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1 MATH 5108 Réalisé par GHADA YOUNES Centre LEscale 2010.

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1 1 MATH 5108 Réalisé par GHADA YOUNES Centre LEscale 2010

2 Les fonctions Trigonométriques ( 2 de 4) Les graphiques

3 3 Rôle des paramètres a, b, h et k a, b, h et k dans l'équation canonique: f(x) = a sin b (x-h) +k

4 4 La fonction de base sinus: f (x) = sin x

5 5 x sin x 1 2π a=1 Période: p = 2π Graphique 3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

6 6 Rôle du paramètre a a>0: modifie l'amplitude de la fonction a<0: un a négatif produit une réflexion par rapport à l'axe des x

7 7 x sinx 1 2π -1,5 f(x) = 1,5 sinx 1,5 a>1 3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

8 8 0 < a < 1 x sin x 1 0,5 -0,5 f(x) = 0,5 sinx 2π 3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

9 9 a<0 ex: a = -1,5 a<0 ex: a = -1,5 x sin x 1,5 -1,5 f(x) = -1,5 sinx g(x) = 1,5 sinx 2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

10 10 Rôle du paramètre b 1 - Modifie la période de la fonction 2 - Un b négatif provoque une réflexion par rapport à l'axe des y dans la fonction sin

11 11 formule: I b I= 2/p formule: I b I= 2π/p La période est inversement proportionnelle au paramètre b.

12 12 pour (p = 4 π) calcul: IbI = 2π /4π IbI = ½ OU 0,5 Équation: f(x) = sin(x/2) Calcul de b: pour (p = π) calcul: IbI = 2 π / π IbI = 2 Équation: f(x) = sin2x

13 13 b >1 ex: b =2 b >1 ex: b =2 sin x x 1 g(x) =sinx f(x) = sin2x P = π 2π π π/2 -π/2 -π P = 2π

14 14 b<1 ex :b =1/2 b<1 ex :b =1/2 sinx 1 f(x) = sin x/2 x P = 4π 4π-4π-2π-π-π/2π/2π2π

15 15 b<0 b<0 ex: b = -1/2 sin x 1 g(x) = sin x/2 f(x) = sin ( - x/2) x 4π2π-2π-4π

16 16 Rôle du paramètre h Le déphasage h < 0: f(x) subit une translation horizontale h < 0: f(x) subit une translation horizontale vers la gauche de h vers la gauche de h h > 0: f(x) subit une translation horizontale vers la droite de h h > 0: f(x) subit une translation horizontale vers la droite de h

17 17 h>0 ex: Le déphasage h = +π/2 g(x) =sinx 0 x 1 f(x) = sin(x-π/2) π/2 sin x 2π-2π5π/23π/2-π/2-3π/2

18 18 h<0 ex: Le déphasage h = - π/2 g(x) =sinx 0 -π/2 x 1 f(x) =sin(x+π/2) sin x -5π/23π/2π/2-π/2-3π/2-2π2π

19 19 Rôle du paramètre k k provoque une translation verticale de la fonction k<0: déplacement vers le bas de k. k>0: déplacement vers le haut de k.

20 20 x sinx 1 K =-1 Si k = -1 2π3π/2ππ/2-π/2-3π/2-2π

21 21 Donc, 5 étapes à suivre Pour tracer un graphique:

22 22 1- Ramener l'équation sous la forme y = a sin b(x-h)+k ou y = a cos b(x-h)+k 2- Trouver p, a, h et ktranslation: T (h, k) 3- Tracer y = sin x ou y = cos x 4- Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre) 5- Vérifier les signes pour la réflexion

23 23 Applications

24 24 Tracer la fonction: f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1

25 25 Trouver les valeurs de: p, a, h et k

26 26 f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1 π/2 h = -π/2 π/2 déplacement horizontal de π/2 vers la gauche a=1,5 1,5 un allongement vertical k=1 1 déplacement vertical de +1 vers le haut 2 b=2 P = 2 π/ IbI P= 2 π/2 = π

27 27 g(x)=sinx 1 x sinx TRACER LA FONCTION DE BASE: f(x) = sin x 2πππ/2-π/2-π-2π

28 28 Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre)

29 29 la période: P = π f(x) = sin2x g(x)=sinx 1 sinx x 2πππ/2-2π-π-π/2

30 30 UN ALLONGEMENT VERTICAL: a = 1,5 f(x) =1,5 sin 2x g(x)=sinx 1 sinx x -1,5 1,5 2πππ/2-π/2-π-2π

31 31 h = -π/2 translation horizontale de π/2 vers la gauche f(x) = 1,5 sin2 (x + π/2) 1 -1,5 1,5 sinx x 2πππ/2-π/2-π-2π

32 32 k = 1 translation verticale de 1 vers le haut f(x) =1,5 sin2 (x+π/2) ,5 -1,5 sinx x 2π ππ/2-π/2 -2π -π

33 33 La fonction de base cosinus: f (x) = cos x La fonction de base cosinus: f (x) = cos x

34 34 graphique x cos x 1 a=1 Période: P = 2π 2π3π/2ππ/2-π/2-π-3π/2-2π

35 35 Applications

36 36 Tracer la fonction : f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4) + 1

37 37 Trouver les valeurs de: p, a, h et k

38 38 f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4 ) +1 π/4 h = π/4 π/4 déplacement horizontal de π/4 vers la droite a=1,5 1,5 un allongement vertical k=1 1 déplacement vertical de +1 vers le haut 2 b=2 P = 2π/ IbI P = 2π/2 = π

39 39 la période: P = π g(x) = cosx 1 π/23π/4-π/2 2ππ -π/4 π/4 f(x) = cos2 x x cos x 5π/4 3π/2 7π/4

40 40 UN ALLONGEMENT VERTICAL (a = 1,5) f(x) = 1,5 cos 2x g(x) = cos x 2π -π/2π/2 -1,5 1,5 3π/2 π cos x x

41 41 déplacement horizontal de π/4 vers la droite ( h = π/4) f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) g(x) = cosx -1,5 1,5 π/2 3π/2-π/2π-π/4 π/4 π/4 2π cos x x

42 42 déplacement vertical de 1 vers le haut (k = 1) f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) + 1 g(x) = cosx 1 -1,5 π/23π/2-π/2π 2π cos x x 2,5 1,5

43 43 La fonction tangente fonction de base: f(x) = tan x La période: P = π I bI = π /P I bI = π / π = 1 Les équations des asymptotes x = n π/2 ( n est un entier)

44 44 Tan x x 3π/2-π -π/20π/2π3π/2 1 P = π f(x) = tan x

45 45 Applications Cahier dapprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier Sous-module 08 Pages 309 et 310 Sous-module 09 Pages 302 à 325

46 46 Je tiens à remercier M me France Garnier pour son soutien techno-pédagogique.


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