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Distribution déchantillonnage 1 Cours Statistiques Chapitre 1 © Khaled Jabeur 2012.

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1 Distribution déchantillonnage 1 Cours Statistiques Chapitre 1 © Khaled Jabeur 2012

2 Plan 1.Échantillonnage et méthodes déchantillonnage 2.Statistiques et distribution déchantillonnage 3.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 connue) 4.Distribution déchantillonnage de la variance 5.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 6.Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques2

3 Plan Cours Statistiques3 1.Échantillonnage et méthodes déchantillonnage 2.Statistiques et distribution déchantillonnage 3.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 connue) 4.Distribution déchantillonnage de la variance 5.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 6.Distribution déchantillonnage dun rapport de variances

4 Échantillonnage : Terminologie Une population se définit comme un ensemble déléments (individus, entreprises, dossiers, projets, …) qui ont des caractéristiques communes. On note par N la taille de la population. Un échantillon est tout sous-ensemble de la population. On note par n la taille de léchantillon. Un caractère ou une variable statistique cest laspect que lon désire étudier chez un individu. Cours Statistiques4

5 Échantillonnage : Terminologie Pour recueillir des informations concernant les caractéristiques dune population, on dispose de deux méthodes : 1.La méthode exhaustive ou recensement où chaque individu de la population est étudié selon le (ou les) caractère(s) étudié(s). 2.La méthode des sondages ou échantillonnage qui conduit à nexaminer quune fraction de la population, cest-à-dire un échantillon. Cours Statistiques5

6 Échantillonnage : Définition et objectif Définition 1 Léchantillonnage est le processus par lequel une portion de la population (ou un échantillon) est sélectionnée afin détudier les caractéristiques dune population entière. Objectif de léchantillonnage Léchantillonnage a pour objectif de tirer des conclusions sur les caractéristiques dune population à partir des données dun échantillon. Il est donc essentiel de choisir avec soin léchantillon de façon à ce quil représente fidèlement la population visée. Cours Statistiques6

7 Échantillonnage : Raisons dêtre On effectue léchantillonnage essentiellement pour les raisons suivantes : 1.Lorsque la population est infinie 2.Par souci déconomie de coût 3.Si le test est destructif 4.Obtenir linformation le plus rapidement possible 5.… Cours Statistiques7

8 Échantillonnage : Méthodes Les méthodes déchantillonnage peuvent être regroupées en deux grandes catégories : 1. Léchantillonnage non aléatoire (ou non probabiliste) : Lanalyste utilise son expérience et ses connaissances personnelles pour choisir parmi les unités de la population celles qui feront partie de léchantillon et qui, à son avis, représentent adéquatement la population. 2. Léchantillonnage aléatoire (ou probabiliste) : Obtenu par lintermédiaire dun mécanisme probabiliste, de sorte que lon connaisse à lavance la probabilité (non nulle) quune unité quelconque de la population soit incluse dans léchantillon. Cours Statistiques8

9 Échantillonnage : Méthode Léchantillonnage aléatoire simple Définition : Cest un échantillon choisit de telle sorte que chaque unité de la population ait la même probabilité dêtre sélectionnée dans léchantillon et que chaque échantillon de même taille tiré de la population ait la même probabilité dêtre choisi. Cours Statistiques9

10 Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques10

11 Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques11

12 Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques12

13 Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques13

14 Plan 1.Échantillonnage et méthodes déchantillonnage 2.Statistiques et distribution déchantillonnage 3.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 connue) 4.Distribution déchantillonnage de la variance 5.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 6.Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques14

15 Statistiques et distribution déchantillonnage Cours Statistiques15

16 Statistiques et distribution déchantillonnage Cours Statistiques16 Distribution déchantillonnage Puisque les X i sont des variables aléatoires, toute statistique est aussi une variable aléatoire et on s'intéresse a sa distribution de probabilité, appelée distribution échantillonnage. empiriques

17 Distribution déchantillonnage de la moyenne 1.Échantillonnage et méthodes déchantillonnage 2.Statistiques et distribution déchantillonnage 3.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 connue) 4.Distribution déchantillonnage de la variance 5.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 6.Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques17

18 Distribution déchantillonnage de la moyenne Cours Statistiques18 Distribution déchantillonnage de la moyenne

19 Cours Statistiques19

20 Distribution déchantillonnage de la moyenne Cours Statistiques 20 Solution

21 Distribution déchantillonnage de la moyenne Cours Statistiques 21

22 Distribution déchantillonnage de la moyenne Cours Statistiques 22 Exemple 1 Supposons que les tailles des individus dans une population suivent une distribution normale de moyenne μ = 170 cm et de variance σ 2 = 25 cm. On tire avec remise un échantillon de taille 25 de cette population. Quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans léchantillon soit supérieure à 172 cm ? Réponse :

23 Distribution déchantillonnage de la moyenne Cours Statistiques 23 Exemple 2 Supposons que les tailles des individus dans une population de moyenne μ = 185 cm et de variance σ 2 inconnue. On tire avec remise un échantillon de taille 36 de cette population. Sachant que la variance de cet échantillon s 2 = 40, quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans léchantillon soit supérieure à 187 cm ? Réponse :

24 Distribution déchantillonnage de la variance 1.Échantillonnage et méthodes déchantillonnage 2.Statistiques et distribution déchantillonnage 3.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 connue) 4.Distribution déchantillonnage de la variance 5.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 6.Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques24

25 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques25

26 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques26 Densité de probabilité de la loi de khi-deux

27 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques27 1.La v.a. associée à la loi de khi-deux est une v.a. continue, notée 2.La distribution de khi-deux possède une asymétrie positive. 3.La distribution de khi-deux ne dépend que dune seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté. 4.Lorsque k augmente, la distribution de khi-deux tend vers une distribution normale. Quelques propriétés de la loi de khi-deux

28 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques28

29 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques29 Calcul des probabilités dans la distribution khi-deux 1.Si alors quelle est la valeur de la probabilité suivante : 2.À laide de la table de khi-deux trouver c dans les trois cas suivants : Définition

30 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques30

31 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques31 Distribution déchantillonnage de la variance

32 Cours Statistiques32

33 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques33

34 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques34

35 Distribution déchantillonnage de la variance Cours Statistiques35 Un échantillon de taille 51 est sélectionné de cette population. Quelle est la probabilité que la variance échantillonnale S 2 soit dau plus égale Réponse :

36 Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 1.Échantillonnage et méthodes déchantillonnage 2.Statistiques et distribution déchantillonnage 3.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 connue) 4.Distribution déchantillonnage de la variance 5.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 6.Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques36

37 Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) Cours Statistiques37

38 Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) Cours Statistiques38

39 Cours Statistiques39 Densité de probabilité de la loi de Student Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue)

40 Cours Statistiques40 1.La v.a. associée à la loi de Student t est une v.a. continue, notée T k 2.La distribution de Student t est symétrique par rapport à lorigine et un peu plus aplatie que la normale centrée réduite N(0, 1). 3.La distribution de Student t ne dépend que dune seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté. Quelques propriétés de la loi de Student Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue)

41 Cours Statistiques41 Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue)

42 Cours Statistiques42 Calcul des probabilités dans la distribution de Student Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue)

43 Cours Statistiques43 Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue)

44 Cours Statistiques44 Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue)

45 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances 1.Échantillonnage et méthodes déchantillonnage 2.Statistiques et distribution déchantillonnage 3.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 connue) 4.Distribution déchantillonnage de la variance 5.Distribution déchantillonnage de la moyenne ( 2 inconnue) 6.Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques45

46 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques46

47 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques47

48 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques48 Densité de probabilité de la loi de Fisher

49 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques49

50 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques50

51 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques51

52 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques52

53 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques53

54 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques54

55 Distribution déchantillonnage dun rapport de variances Cours Statistiques55


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