sondes à envoyer vers leur cible. Elles sont aussi capitales pour comprendre lévolution des atmosphères des planètes. Ces calculs peuvent faire lobjets de nombreux exercices qui présentent un intérêt pratique pour comprendre les conditions qui règnent à la surface des astres.

7 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc7 Gravité à la surface La température à la surface dun astre conditionne la vitesse dagitation moyenne des particules gazeuses. Si celle-ci est proche de la vitesse de libération, il est facile de comprendre la présence datmosphère ou sa perte, ou encore lévaporation sélective des gaz plus légers.

8 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc8 - gravité à la surface dun corps - vitesse de satellisation à la surface - vitesse et période de satellisation à la distance d - vitesse dévasion à la surface Travail et calculs Pour faire les calculs avec ces formules, on peut faire appel à un tableur dans lequel on rentre toutes les caractéristiques des différents corps. Geogebra nous donne cette commodité par lutilisation de curseurs afin de faire varier R et M et obtenir : Pour parler dactualité, nous regarderons ce qui va se passer lors de la rencontre de la sonde Rosetta avec la comète Comme les masses, les rayons peuvent varier dans des proportions importantes, avoir des variables continues est une facilité. 67P/Churyumov–Gerasimenko.

9 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc9 Travail et calculs Remarques sur la façon de procéder Les noms des variables utilisés ne sont pas imposés. La commodité de lecture et de construction conseille de les garder tels quels. Ce document et le texte accompagnateur permet de construire le TD pas à pas La construction des objets et équation nest pas absolu. Penser à sauvegarder régulièrement. Les textes en gras et en police Arial sont les variables et les expressions à rentrer et utiliser dans Geogebra avec la syntaxe telle quelle est écrite. en gras et en police Arial Geogebra permet souvent de construire les mêmes objets par des procédés différents. A vous de choisir ce qui vous convient.

10 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc10 Travail et calculs Pour les personnes qui débutent dans Geogebra vous pouvez consulter le fichier elements_geogebra.pdf téléchargeable à la page et les fichiers accompagnateurs : Pour les personnes qui débutent dans Geogebra vous pouvez consulter le fichier elements_geogebra.pdf téléchargeable à : Cette icône indique un travail avec Geogebra : cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation/elements_geogebra.pdf. construit comme initiation à Geogebra.

11 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc11 Calculs gravitationnels Dans la partie Tableur de ce fichier sont données pour information, les rayons et masses des principaux corps du système solaire. Ouvrir Geogebra 2D Dans la fenêtre de saisie rentrer la valeur de G : Valeurs prises sur le site de lIMCCE Pour calculer les paramètres gravitationnels des différents objets on utilisera les valeurs de leurs masses et leurs rayons que lon prendra dans le tableur. De lunité astronomique (en km) ua : G = * 10^-11 ua = G Charger le fichierastro_data.ggb

12 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc12 Illustrations Le système solaire

13 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc13 Illustrations Dimensions détoiles

14 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc14 Illustrations Diagramme HR donnant une idée de la diversité des rayons des étoiles. Les masses stellaires vont de 0.01 à 100 masses solaires. Cette grande valeur semblant exceptionnelle.

15 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc15 Un curseur simple nest pas adapté à ces calculs parce que létendue des plages de valeurs peut être très grande. La création de curseurs variant de façon continue simplifiera la manipulation de ces valeurs. Il suffira dajuster les curseurs sur les valeurs des rayons et masses du corps trouvées dans la partie tableur. Curseur double Exemple : létendue des masses allant de kg pour la Lune à kg pour le Soleil et plus Curseurs

16 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc16 Pour palier cette difficulté, on scinde chaque curseur en deux : un pour les chiffres significatifs un deuxième pour les puissances de dix. Curseur double On vient donc dutiliser la notation scientifique. Comment ladapter aux curseurs ? Une variable ( pour le rayon et pour la masse) fait la synthèse de ces curseurs. RM Curseurs

17 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc17 Création des variables par et quatre curseurs Curseurs M R VariableObjetCurseurPlageincrément Masse Rayon M = curs_M*10^curs10_Mcurs_M0 – curs10_M R = curs_R*10^curs10_Rcurs_R curs10_R Sauvegarder en donnant un nouveau nom personnalisé.

18 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc18 Calculs gravitationnels g = M / (R 1000)^(2) Ecrire lexpression de sous forme GeoGebra en tenant compte des unités : Lafficher dans un Texte et par ses « propriétés » le mettre en taille moyenne. 1 - Gravité à la surface dun corps

19 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc19 Calculs gravitationnels 2 - Vitesse de satellisation à la surface. Son expression est Ecriture Geogebra V_S = sqrt(G * M / (R * 1000)) / 1000 Vitesse dévasion ou de libération. 3 - vitesse dévasion à la surface V_E = V_S * sqrt(2) Affichage dans le texte précdédent.

20 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc20 Caractéristiques des corps du système solaire Remplir le tableau ou mettre les données dans la partie tableur : – gravité à la surfacecol. 2 – vitesse de satellisation col. 3 – vitesse dévasioncol. 4 Sauvegarder. Donner successivement, avec laide des quatre curseurs, les valeurs de et des astres inscrits dans le tableur. M R

21 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc21 Satellisation à la distance a Valeur exprimée en kilomètres. Calculer : - la gravité à cette distance - la période de rotation - la vitesse sur lorbite. Plage de variations : de quelques km à plusieurs unités astronomiques. Construire une variable avec deux curseurs et comme précédemment qui permettra de mettre un satellite en orbite circulaire à la distance a du centre de lobjet. a curs_a curs10_a

22 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc22 Satellisation à la distance a Soit : P = sqrt( 4 * π^2 / G * (a * 1000)^3 / M ) g_a = G * M / (a * 1000)^(2) La période de rotation La force de gravité à la distance gaga Le demi-grand axe vaut donc et sa période sexprime à partir de la 3 ème loi de Kepler en négligeant la masse de lobjet : a P

23 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc23 Satellisation à la distance a a) par la circonférence du cercle divisée par la période b) par la formule de satellisation Vérifier que les deux valeurs sont égales. Calculer la vitesse sur lorbite. V_1 = 2 * π (a * 1000) / P V_2 = sqrt(G * M / (a * 1000)) Dans un deuxième objet texte faire afficher la gravité la distance la période de rotation la vitesse sur lorbite. Sauvegarder. gaga a P

24 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc24 Satellisation à la distance a On peut donc simuler tous les corps en orbites : - satellites autour de la terre - la Lune - les planètes du système solaire, etc.

25 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc25 La sonde Rosetta Projet ambitieux, la sonde Rosetta doit accompagner le noyau de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko. La mission comporte deux volets : a) satelliser la sonde autour du noyau pour lobserver et suivre son dégazage et dépoussiérage lors de son passage au périhélie prévu pour le 13 août b) faire atterrir un petit engin (Philae) sur le sol même du noyau pour létude du sol. Le problème principal de la satellisation est lextrême faiblesse de lamplitude de la force gravitationnelle qui va lier les deux corps. Avec notre programme Geogebra universel, nous allons faire une simulation des conditions de pesanteur dans lesquelles va plonger la sonde Rosetta.

26 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc26 Les protagonistes La comèteLa sonde Rosetta Le module Philae

27 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc27 Le noyau de la comète Les observations actuelle donnent : - dimensions : corps non sphérique approximativement de 5 km sur 3 km. - estimations de sa masse volumique : de 100 à 370 kg / m 3 - période de rotation 17.3 heures environ

28 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc28 Le noyau de la comète Pour faire les calculs de gravité, il faut une masse estimée du noyau. Masse du noyau On simplifie le problème, en assimilant le noyau de la comète à un ellipsoïde de révolution : On prendra une masse volumique de 100 kg M / m 3 Volume : et si sa masse volumique est, sa masse totale sera : - grand axe km 2 a C = 5 - petit axe km. 2b C = 3

29 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc29 Le noyau de la comète V_{comete} = 4 / 3 π * a_c * 1000 (b_c * 1000)^2 a_c = 2.5 b_c = 1.5 dans Geogebra : M_{comète} = V_{comète} * 100 Donner la gravité à sa surface et comparer la à celle de la Terre Masse volumiquer = 100 kg/m3r = 370 kg/m3 Grand axePetit axeGrand axePetit axe Gravité Comète Rap. Terre/comète

30 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc30 Satellisation de la sonde La sonde devrait être satellisée à environ 25 km. Faire le même calcul au cas ou la sonde aurait été satellisée juste au dessus de la surface du noyau de la comète. Calculer la force de gravité exercée par le noyau sur la sonde, sa période de rotation et sa vitesse sur son orbite. a = 25 kma = 3 km Force de gravité exercée par le noyau Période de rotation Vitesse sur son orbite

31 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc31 Satellisation de la sonde La période de rotation de la comète sur elle-même est de 12.7 heures environ. Trouver à quelle distance devrait-elle être placée pour avoir une orbite géostationnaire ? Pour la dernière fois SAUVEGARDER. Autre question et calcul : Sous quel angle la sonde voit-elle le noyau ? Comparer au diamètre angulaire de la Lune vue de la Terre.

32 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc32 Sous quel diamètre la sonde voit-on le noyau de la comète ? La sonde est placée à une distance variable grâce à un curseur dist. Calcul complémentaire Voir le fichier : diametre_angulaire_noyau.ggb De ce point on construit les deux tangentes au cercle représentant la dimension la plus grande de lellipsoïde noyau. Langle cherché est langle des deux droites.

33 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc33

34 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc34 Nucleus properties of Comet 67P/Churyumov–Gerasimenko estimated from non-gravitational force modeling Abstract By considering model comet nuclei with a wide range of sizes, prolate ellipsoidal shapes, spin axis orientations, and surface activity patterns, constraints have been placed on the nucleus properties of the primary Rosetta target, Comet 67P/Churyumov–Gerasimenko. This is done by requiring that the model bodies simultaneously reproduce the empirical nucleus rotational lightcurve, the water production rate as function of time, and non-gravitational changes (per apparition) of the orbital period (ΔPΔP), longitude of perihelion (Δ ϖ ), and longitude of the ascending node (ΔΩ). Two different thermophysical models are used in order to calculate the water production rate and non-gravitational force vector due to nucleus outgassing of the model objects. By requiring that the nominal water production rate measurements are reproduced as well as possible, we find that the semi-major axis of the nucleus is close to 2.5 km, the nucleus axis ratio is approximately 1.4, while the spin axis argument is either 60°±15°60°±15° or 240°±15°240°±15°. The spin axis obliquity can only be preliminarily constrained, indicating retrograde rotation for the first argument value, and prograde rotation for the second suggested spin axis argument. A nucleus bulk density in the range 100–370 kg m3 is found for the nominal ΔPΔP, while an upper limit of 500 kg m3 can be placed if the uncertainty in ΔPΔP is considered. Both considered thermophysical models yield the same spin axis, size, shape, and density estimates. Alternatively, if calculated water production rates within an envelope around the measured data are considered, it is no longer possible to constrain the size, shape, and spin axis orientation of the nucleus, but an upper limit on the nucleus bulk density of 600 kg m3 is suggested. IcarusIcarus Volume 176, Issue 2, August 2005, Pages 453–477Volume 176, Issue 2

35 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc35 Orbite de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko Lorbite dune planète, astéroïde ou comète se définit par rapport au plan de lécliptique par des paramètres. Voir glossaire de lIMCCE :

36 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc36 Orbite de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko en 3D avec GeoGebra Le tracé en 3 dimensions de la trajectoire de la comète et lorbite de la Terre peut être fait avec Geogebra 3D sur la période du passage au périhélie. Cet exercice a été fait à lidentique pour la comète ISON fin Les fichiers du TD (explications et Geogebra) sont à la page de la Formation Continue : Les éphémérides de la comète sont à trouver en ligne à la page de lIMCCE : avec la désignation : P/Churyumov-Gerasimenko

37 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc37 Orbite de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko en 3D avec GeoGebra Trajectoire comète Ison.

38 Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc38 FIN


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