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Julie BERTHON Aéronautique Statistiques de balayage : analyse des « clusters » dévènements Journée SMAI IMdR : 6 février 2009.

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1 Julie BERTHON Aéronautique Statistiques de balayage : analyse des « clusters » dévènements Journée SMAI IMdR : 6 février 2009

2 1 Clusters et statistiques de balayage : introduction sur un exemple simple Méthodes de simulation Monte-Carlo Petri net Méthodes markoviennes Chaîne de Markov simplifiée, simple fenêtre de balayage Chaîne de Markov simplifiée, double fenêtre de balayage Chaîne de Markov complète Résultats et Comparaison des méthodes Conclusion Aéronautique

3 2 Fréquence moyenne des accidents aériens : 0,88 par période de 22 jours. Les statistiques de balayage permettent dévaluer ou dapprocher la probabilité doccurrence dun tel cluster dévènements. 23 août Le vol 204 de la Tans sécrase à lapproche en Amazonie Une telle série semble très improbable mais… 2 août Le vol 358 dAir France sort de piste en atterrissant à Toronto 6 août Le vol 1153 de Tuninter sabîme en mer près de Palerme 14 août Le vol 522 dHélios sécrase sur un massif près dAthènes 16 août Le vol 1153 de la West Caribbean se crashe au Venezuela

4 3 Aéronautique Objectif : évaluer la probabilité dobserver un cluster de k évènements ou plus dans une fenêtre temporelle de longueur w balayant une période de taille donnée T. Toute fenêtre de taille w peut contenir un cluster Les fenêtres se chevauchent Difficultés

5 4 Deux modèles de probabilité : Loi de Bernoulli Loi de Poisson Exemple: Solutions Simulation de Monte Carlo directe (implémentée dans un algorithme dédié) supportée par un réseau de Pétri Chaînes de Markov

6 5 Aéronautique Simulation de Monte-Carlo directe Les dates daccidents sont générées aléatoirement selon la loi considérée et de manière à recouvrir la période dobservation [0,T[ La liste des dates est scannée jusquà observation dun cluster Une variable Nb_Cluster est incrémentée dune unité La quantité recherchée est donnée par où N est le nombre de répétitions de la simulation.

7 6 Aéronautique Réseau de Petri animant une simulation de Monte- Carlo Processus de comptage simple (simple counting medium) 2 places et 2 transitions Initialement la place 1 est marquée dune pièce Nb_Cluster est égal à zéro Les variables ε i (i =1 à k) indiquent les dates de k accidents successifs Lindex I permet de calculer en continu le temps écoulé entre les évènements i et (i+k-1) Nb_Cluster passe à 1 dès que k accidents se produisent dans une fenêtre de longueur w

8 7 Aéronautique MODELES MARKOVIENS Balayage de la période dobservation X i … variable aléatoire donnant le nombre dévènements sur [i-1,i[ N(u,w)… variable aléatoire comptant le number dévènements sur la fenêtre [u,u+w[ p la probabilité quun évènement se produise sur un sous-intervalle de longueur 1 XiXi N(u,w) 0 T 123 i-1iuu+w Notation Bernoulli model i.e.

9 8 Aéronautique De la fenêtre N(u,w) à la fenêtre N(u+1,w) dépendants indépendants PREMIER MODELE MARKOVIEN Perte de la variable aléatoire X u+1 Gain de la variable aléatoire X u+w+1

10 9 Aéronautique Probabilité dun cluster de 3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 Etats E 0, E 1, E 2 : respectivement 0, 1 ou 2 évènements dans la fenêtre courante E 3 : 3 évènements ou plus dans la fenêtre courante Chaîne de Markov PREMIER MODELE MARKOVIEN

11 10 Aéronautique Matrice de transition Vecteur des probabilités initiales Nombre ditérations PREMIER MODELE MARKOVIEN

12 11 La probabilité dobserver un cluster de k=3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 balayant la période de longueur T=365 est donnée par le produit M N X avec N=356 PREMIER MODELE MARKOVIEN

13 12 Problème : le modèle autorise des chemins qui ne sont pas réalisables en pratique E0E0 E0E0 E1E1 E0E0 E1E1 E1E1 DEUXIEME MODELE MARKOVIEN

14 13 Partage de la fenêtre de balayage en deux sous-fenêtres E0E0 E 1 E1E1 DEUXIEME MODELE MARKOVIEN

15 14 La matrice de transition est une matrice de taille D×D avec D=k(k-1)+1 Un état est: soit un couple (i,j) si i+j

16 15 XiXi 0 T 123 i-1iuu+w Modèle complet … Un état est: soit un w-uplet (X 1, X 2,…, X w ) si X 1 + X 2 +…+ X w

17 16 Matrice de transition Transition de létat (i,j) vers létat (i-1,j-1) avec la probabilité q: ij i-1j-1 ij Transition de létat (i,j) vers létat absorbant avec la probabilité p: i-1j-1 TROISIEME MODELE MARKOVIEN

18 17 Vecteur des probabilités initiales withand TROISIEME MODELE MARKOVIEN La probabilité dobserver un cluster de k=3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 balayant la période de longueur T=365 est donnée par le produit M N X avec N=356

19 18 DiscrétisationJourHeure MéthodesBernoulliPoissonBernoulliPoisson Monte Carlo direct RdP, Monte Carlo Premier modèle markovien Double fenêtre de balayage NaN0.1296NaN Modèle markovien complet NaN Résultats

20 19 Conclusions Les résultats obtenus dans le cadre du modèle de Bernoulli convergent vers ceux obtenus dans le cadre du modèle de Poisson lorsque le pas de discrétisation tend vers 0. A notre connaissance, il nexiste pas de méthode exacte pour résoudre en un temps « très court » le problème de lestimation de la probabilité doccurrence dun cluster dévènements … … Les méthodes proposées permettent dévaluer ou dapprocher cette probabilité en un temps très acceptable. Les méthodes proposées sont très différentes, faisant appel à la simulation, à des approches combinatoires, ou aux chaînes de Markov. Cependant, nous observons quelles donnent des résultats quasi identiques lorsque la discrétisation est suffisamment fine.


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