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Systèmes linéaires positifs 1 Une introduction aux systèmes linéaires positifs C.Commault Laboratoire dAutomatique de Grenoble FRANCE.

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1 Systèmes linéaires positifs 1 Une introduction aux systèmes linéaires positifs C.Commault Laboratoire dAutomatique de Grenoble FRANCE

2 Systèmes linéaires positifs 2 Cest quoi ? Des exemples Des difficultés nouvelles Caractérisation Les points de vue état et entrée-sortie Latteignabilité

3 Systèmes linéaires positifs 3 Un système qui à une entrée positive associe une sortie positive Une représentation détat avec les mêmes conditions + état positif si état initial positif

4 Systèmes linéaires positifs 4 Des systèmes à variables physiques positives par nature (niveaux, débits, concentrations, …). Exemple : problèmes de bacs. Modèles à compartiments : applications en médecine, cinétique chimique, … Modèles économiques (Leontieff, …) Modèles de dynamiques de population. …..

5 Systèmes linéaires positifs 5 y2y2 u2u2 u2u2 x3x3 x2x2 x1x1 Variables naturellement positives y1y1

6 Systèmes linéaires positifs 6 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x i = quantité de produit dans le compartiment i

7 Systèmes linéaires positifs 7 i = probabilité que le système soit dans létat i

8 Systèmes linéaires positifs 8 x i = valeur de la variable au noeud i

9 Systèmes linéaires positifs 9 x i = quantité fabriquée dun produit i b i = consommation du produit i a ij = quantité de produit j nécessaire pour fabriquer une unité de i A et b positives

10 Systèmes linéaires positifs 10 Commandabilité = rang [B, AB, …, A n-1 B] = n Commandable stabilisable Fonction de transfert avec dénominateur de degré n réalisation dordre n En multivariable idem avec degré de McMillan Il existe des réalisations sympathiques : formes canoniques, Jordan, … Résultats très similaires en continu et en discret Vérification de propriétés par des méthodes dalgèbre linéaire (Matlab) Plus rien ne marche avec les systèmes positifs !

11 Systèmes linéaires positifs 11 Système à comportement positif, atteignable car Etats atteignables au pas x1x1 x2x2 A partir du pas 3 : 0

12 Systèmes linéaires positifs 12 Système à comportement positif, atteignable car Etats atteignables au pas k 1 1 x1x1 x2x2 2 Atteignable avec u(0) = 2, u(1) = -1

13 Systèmes linéaires positifs 13 Stabilisation par retour détat Pour la stabilisation et la rapidité, Le mieux est de ne rien faire !

14 Systèmes linéaires positifs 14 Cas discret Condition nécessaire et suffisante

15 Systèmes linéaires positifs 15 Cas continu Condition nécessaire et suffisante

16 Systèmes linéaires positifs 16 x3x3 x2x2 x1x1 En fait condition équivalente à :

17 Systèmes linéaires positifs 17 Définition : Pour toute entrée 0, sortie 0 Condition nécessaire et suffisante (en continu et en discret) Réponse impulsionnelle 0

18 Systèmes linéaires positifs 18 Positif état Positif entrée-sortie Pas gagné Il existe une réalisation positivePositif entrée-sortie Par définition Condition nécessaire et suffisante (en continu) [OCinneide, Farina] La réponse impulsionnelle est strictement positive pour t > 0 Le pôle dominant est unique et réel

19 Systèmes linéaires positifs 19 Problème encore très largement ouvert Avis aux amateurs ! Référence avec des tas dexemples : A tutorial on the positive realization problem L. Benvenutti, L. Farina IEEE TAC, 04

20 Systèmes linéaires positifs 20 1) Les valeurs propres dune matrice « positive » dordre n ne peuvent pas être nimporte où 2) Autre condition : pas de zéro à droite du pôle dominant Exemple : ordre 3 Re Im Constat affligeant : On ne sait même pas résoudre complètement à lordre 3 ! Valeur propre dominante

21 Systèmes linéaires positifs 21 Propriétés : De plus : Le cône est solide (de dimension n) si R de rang n.

22 Systèmes linéaires positifs 22 Egal à R + n : système positivement atteignable Polyédral : engendré par un nombre fini de vecteurs A fermeture polyédrale : voir exemple En « cornet de glace » x3x3 x2x2 x1x1

23 Systèmes linéaires positifs 23 Propriété (Fanti et al, 90) : Si le système est positivement atteignable alors il est positivement atteignable en n pas.

24 Systèmes linéaires positifs 24 Définitions : vecteur monomial : une composante > 0, les autres nulles. matrice monomiale : matrice nxn dont les colonnes sont monomiales et indépendantes Propriétés : une matrice monomiale M sécrit M = D.P, où P est une matrice de permutation et D une matrice diagonale strictement positive. les matrices monomiales sont les seules matrices positives à inverse positive.

25 Systèmes linéaires positifs 25 Observation : Il faut et il suffit quon trouve une solution pour les vecteurs de base. On peut extraire de R une sous-matrice monomiale.

26 Systèmes linéaires positifs 26 R est une matrice monomiale.

27 Systèmes linéaires positifs 27 Après mise en ordre des états u x1x1 x2x2 xnxn x n-1 Observation 1: Il y peu de chances que ça arrive ! Observation 2: Propriété structurelle !

28 Systèmes linéaires positifs 28 u x Buisson mort Tiges simples Tiges avec bouton

29 Systèmes linéaires positifs 29 La condition doit être vérifiée pour tout sommet détat.

30 Systèmes linéaires positifs 30 Positive linear Systems : L. Farina, S. Rinaldi, Wiley, Compartmental Analysis in Biology and Medecine : J.A. Jacquez, Univ. Mich., Proceedings Positive Systems: Theory and Applications (POSTA) 2003 (Rome), 2006 (Grenoble), 2009 (Valence), Springer. Reachability, Observability and Realizability of continuous time positive systems, Y. Ohta, H. Maeda, S. Kodama, SIAM J. Cont., Characterization of phase-type distributions C.A. OCinneide, Stochastic Models, On the reachability in any fixed time for positive continuous-time linear systems, C. Commault, M. Alamir, SCL Phase-type distributions and representations: some open problems for system theory, C. Commault, S. Mocanu, IJC, 2003.

31 Systèmes linéaires positifs 31 Un domaine de recherche avec de nombreux domaines dapplication, parfois exotiques. Des problèmes théoriques intéressants faisant appel à des outils mathématiques variés (analyse convexe, graphes, …) Les offres de collaboration seront examinées avec intérêt !


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