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Transitions de phase en dimensions fractales * Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière.

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1 Transitions de phase en dimensions fractales * Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS * Université dEvry-Val dEssonne

2 Irradiation dun multicouche Ni-W par des ions Xe + Irradiation dune surface de fer par un faisceau dArgon

3 1)Description des fractals de Sierpinski et modèles 2)Simulation Monte-Carlo et analyse en tailles finies 3)Renormalisation Monte-Carlo 4)Ralentissement critique et amas de Wolff 5)Modèle de Potts 6)Percolation

4 Fractals de Sierpinski (et Menger) Invariance déchelle : Processus itératif et dilatations Cellule génératrice SP g (l d,N oc, 1) N oc sites occupés dans un carré ou un cube de côté l SP b (3 3,18,1)

5 k étapes ditération Réseau SP g (l d,N oc, k) Taille L=l k Nombre de sites N oc k = L D f Dimension de Hausdorff Paramètres topologiques additionnels Degré de ramification, connectivité, lacunarité

6 Modèles Echange ferromagnétique limité aux premiers voisins Spins dIsing ou de Potts à q états placés aux sites de fractals de Sierpinski déterministes Fractals de degré de ramification infini Le modèle dIsing présente une transition du second ordre para-ferro magnétique à T c 0

7 Renormalisation dans lespace direct Symétrie déchelle discrète Tailles simulées : L=l k Structure de la cellule génératrice présente à tous les ordres de grandeur Fluctuations géométriques multi-échelles fonctions de corrélation à deux points spin-spin dépendantes de la position Construction de la structure fractale

8 Propriétés topologiques dépendantes de létape ditération k de la structure Ecart relatif du nombre moyen de premiers voisins z g (l d,N oc, k) par rapport à sa limite thermodynamique z g (l d,N oc, ) k

9 Simulation Monte-Carlo en situation canonique Réduction du ralentissement critique Traitement des données des simulations ALGORITHMES DE CLUSTER (Wolff, Swendsen-Wang) METHODE DES HISTOGRAMMES

10 Analyse en tailles finies Comportement asymptotique de la longueur de corrélation ~|t| - où t =(T- T C )/T C Hypothèse dhomogénéité f(t,h)=b -D f f(tb y t,hb y h )

11 Calcul de Pics des dérivées logarithmiques Calcul de T C Position des pics n max Calcul de T C sans Point fixe du cumulant : Calcul de ( ) et ( ) Autre calcul de ( ) Pic de susceptibilité :

12 SP a (5 2,24) D f ~ 1.975

13 SP a (5 2,16) D f ~

14 SP a (3 2,8) D f ~ 1.893

15 b a a a a a a Maximas de susceptibilité du paramètre dordre max (L) Pente /

16 Renormalisation du Hamiltonien dIsing : Couplages

17 Renormalisation Monte-Carlo Flot Linéarisation du Flot Calcul de la matrice [ T (n) ] Calcul des deux plus grandes valeurs propres t (n) et h (n) de [ T (n) ] dans chaque sous espace

18 ytyt t =3 y t Nombre de couplages y t =1/ <0.525 n SP a (3,8)

19 Nombre de couplages yhyh h =3 y h n y h =1.82(1) 2y h =D f + / Analyse en tailles finies : / =1.732(2)

20 Corrections déchelle Ecarts aux lois de puissances L x (1+aL +…) Dépendantes de la grandeur physique et de D f Dépendantes de la topologie du fractal Importantes lorsque D f décroît de 2 vers 1 Peu importantes pour 2.5 < D f < 3 Sans effet sur max (L) Valeur précise de Liées à la convergence à la limite thermodynamique Relation dhyperscaling Satisfaite avec la dimension de Hausdorff

21 Développements en Exposants et en désaccord : Brisure de la symétrie de translation FRACTALS UNIVERSALITE FAIBLE

22 Ralentissement critique Fonction dautocorrélation de la grandeur A Erreur statistique sur : Temps dautocorrélation intégré à T C Lois déchelles dynamiques = L z F (tL )

23 Algorithme de Wolff 1) Tirage dun site i du réseau au hasard 2) Addition de sites j, premiers voisins de i, à lamas avec la probabilité : 3) Répétition de létape 2) pour chacun des sites venant de rejoindre lamas 4) Répétition de létape 3) jusqu'à « épuisement » 5) Retournement en bloc de tous les sites de lamas 6) Retour en 1)

24 n ième pas Monte-Carlo (n+1) ième pas Monte-Carlo « Tension de surface » de lamas 2|E n+1 -E n | « Nombre de sites » de lamas 2|M n+1 -M n |

25 SP a (5 2,24) D f ~ SP a (3 2,8) D f ~ Fonctions dautocorrélation de laimantation à T C C M (n) n n

26 k=5 Plusieurs temps caractéristiques Calcul de E à partir dun fit de sur une base restreinte : Calcul de temps dautocorrélation

27 Exposants dynamiques

28 Distributions de probabilité des tailles des amas de Wolff à T C SP a (5 2,24), D f 1.975SP a (4 3,56), D f 2.904

29 Invariance déchelle des distributions de probabilité des tailles des amas P k (s)= P k-1 (s l -y h )= P k-1 (s / l )

30 Loi déchelle de la tension de surface moyenne des amas à T C Pour L assez grand : E ~L S w

31 Invariance déchelle des densités de probabilité de tension de surface De létape k à létape k-1 : P S E l -d S P S ( E l -y s )

32 Z M WSF D f P s b -D f P (sb -y h ) s ~L P S E b -d S P S ( E l -y s ) E ~L S w 2y h = D f 2y S = d S S w Tailles Tensions de surface d S D f Conjecture Temps de fluctuations statistiques E =2( E E )(1-C E (1)) S w +2Z E WSF

33 Modèle de Potts ferromagnétique à q états de spin Réseaux invariants par translation Ordre de la transition dépendant de q et d Valeur critique q c (d) Désordre : champ pertinent dans certaines conditions

34 Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre dordre (Meyer-Ortmanns et Reisz) Distribution de probabilité de lénergie à la transition Ordre de la transition SP a (3,8)

35 Modèle de Potts à 3 états sur SC a (3,8) Transition du second ordre Corrections déchelle plus fortes que pour Ising Pas de corrections sur max (L) Valeur précise de Bornes pour les autres exposants D f compatible avec la relation dhyperscaling On peut différencier les deux classes dIsing et de Potts

36 Transition de percolation Distribution de taille des amas n s (L,p) Moments de n s (L,p) Recherche des pics des moments (2 k) et calcul de leur largeur Algorithme de Newmann-Ziff s

37 Maxima des moments M k max (L)~L - y k / y k / D f - kD fp ) D fp =1.828 pour SC a (3 2,8) D fp =1.766 pour SC a (4 2,12) SC a (3 2,8) M 2 max M k (L,p)=l -y k / M k (L/l,p * ) p -p c k (L)= l -1/ (p *- p c k (L/l)) Largeurs des pics p k (L) ~L -1 / 2

38 Perspectives Diagramme de phase du modèle de Potts Transport anormal et systèmes non linéaires Vieillissement dune particule Brownienne

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