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ACT2025 - Cours 3 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours.

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1 ACT2025 - Cours 3 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours

2 ACT2025 - Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital

3 ACT2025 - Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital Fonction dactualisation

4 ACT2025 - Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital Fonction dactualisation Taux effectif descompte

5 ACT2025 - Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital Fonction dactualisation Taux effectif descompte Équivalence de taux

6 ACT2025 - Cours 3 Sur ce dernier point, nous avons vu que Rappel: où i et d sont deux taux équivalents, i désigne un taux effectif dintérêt et d, un taux effectif descompte.

7 ACT2025 - Cours 3 Exemple 1: Alex fait lachat dappareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres: 1) soit quil paie 2400$ dans un an 2) soit quil paie immédiatement et a un escompte de 10%.

8 ACT2025 - Cours 3 Exemple 1 (suite): Si le taux dintérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

9 ACT2025 - Cours 3 Exemple 1 (suite): Si le taux dintérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex? À quel taux descompte, les deux options sont équivalentes?

10 ACT2025 - Cours 3 Solution pour la première question: Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

11 ACT2025 - Cours 3 Solution pour la première question: Dans la seconde option, la valeur après lescompte est Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

12 ACT2025 - Cours 3 Solution de la première question (suite): Nous pouvons conclure que la deuxième option est la plus avantageuse pour Alex.

13 ACT2025 - Cours 3 Solution pour la deuxième question: Notons par d le taux descompte pour lequel les deux options sont équivalentes. Alors nous avons

14 ACT2025 - Cours 3 Donc d = 9.9099099%. Ceci est tout simplement la formule déquivalence: Solution pour la deuxième question:

15 ACT2025 - Cours 3 Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: Autres formules déquivalence: Nous avons

16 ACT2025 - Cours 3 Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est Explication de la formule:

17 ACT2025 - Cours 3 Autres formules déquivalence: Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: Nous avons vu que

18 ACT2025 - Cours 3 Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

19 ACT2025 - Cours 3 Nous avons Capital investi au début de la période: Explication de la formule: (suite)

20 ACT2025 - Cours 3 Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Explication de la formule: (suite)

21 ACT2025 - Cours 3 Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt: Explication de la formule: (suite)

22 ACT2025 - Cours 3 Autres formules déquivalence: Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: Nous avons que

23 ACT2025 - Cours 3 Explication de la formule: Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an.

24 ACT2025 - Cours 3 Explication de la formule: Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an. Le second prêt sera remboursé par le versement de 1 dollar dans un an et lemprunteur recoit initialement (1 - d) dollar.

25 ACT2025 - Cours 3 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est d

26 ACT2025 - Cours 3 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est d Lintérêt sur la différence entre les montants prêtés est id

27 ACT2025 - Cours 3 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est d Lintérêt sur la différence entre les montants prêtés est id Mais ceci est aussi la différence entre lintérêt des deux prêts: i - d

28 ACT2025 - Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

29 ACT2025 - Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

30 ACT2025 - Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

31 ACT2025 - Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

32 ACT2025 - Cours 3 Escompte composé: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif descompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux descompte composé par d, alors nous pouvons calculer la fonction dactualisation

33 ACT2025 - Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d)

34 ACT2025 - Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - d) 2

35 ACT2025 - Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - d) 2 En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2 e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1 ère période et (1 - d) 2 dollars au début de la 1 ère période.

36 ACT2025 - Cours 3 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction dactualisation dans une situation descompte composé:

37 ACT2025 - Cours 3 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction dactualisation dans une situation descompte composé: et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

38 ACT2025 - Cours 3 Lescompte composé est équivalent à lintérêt composé. Léquivalence est obtenue par la formule:

39 ACT2025 - Cours 3 Escompte simple: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le montant descompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux descompte simple par d, alors nous pouvons calculer la fonction dactualisation.

40 ACT2025 - Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d)

41 ACT2025 - Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - 2d)

42 ACT2025 - Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - 2d) En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2 e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1 ère période et (1 - 2d) dollars au début de la 1 ère période.

43 ACT2025 - Cours 3 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction dactualisation dans lescompte simple: Noter que nous devons supposer

44 ACT2025 - Cours 3 Nous sommes aussi en mesure de calculer la fonction de capitalisation: Lescompte simple nest pas équivalent à lintérêt simple!

45 ACT2025 - Cours 3 En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux dintérêt i tel que Le terme de droite de léquation ci-dessus est une fonction linéaire, alors que le terme de gauche ne lest pas.

46 ACT2025 - Cours 3 Exemple 2: Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux descompte composé de ce prêt est 4.75% par année. Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans?

47 ACT2025 - Cours 3 Exemple 2: (suite) Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux descompte composé de 4.75%. Nous obtenons 4000(1 - 0.0475) 5 = 3136.06 $

48 ACT2025 - Cours 3 Exemple 2: (suite) cest-à-dire que le taux dintérêt équivalent est 4.9868766%. Nous obtenons alors une autre approche. Nous aurions aussi pu calculer le taux dintérêt composé équivalent au taux descompte 4.75% par année

49 ACT2025 - Cours 3 Exemple 2: (suite) Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux dintérêt composé de 4.9868766% par année. Nous obtenons que Alex reçoit

50 ACT2025 - Cours 3 Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux descompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L? Exemple 3:

51 ACT2025 - Cours 3 Exemple 3: (suite) Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux descompte simple 5% par année. Cette valeur est

52 ACT2025 - Cours 3 Comparaison: Si nous comparons les fonctions dactualisation dans les cas de lescompte simple et de lescompte composé pour le même taux d, nous obtenons le graphique suivant:

53 ACT2025 - Cours 3

54 Nous avons que et

55 ACT2025 - Cours 3

56 Jusquà présent, lintérêt était capitalisé quune seule fois par période. Il existe un autre type de taux tant pour lintérêt que lescompte: le taux nominal

57 ACT2025 - Cours 3 Exemple 4: Sur létat de compte dune compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): 18.50% par année et 0.05068% par jour. Comment interpréter ce taux de 18.50% par année?

58 ACT2025 - Cours 3 Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons le montant dintérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons (1 + 0.0005068) 365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402 Exemple 4: (suite)

59 ACT2025 - Cours 3 Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons le montant dintérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons (1 + 0.0005068) 365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402 Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% par année et non au taux de 18.50% par année. Exemple 4: (suite)

60 ACT2025 - Cours 3 La raison est que le 18.50% est un taux nominal dintérêt. Nous avons ici que Exemple 4: (suite)

61 ACT2025 - Cours 3 Taux nominal dintérêt: Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i (m)

62 ACT2025 - Cours 3 Donc pour déterminer le taux dintérêt par période de capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.

63 ACT2025 - Cours 3 Exemple 5: Un placement est rémunéré au taux nominal dintérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, cest-à-dire i (4) = 8% par année. Si Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir?

64 ACT2025 - Cours 3 Le taux dintérêt par trimestre (i.e. par trois mois) est de Pendant 5 ans, il y a 5 x 4 = 20 trimestres et lintérêt sera capitalisé 20 fois Exemple 5: (solution)

65 ACT2025 - Cours 3 Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux dintérêt est de 2%: 10000(1 + 0.02) -20 = 6729.71 $ Exemple 5: (solution)

66 ACT2025 - Cours 3 Équivalence de taux: Si nous considérons 1 dollar investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal dintérêt i (m) par année capitalisé m fois par année, nous obtenons

67 ACT2025 - Cours 3 Lintérêt sera capitalisé m fois pendant lannée au taux dintérêt par m-ième de période égal à Équivalence de taux: (suite) et la valeur accumulée est

68 ACT2025 - Cours 3 Si le taux effectif dintérêt i est équivalent au taux nominal dintérêt i (m), alors Équivalence de taux: (suite)

69 ACT2025 - Cours 3 Donc et Équivalence de taux: (suite)

70 ACT2025 - Cours 3 Exemple 6: Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal dintérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2 e année?

71 ACT2025 - Cours 3 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le taux dintérêt est le taux nominal i (12) = 9%, i.e. que le taux dintérêt par mois est

72 ACT2025 - Cours 3 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 x 2 parce quil y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années.

73 ACT2025 - Cours 3 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 x 2 parce quil y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années. La valeur accumulée sera 2500(1 + 0.0075) 24 = 2991.03 $

74 ACT2025 - Cours 3 Taux nominal descompte: Si lintérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux descompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal descompte est d (m)

75 ACT2025 - Cours 3 Si nous calculons la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an au taux nominal descompte d (m), alors nous obtenons

76 ACT2025 - Cours 3 Équivalence de taux: Supposons que les taux suivants sont équivalents Taux effectif dintérêt: i Taux nominal dintérêt: i (m) Taux effectif descompte: d Taux nominal descompte: d (p)

77 ACT2025 - Cours 3 En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de lannée, nous obtenons

78 ACT2025 - Cours 3 En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de lannée, nous obtenons En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons

79 ACT2025 - Cours 3 Léquivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes et


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