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ACT2025 - Cours 3 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours.

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1 ACT Cours 3 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours

2 ACT Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital

3 ACT Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital Fonction dactualisation

4 ACT Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital Fonction dactualisation Taux effectif descompte

5 ACT Cours 3 Rappel: Valeur actuelle dun capital Fonction dactualisation Taux effectif descompte Équivalence de taux

6 ACT Cours 3 Sur ce dernier point, nous avons vu que Rappel: où i et d sont deux taux équivalents, i désigne un taux effectif dintérêt et d, un taux effectif descompte.

7 ACT Cours 3 Exemple 1: Alex fait lachat dappareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres: 1) soit quil paie 2400$ dans un an 2) soit quil paie immédiatement et a un escompte de 10%.

8 ACT Cours 3 Exemple 1 (suite): Si le taux dintérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

9 ACT Cours 3 Exemple 1 (suite): Si le taux dintérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex? À quel taux descompte, les deux options sont équivalentes?

10 ACT Cours 3 Solution pour la première question: Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

11 ACT Cours 3 Solution pour la première question: Dans la seconde option, la valeur après lescompte est Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

12 ACT Cours 3 Solution de la première question (suite): Nous pouvons conclure que la deuxième option est la plus avantageuse pour Alex.

13 ACT Cours 3 Solution pour la deuxième question: Notons par d le taux descompte pour lequel les deux options sont équivalentes. Alors nous avons

14 ACT Cours 3 Donc d = %. Ceci est tout simplement la formule déquivalence: Solution pour la deuxième question:

15 ACT Cours 3 Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: Autres formules déquivalence: Nous avons

16 ACT Cours 3 Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est Explication de la formule:

17 ACT Cours 3 Autres formules déquivalence: Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: Nous avons vu que

18 ACT Cours 3 Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

19 ACT Cours 3 Nous avons Capital investi au début de la période: Explication de la formule: (suite)

20 ACT Cours 3 Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Explication de la formule: (suite)

21 ACT Cours 3 Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt: Explication de la formule: (suite)

22 ACT Cours 3 Autres formules déquivalence: Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante: Nous avons que

23 ACT Cours 3 Explication de la formule: Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an.

24 ACT Cours 3 Explication de la formule: Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an. Le second prêt sera remboursé par le versement de 1 dollar dans un an et lemprunteur recoit initialement (1 - d) dollar.

25 ACT Cours 3 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est d

26 ACT Cours 3 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est d Lintérêt sur la différence entre les montants prêtés est id

27 ACT Cours 3 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est d Lintérêt sur la différence entre les montants prêtés est id Mais ceci est aussi la différence entre lintérêt des deux prêts: i - d

28 ACT Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

29 ACT Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

30 ACT Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

31 ACT Cours 3 Il y a ainsi quatre formules à retenir:

32 ACT Cours 3 Escompte composé: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif descompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux descompte composé par d, alors nous pouvons calculer la fonction dactualisation

33 ACT Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d)

34 ACT Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - d) 2

35 ACT Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - d) 2 En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2 e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1 ère période et (1 - d) 2 dollars au début de la 1 ère période.

36 ACT Cours 3 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction dactualisation dans une situation descompte composé:

37 ACT Cours 3 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction dactualisation dans une situation descompte composé: et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

38 ACT Cours 3 Lescompte composé est équivalent à lintérêt composé. Léquivalence est obtenue par la formule:

39 ACT Cours 3 Escompte simple: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le montant descompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux descompte simple par d, alors nous pouvons calculer la fonction dactualisation.

40 ACT Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d)

41 ACT Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - 2d)

42 ACT Cours 3 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1 ère période est (1 - d) Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2 e période est (1 - 2d) En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2 e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1 ère période et (1 - 2d) dollars au début de la 1 ère période.

43 ACT Cours 3 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction dactualisation dans lescompte simple: Noter que nous devons supposer

44 ACT Cours 3 Nous sommes aussi en mesure de calculer la fonction de capitalisation: Lescompte simple nest pas équivalent à lintérêt simple!

45 ACT Cours 3 En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux dintérêt i tel que Le terme de droite de léquation ci-dessus est une fonction linéaire, alors que le terme de gauche ne lest pas.

46 ACT Cours 3 Exemple 2: Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux descompte composé de ce prêt est 4.75% par année. Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans?

47 ACT Cours 3 Exemple 2: (suite) Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux descompte composé de 4.75%. Nous obtenons 4000( ) 5 = $

48 ACT Cours 3 Exemple 2: (suite) cest-à-dire que le taux dintérêt équivalent est %. Nous obtenons alors une autre approche. Nous aurions aussi pu calculer le taux dintérêt composé équivalent au taux descompte 4.75% par année

49 ACT Cours 3 Exemple 2: (suite) Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux dintérêt composé de % par année. Nous obtenons que Alex reçoit

50 ACT Cours 3 Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux descompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L? Exemple 3:

51 ACT Cours 3 Exemple 3: (suite) Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux descompte simple 5% par année. Cette valeur est

52 ACT Cours 3 Comparaison: Si nous comparons les fonctions dactualisation dans les cas de lescompte simple et de lescompte composé pour le même taux d, nous obtenons le graphique suivant:

53 ACT Cours 3

54 Nous avons que et

55 ACT Cours 3

56 Jusquà présent, lintérêt était capitalisé quune seule fois par période. Il existe un autre type de taux tant pour lintérêt que lescompte: le taux nominal

57 ACT Cours 3 Exemple 4: Sur létat de compte dune compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): 18.50% par année et % par jour. Comment interpréter ce taux de 18.50% par année?

58 ACT Cours 3 Si nous considérons le taux % par jour et calculons le montant dintérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons ( ) = = Exemple 4: (suite)

59 ACT Cours 3 Si nous considérons le taux % par jour et calculons le montant dintérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons ( ) = = Ce taux quotidien de % correspond à un taux annuel de % par année et non au taux de 18.50% par année. Exemple 4: (suite)

60 ACT Cours 3 La raison est que le 18.50% est un taux nominal dintérêt. Nous avons ici que Exemple 4: (suite)

61 ACT Cours 3 Taux nominal dintérêt: Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i (m)

62 ACT Cours 3 Donc pour déterminer le taux dintérêt par période de capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.

63 ACT Cours 3 Exemple 5: Un placement est rémunéré au taux nominal dintérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, cest-à-dire i (4) = 8% par année. Si Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir?

64 ACT Cours 3 Le taux dintérêt par trimestre (i.e. par trois mois) est de Pendant 5 ans, il y a 5 x 4 = 20 trimestres et lintérêt sera capitalisé 20 fois Exemple 5: (solution)

65 ACT Cours 3 Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux dintérêt est de 2%: 10000( ) -20 = $ Exemple 5: (solution)

66 ACT Cours 3 Équivalence de taux: Si nous considérons 1 dollar investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal dintérêt i (m) par année capitalisé m fois par année, nous obtenons

67 ACT Cours 3 Lintérêt sera capitalisé m fois pendant lannée au taux dintérêt par m-ième de période égal à Équivalence de taux: (suite) et la valeur accumulée est

68 ACT Cours 3 Si le taux effectif dintérêt i est équivalent au taux nominal dintérêt i (m), alors Équivalence de taux: (suite)

69 ACT Cours 3 Donc et Équivalence de taux: (suite)

70 ACT Cours 3 Exemple 6: Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal dintérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2 e année?

71 ACT Cours 3 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le taux dintérêt est le taux nominal i (12) = 9%, i.e. que le taux dintérêt par mois est

72 ACT Cours 3 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 x 2 parce quil y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années.

73 ACT Cours 3 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 x 2 parce quil y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années. La valeur accumulée sera 2500( ) 24 = $

74 ACT Cours 3 Taux nominal descompte: Si lintérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux descompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal descompte est d (m)

75 ACT Cours 3 Si nous calculons la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an au taux nominal descompte d (m), alors nous obtenons

76 ACT Cours 3 Équivalence de taux: Supposons que les taux suivants sont équivalents Taux effectif dintérêt: i Taux nominal dintérêt: i (m) Taux effectif descompte: d Taux nominal descompte: d (p)

77 ACT Cours 3 En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de lannée, nous obtenons

78 ACT Cours 3 En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de lannée, nous obtenons En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons

79 ACT Cours 3 Léquivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes et


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