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1 Optimisation de l Evolution des Systèmes (Décisions dans lincertain) Eric Sanlaville Professeur université du Havre Wwwmaths.univ-bpclermont.fr/sanlavil~

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1 1 Optimisation de l Evolution des Systèmes (Décisions dans lincertain) Eric Sanlaville Professeur université du Havre Wwwmaths.univ-bpclermont.fr/sanlavil~ ISIMA 3 F3 et Master 2 SIAD Novembre 2008

2 2Organisation 3 x 4 heures de Cours / TD 3 x 4 heures de Cours / TD 4 heures de TP 4 heures de TP Plan Plan D é cisions sous incertitudes D é cisions sous incertitudes Programmation stochastique Programmation stochastique Mod è les markoviens pour l é volution de syst è mes Mod è les markoviens pour l é volution de syst è mes Processus de d é cision markoviens finis et infinis Processus de d é cision markoviens finis et infinis Evaluation : Evaluation : compte rendu de TP compte rendu de TP

3 3 R é f é rences 1. Hillier Lieberman Introduction to OR 2. Marteltechniques et applications de la RO 3. Heche, Liebling, De Werra(PUR) 4. RoseauxExercices et probl è mes r é solus de RO, T3 5. AllenStatistics and queueing theory 6. Bouyssou Roy (multicrit è res) 7. Fuderberg Tirole(game theory) 8. Ehrgott Gandibleux(multicrit è res) 9. Kouvelis Yu(robust optimisation) 10. White(markov decision processes)

4 Partie 1 Décisions sous incertitudes : modèles, méthodes, évaluations des décisions

5 5 Prise en compte des incertitudes : pourquoi? Logistique : des trains toujours à l heure Logistique : des trains toujours à l heure Production : des machines jamais en panne, des op é rateurs toujours disponibles Production : des machines jamais en panne, des op é rateurs toujours disponibles Marketing : des clients toujours pr é visibles Marketing : des clients toujours pr é visibles Cha î ne logistique : des fournisseurs toujours fiables Cha î ne logistique : des fournisseurs toujours fiables Equipements publics : des politiques stables, des populations stables Equipements publics : des politiques stables, des populations stables Nos d é cisions s appliquent-elles à un monde parfait?

6 6 Importance de la dimension temporelle Une d é cision s applique : Une d é cision s applique : Imm é diatement. Mais il nous manque des donn é es. Imm é diatement. Mais il nous manque des donn é es. Dans le futur. Nos donn é es resteront-elles pertinentes? Dans le futur. Nos donn é es resteront-elles pertinentes? On pilote un syst è me qui é volue : On pilote un syst è me qui é volue : suite de d é cisions suite de d é cisions É tal é es dans le temps (notion d horizon de d é cision) É tal é es dans le temps (notion d horizon de d é cision) En g é n é ral la connaissance des donn é es utiles (les param è tres du syst è me) augmente avec le temps Mais on ne peut pas toujours reporter la prise de d é cision !

7 7 Diff é rents types d incertitudes Nos d é cisions visent au pilotage d un syst è me. Elles d é pendent des valeurs des param è tres de ce syst è me (qui peuvent à leur tour d é pendre de ces d é cisions : variables!). Nos d é cisions visent au pilotage d un syst è me. Elles d é pendent des valeurs des param è tres de ce syst è me (qui peuvent à leur tour d é pendre de ces d é cisions : variables!). Logistique : nombre et type de camions, produits à transporter, lieux d approvisionnement et de d é pôts, … Logistique : nombre et type de camions, produits à transporter, lieux d approvisionnement et de d é pôts, … Production : machines, robots de transport, quantit é s à produire, … Production : machines, robots de transport, quantit é s à produire, … Marketing : nombre de clients potentiels, co û t d une campagne de pub,.. Marketing : nombre de clients potentiels, co û t d une campagne de pub,..

8 8 Diff é rents types d incertitudes (2) Incertitudes sur les donn é es discr è tes : nombre de camions disponibles, nombre de machines en pannes, nombre de commandes Incertitudes sur les donn é es discr è tes : nombre de camions disponibles, nombre de machines en pannes, nombre de commandes Incertitudes sur les donn é es continues : dur é e d un trajet, dur é e d une op é ration sur un poste de travail, quantit é à produire, … Incertitudes sur les donn é es continues : dur é e d un trajet, dur é e d une op é ration sur un poste de travail, quantit é à produire, … Incertitude structurelle : certaines donn é es ne sont pas disponibles ! Incertitude structurelle : certaines donn é es ne sont pas disponibles ! Appel d offre d un concurrent (secret) Appel d offre d un concurrent (secret) D é cisions à un niveau sup é rieur (secret aussi ?) D é cisions à un niveau sup é rieur (secret aussi ?) Taille d un march é ( é tude de march é incompl è te) Taille d un march é ( é tude de march é incompl è te) Marge d erreur d une é tude Marge d erreur d une é tude

9 9 Comment juger en pr é sence d incertitudes ? Intuition : il nous faut être capables de classer diff é rentes alternatives (ou d é cisions, ou solutions). Intuition : il nous faut être capables de classer diff é rentes alternatives (ou d é cisions, ou solutions). Probl è me : suivant les conditions r é elles, l ordre relatif des alternatives peut changer! Probl è me : suivant les conditions r é elles, l ordre relatif des alternatives peut changer! Exemple : le produit X ne fera des b é n é fices que si le nombre de clients d é passe un certain seuil, qui d é pend du prix de vente (la d é cision à prendre) mais ne peut être enti è rement d é termin é à l avance Exemple : le produit X ne fera des b é n é fices que si le nombre de clients d é passe un certain seuil, qui d é pend du prix de vente (la d é cision à prendre) mais ne peut être enti è rement d é termin é à l avance La meilleure alternative est donc d é termin é e a post é riori? Inacceptable!! La meilleure alternative est donc d é termin é e a post é riori? Inacceptable!! Il faut être capable de choisir entre deux alternatives, Même si aucune n est toujours meilleure que l autre

10 10 Comment juger en présence dincertitudes (2) Hypoth è se : il existe un critère « objectif » permettant de choisir entre deux alternatives A et B pour des donn é es fix é es D. Hypoth è se : il existe un critère « objectif » permettant de choisir entre deux alternatives A et B pour des donn é es fix é es D. Ce crit è re peut être absolu : Z D (A). Ce crit è re peut être absolu : Z D (A). Exemple : b é n é fice obtenu si le prix de vente est de A, et le nombre de clients est de D. Exemple : b é n é fice obtenu si le prix de vente est de A, et le nombre de clients est de D. Ce crit è re peut être relatif : A < D B Ce crit è re peut être relatif : A < D B exemple : un expert d é cide entre 2 alternatives, sans pouvoir quantifier son choix. exemple : un expert d é cide entre 2 alternatives, sans pouvoir quantifier son choix. Il nous faut donc pouvoir « agréger les préférences » : Etant donné lensemble de tous les scénarios possibles, quelle alternative/décision/solution choisir?

11 11 Les différents modèles pour la prise de décision en présence dincertitudes se distinguent donc suivant la façon dont ils réalisent cette agrégation des préférences pour ne retenir quune alternative AVANT la levée des incertitudes

12 12 Approches 1. Mod è les D é terministes (analyse de la valeur moyenne, é chantillonnage) 2. Th é orie des jeux 3. D é cisions multi-crit è res 4. Optimisation robuste (min max regret) 5. Optimisation robuste (esp é rance) 6. Optimisation stochastique 7. Processus de d é cision markoviens Etc, etc, … Et la simulation l à dedans?

13 13 Mod è le d é terministe 1 : Analyse de la valeur moyenne Domaine d application : Domaine d application : incertitude sur les dur é es et les quantit é s. incertitude sur les dur é es et les quantit é s. Horizon de temps : quelconque Horizon de temps : quelconque Chaque param è tre variable est remplac é par sa valeur moyenne (estimation) Chaque param è tre variable est remplac é par sa valeur moyenne (estimation) Recherche d une bonne solution pour ces valeurs de param è tres. Recherche d une bonne solution pour ces valeurs de param è tres.

14 14 Analyse de la valeur moyenne : inconv é nients La solution n est pas toujours r é alisable La solution n est pas toujours r é alisable Elle est « bonne » (optimale) sur un domaine é troit : analyse de sensibilit é. Elle est « bonne » (optimale) sur un domaine é troit : analyse de sensibilit é. Elle peut être tr è s mauvaise sur un grand nombre de sc é narios du probl è me Elle peut être tr è s mauvaise sur un grand nombre de sc é narios du probl è me

15 15 Mod è le d é terministe 2 : é chantillonnage et optimisation Domaine d application : incertitude sur les dur é es et les quantit é s Domaine d application : incertitude sur les dur é es et les quantit é s N sc é narios sont s é lectionn é s par é chantillonnage N sc é narios sont s é lectionn é s par é chantillonnage Une meilleure solution est calcul é e pour chacune. Une meilleure solution est calcul é e pour chacune. L ensemble de ces solutions est consid é r é : celle qui est globalement « la meilleure » est choisie. L ensemble de ces solutions est consid é r é : celle qui est globalement « la meilleure » est choisie.

16 16 Echantillonnage et optimisation : inconv é nients M é thode co û teuse : N optimisations M é thode co û teuse : N optimisations On a r é duit le nombre d instance et le nombre de solutions consid é r é es. Mais le choix de la solution finale ? Voir les autres m é thodes On a r é duit le nombre d instance et le nombre de solutions consid é r é es. Mais le choix de la solution finale ? Voir les autres m é thodes A t on conserv é toutes les solutions int é ressantes? A t on conserv é toutes les solutions int é ressantes? La solution retenue est elle toujours r é alisable ? La solution retenue est elle toujours r é alisable ?

17 17 Exemple (Wallace 00) : production sans stockage 3 produits A, B, C. production =1 demandes pour A et B : a et b inconnues, mais leur somme vaut 1 C : substitution Interdit : produire plus que la demande Max Z = 3A + 2B + C A a B 1-a A+B+C 1 a connue apr è s la d é cision Solution optimale pour a fix é e : (a,1-a,0) Infaisable ! Les solutions optimales ont une structure ind é sirable : A,B >0, C =0 Solution robuste : (0,0,1)

18 18 Th é orie des Jeux Plusieurs acteurs en concurrence (joueurs) Plusieurs acteurs en concurrence (joueurs) Chaque joueur a le choix entre plusieurs d é cisions (strat é gies) Chaque joueur a le choix entre plusieurs d é cisions (strat é gies) Une fois que chaque joueur a choisi sa strat é gie, le gain de chacun est connu Une fois que chaque joueur a choisi sa strat é gie, le gain de chacun est connu Horizon de temps : quelconque Horizon de temps : quelconque Incertitudes ? La strat é gie des autres joueurs !

19 19 Th é orie des Jeux Cadre : Cadre : é conomie é conomie Tarification : telecom, a é rien Tarification : telecom, a é rien Fonctionnement d un march é libre Fonctionnement d un march é libre Situations de conflit Situations de conflit Hypoth è se : comportement rationnel et individualiste des joueurs (??)

20 20 Th é orie des jeux : exemple strat é gies Joueur 1 Joueur Chaque joueur tente de maximiser son gain, mais doit tenir compte de la strat é gie de l autre Existence d un point d é quilibre : Aucun joueur n a int é rêt à changer de strat é gie

21 21 Th é orie des jeux : exemple strat é gies Joueur 1 Joueur Chaque joueur tente de maximiser son gain, mais doit tenir compte de la strat é gie de l autre L é quilibre est instable: Alternatives ? Strat é gies mixtes probabilistes

22 22 Th é orie des Jeux, extensions Plus de 2 joueurs Plus de 2 joueurs Jeux simples, jeux r é p é t é s Jeux simples, jeux r é p é t é s Objectif : recherche des é quilibres Objectif : recherche des é quilibres R é solution : programmation lin é aire, programmation math é matique, … R é solution : programmation lin é aire, programmation math é matique, …

23 23 D é cisions multicrit è res : approche qualitative N crit è res, P alternatives Chaque crit è re (votant) trie l ensemble des alternatives (fix é es) Exemple : 100 votants, 5 alternatives ABCDE A B C D E CONDORCET : A > B > C >A M é thode Electre : Prudence !! Seuil à 55 %: restent A et B

24 24 D é cisions multicrit è res : approche quantitative N crit è res (N petit). Un grand nombre de solutions. N crit è res (N petit). Un grand nombre de solutions. Conserver les solutions non domin é es : Conserver les solutions non domin é es : X solution de Pareto (min) : pour tout Y, Yi Xi X C1 C2 -

25 25 D é cisions multicrit è res : approche quantitative (2) Probl è me : les optima de Pareto peuvent être nombreux (courbe de Pareto) Probl è me : les optima de Pareto peuvent être nombreux (courbe de Pareto) Trouver un optimum de Pareto peut être bien plus dur que optimiser un seul crit è re! Trouver un optimum de Pareto peut être bien plus dur que optimiser un seul crit è re!

26 26 Optimisation robuste 1 : min max regret Constat : on ne peut pas trouver une solution optimale pour tous les sc é narios. Constat : on ne peut pas trouver une solution optimale pour tous les sc é narios. Hypoth è se : Ce qui compte, c est l é cart à la meilleure solution pour chaque sc é nario. Hypoth è se : Ce qui compte, c est l é cart à la meilleure solution pour chaque sc é nario. le regret : ce que l on aurait d û faire si on avait su! le regret : ce que l on aurait d û faire si on avait su! La meilleure solution : celle pour laquelle le plus grand regret est minimum La meilleure solution : celle pour laquelle le plus grand regret est minimum

27 27 Optimisation robuste 1 : min max regret Trouver X / max s ( f s (X) – f* s ) est minimum f s (X) : valeur de la solution X pour le sc é nario s f* s : valeur optimale pour le sc é nario s C est une approche « pire cas » R é soudre le probl è me d optimisation est en g é n é ral Tr è s difficile.

28 28 Exemple (Mahjoub 04) Ligne de production (petite s é rie, flow shop). Une des machines (la derni è re) est en panne. ( Il en manque une partie, qui arrivera le lendemain ) 7 pi è ces doivent passer par la ligne, il faut d é terminer tout de suite leur ordre de passage pour qu elles soient disponibles à l arriv é e de la machine : ordre fig é. A chaque pi è ce est associ é e une dur é e d ex é cution sur la machine en panne, et une date de livraison imp é rative Le service commercial souhaite minimiser le nombre de retards de livraisons (une p é nalit é est pr é vue) PB : la date d arriv é e de la partie manquante n est pas connue

29 29 Exemple (indisponibilit é,suite) 1/ / Uj : Ordonnancement sur une machine, minimiser le nombre de pi è ces en retard. Indisponibilit é possible de la machine au d é marrage Cas de deux sc é narios. La pi è ce est livr é e par camion : soit à 8h, soit à 11 h ( indispo sur [0,3]) j pj dj Ordre initial:

30 30 Exemple (indisponibilit é,suite) d3 = 3d4 =6d7= S1 S2 S3 OK[0,3]Max (f - f*)

31 31 Optimisation robuste 2 Objectif : minimiser le crit è re f sur l ensemble des sc é narios Objectif : minimiser le crit è re f sur l ensemble des sc é narios Hypoth è ses : Hypoth è ses : On a une mod é lisation du probl è me d é terministe initial (PL, PLNE, quadratique) On a une mod é lisation du probl è me d é terministe initial (PL, PLNE, quadratique) On fait « bouger » une contrainte ou plusieurs On fait « bouger » une contrainte ou plusieurs La fonction objectif ne change pas La fonction objectif ne change pas On transforme le probl è me en un nouveau probl è me d optimisation (en g é n é ral plus complexe). La solution cherch é e est r é alisable pour tous les sc é narios retenus. On transforme le probl è me en un nouveau probl è me d optimisation (en g é n é ral plus complexe). La solution cherch é e est r é alisable pour tous les sc é narios retenus.

32 32 Exemple 1: les coefts de la contrainte varient sur un intervalle : [ai-a,ai+a] Exemple 1: les coefts de la contrainte varient sur un intervalle : [ai-a,ai+a] Exemple 2 : l ensemble de la contrainte devient une ellipso ï de Exemple 2 : l ensemble de la contrainte devient une ellipso ï de Dans le 2 è me cas, on est ramen é à un programme quadratique particulier, polynômial! Dans le 2 è me cas, on est ramen é à un programme quadratique particulier, polynômial! Remarque : ces mod è les reviennent souvent à é liminer les sc é narios extr è mes, tr è s improbables Optimisation robuste 2 exemples Programmation linéaire

33 33 Exemple d application : incertitudes sur la qualit é des mati è res premi è res

34 34 Approches stochasssstiques Jusqu ici : aucune hypoth è se probabiliste explicite sur les donn é es incertaines Quel est l apport des mod è les stochastiques?

35 35 Mod é lisation stochastique Chaque donn é e incertaine est mod é lis é e par une variable al é atoire. Chaque donn é e incertaine est mod é lis é e par une variable al é atoire. L objectif devient lui-même une variable al é atoire. L objectif devient lui-même une variable al é atoire. On cherche à minimiser son esp é rance, plus rarement : minimiser la probabilit é qu il d é passe un certain seuil : r é sultat tr è s utile, mais difficile à obtenir !! On cherche à minimiser son esp é rance, plus rarement : minimiser la probabilit é qu il d é passe un certain seuil : r é sultat tr è s utile, mais difficile à obtenir !!

36 36 Exemple indisponibilit é de la machine revisit é On suppose maintenant que la dur é e d indisponibilit é de la machine est une variable al é atoire discr è te. Elle est de 3 heures avec proba p, et de zero sinon. On suppose maintenant que la dur é e d indisponibilit é de la machine est une variable al é atoire discr è te. Elle est de 3 heures avec proba p, et de zero sinon.

37 37 Exemple indisponibilité de la machine : exercice Quelle est alors l esp é rance du nombre de retards pour chacune des 3 solutions suivant p ? Quelle est alors l esp é rance du nombre de retards pour chacune des 3 solutions suivant p ? Tracez les courbes associ é es Tracez les courbes associ é es Concluez Concluez Vous êtes le chef d atelier. Que faites vous? Vous êtes le chef d atelier. Que faites vous?

38 d3 = 3d4 =6d7= S1 S2 S3 OK[0,3]Max (f - f*)

39 39 Programmation stochastique Hypoth è ses : l incertitude influence la valeur des solutions plus que leur structure. Chaque sc é nario induit donc une fonction diff é rente à optimiser. Il est possible d associer une probabilit é à chaque sc é nario. Hypoth è ses : l incertitude influence la valeur des solutions plus que leur structure. Chaque sc é nario induit donc une fonction diff é rente à optimiser. Il est possible d associer une probabilit é à chaque sc é nario. m é thode : consid é rer l esp é rance de la valeur des solutions comme une fonction unique, pour se ramener à un seul probl è me d optimisation m é thode : consid é rer l esp é rance de la valeur des solutions comme une fonction unique, pour se ramener à un seul probl è me d optimisation

40 40 Programmation stochastique : exemple classique du vendeur de journaux Un vendeur de journaux ach è te un journal au prix unitaire a. Il le vend au prix p. Il peut ramener les invendus, dans ce cas il obtient r < a par journal. Un vendeur de journaux ach è te un journal au prix unitaire a. Il le vend au prix p. Il peut ramener les invendus, dans ce cas il obtient r < a par journal. La demande est mod é lis é e par une variable al é atoire d. La demande est mod é lis é e par une variable al é atoire d. Quelle quantit é de journaux doit-il acheter ??

41 41 Processus de d é cision markoviens On travaille sur un horizon de temps long. On travaille sur un horizon de temps long. Les d é cisions influent sur l é volution du syst è me consid é r é. Cette é volution est probabiliste. Les d é cisions influent sur l é volution du syst è me consid é r é. Cette é volution est probabiliste. Le co û t total d é pend des d é cisions et des é tats successifs Le co û t total d é pend des d é cisions et des é tats successifs Hypoth è se markovienne : é volution sans m é moire du syst è me Hypoth è se markovienne : é volution sans m é moire du syst è me Objectif : minimiser l esp é rance du co û t total sur N p é riodes (ou le co û t par p é riode en horizon infini) Objectif : minimiser l esp é rance du co û t total sur N p é riodes (ou le co û t par p é riode en horizon infini)

42 42 Processus de d é cision markoviens Marketing Marketing Syst è mes de production Syst è mes de production Gestion de stocks … Gestion de stocks … Tout syst è me qui se laisse « conduire » Tout syst è me qui se laisse « conduire »

43 43 La Simulation Simulation monte carlo : tirage al é atoire r é p é t é pour obtenir un é chantillon d une variable al é atoire. Simulation monte carlo : tirage al é atoire r é p é t é pour obtenir un é chantillon d une variable al é atoire. Exemple : é chantillonner une donn é e incertaine Exemple : é chantillonner une donn é e incertaine Simulation de l é volution d un syst è me : Simulation de l é volution d un syst è me : Simu à é v é nements discr è ts :un tirage al é atoire permet de calculer la date d un é v é nement. Simu à é v é nements discr è ts :un tirage al é atoire permet de calculer la date d un é v é nement. Exemple : syst è me de production, fin d une op é ration. Exemple : syst è me de production, fin d une op é ration. Cas particulier : simulation d un r é seau de files d attente quand les m é thodes analytiques sont inapplicables Cas particulier : simulation d un r é seau de files d attente quand les m é thodes analytiques sont inapplicables

44 44 Simulation versus Optimisation ? La simulation : un outil pour analyser le comportement d un syst è me complexe La simulation : un outil pour analyser le comportement d un syst è me complexe Pour nous : permet d é valuer la performance d une solution d un probl è me de d é cision Pour nous : permet d é valuer la performance d une solution d un probl è me de d é cision Ne permet pas de calculer une « bonne » solution !! Ne permet pas de calculer une « bonne » solution !!

45 45 Couplage Simulation/Optimisation !! Quand calculer la valeur d une solution est trop co û teux par une m é thode analytique, la simulation permet d é valuer cette valeur Quand calculer la valeur d une solution est trop co û teux par une m é thode analytique, la simulation permet d é valuer cette valeur En r é p é tant une simulation, on é value la performance moyenne d une solution S, et on approche E(f(S)) En r é p é tant une simulation, on é value la performance moyenne d une solution S, et on approche E(f(S)) Exemple : syst è me de production, mod è le RFA Exemple : syst è me de production, mod è le RFA Utilisation : on peut incorporer la simulation dans les m é thodes classiques d optimisation : heuristiques de voisinage, algos é volutionnaires, Branch and Bound, … Utilisation : on peut incorporer la simulation dans les m é thodes classiques d optimisation : heuristiques de voisinage, algos é volutionnaires, Branch and Bound, …

46 46 Conclusions Prise en compte des incertitudes : de nombreux mod è les. Prise en compte des incertitudes : de nombreux mod è les. Ils ne s appliquent pas aux mêmes probl è mes, ils n ont pas les même outils pour le choix. Ils ne s appliquent pas aux mêmes probl è mes, ils n ont pas les même outils pour le choix. Seul le contexte permet de choisir. Seul le contexte permet de choisir. En dernier ressort, ces outils restent des AIDES à la DECISION En dernier ressort, ces outils restent des AIDES à la DECISION


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