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Répartition de la dissipation visqueuse dans un distributeur constructal Daniel Tondeur, Lingai Luo LSGC Nancy LOCIE Chambéry.

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1 Répartition de la dissipation visqueuse dans un distributeur constructal Daniel Tondeur, Lingai Luo LSGC Nancy LOCIE Chambéry

2 Contenu Répartition de la dissipation visqueuse dans un distributeur fractal dichotomique (invariant déchelle) Répartition de la dissipation visqueuse dans un distributeur fractal dichotomique (invariant déchelle) Equipartition déchelle Equipartition déchelle La notion de distribution constructale, caractéristique dune structure multi-échelle La notion de distribution constructale, caractéristique dune structure multi-échelle Extension à un distributeur quadrichotomique invariant déchelle Extension à un distributeur quadrichotomique invariant déchelle Généralisation aux structures « covariantes déchelle » Généralisation aux structures « covariantes déchelle »

3 Un distributeur fractal

4 Les relations constitutives Loi de perte de charge dans un canal de génération k Dissipation totale dans la structure Volume poreux Division des débits Longueur des canaux

5 Optimisation On recherche une distribution optimale de diamètres des canaux On recherche une distribution optimale de diamètres des canaux Des lois déchelle constructales sont obtenues: Des lois déchelle constructales sont obtenues: - en minimisant (par rapport aux rayons des canaux) une fonction objectif (e.g., la dissipation totale) - sous contraintes de finitude (e.g., de volume poreux total et de longueurs des canaux) - puis en exprimant les rapports de grandeurs aux échelles successives Méthode des multiplicateurs de Lagrange Méthode des multiplicateurs de Lagrange

6 Cas particuliers si r =1 : la loi déchelle des rayons devient indépendante de la loi déchelle des longueurs si r=1 et q=(p-1)/3 p.ex.Poiseuille (p=4, q=1) Loi de Murray (1926)

7 Solutions explicites exprimées à laide de la « distribution constructale » (m Exemple de la forme de la distribution constructale dans le cas dinvariance déchelle des rapports de longueurs:

8 La distribution constructale (m) Toutes les grandeurs caractérisant la structure optimisée sexpriment à laide de cette distribution adimensionnelle Toutes les grandeurs caractérisant la structure optimisée sexpriment à laide de cette distribution adimensionnelle Elle regroupe tous les termes qui dépendent de lindice déchelle k Elle regroupe tous les termes qui dépendent de lindice déchelle k Leur sommation (série géométrique) conduit à une fonction discrète (distribution) du nombre total déchelles m Leur sommation (série géométrique) conduit à une fonction discrète (distribution) du nombre total déchelles m La forme de cette distribution est caractéristique de la topologie de larborescence (nombre de divisions et facteurs déchelle des longueurs) mais les exposants contiennent les exposants de la loi découlement La forme de cette distribution est caractéristique de la topologie de larborescence (nombre de divisions et facteurs déchelle des longueurs) mais les exposants contiennent les exposants de la loi découlement

9 Equipartitions déchelle Cas particulier « fractal »: les rapports déchelle des rayons et des longueurs sont invariants et égaux Les pertes de charge, les dissipations, les volumes sont invariants déchelle

10 Un distributeur quadrichotomique n k = 4 k l 1 /L= 2/4 l k /l k+1 =2 f k /f k+1 = 4 f k = f 0 /4 k

11 La quadrichotomie introduit un facteur 4 Il ny a pas dinvariance Mais une équipartition plus générale apparaît La distribution constructale joue le même rôle que précédemment mais est différente

12 Une arborescence dichotomique non monotone n k = 2 k

13 La distribution constructale est constituée de 2 séries géométriques que lon peut sommer séparément Cas de Poiseuille Représentation de la distribution constructale en fonction du nombre déchelles m

14 Distribution des volumes poreux Les distributions de volumes poreux, de perte de charge et de dissipation sont identiques Léquipartition des dissipations par unité de volume est satisfaite

15 Conclusions Les distributeurs arborescents optimisés constructalement obéissent à Les distributeurs arborescents optimisés constructalement obéissent à léquipartition des densités volumiques de dissipation Ces structures sont caractérisées par une « distribution constructale » dont la forme est fonction de la topologie et les exposants, de la loi découlement et de la loi déchelle des longueurs de canaux Ces structures sont caractérisées par une « distribution constructale » dont la forme est fonction de la topologie et les exposants, de la loi découlement et de la loi déchelle des longueurs de canaux La distribution constructale permet de représenter toutes les propriétés de larborescence, comme la distribution en échelles des volumes poreux et des dissipations La distribution constructale permet de représenter toutes les propriétés de larborescence, comme la distribution en échelles des volumes poreux et des dissipations

16 FIN DE LA PRESENTATION


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