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ACT2025 - Cours 14 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatorzième cours.

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1 ACT Cours 14 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatorzième cours

2 ACT Cours 14 Rappel: Détermination de la valeur actuelle dune rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt

3 ACT Cours 14 Rappel: Détermination de la valeur actuelle dune rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt Détermination la valeur actuelle dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt

4 ACT Cours 14 Rappel: Détermination de la valeur actuelle dune rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt Détermination la valeur actuelle dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt Détermination la valeur accumulée dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt

5 ACT Cours 14 La valeur actuelle dune annuité de début de période est Rappel:

6 ACT Cours 14 La valeur accumulée dune annuité de début de période est Rappel:

7 ACT Cours 14 La valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période est Rappel:

8 ACT Cours 14 La valeur actuelle dune rente perpétuelle de début de période est Rappel:

9 ACT Cours 14 Considérons une annuité de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de lannuité en période de capitalisation, par i le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) le taux nominal dintérêt équivalent à i Rappel:

10 ACT Cours 14 La valeur actuelle de cette annuité de fin de période est Rappel:

11 ACT Cours 14 La valeur accumulée de cette annuité de fin de période au dernier paiement (après n périodes de capitalisation) est Rappel:

12 ACT Cours 14 Considérons une annuité de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de lannuité en période de capitalisation, par i le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) le taux nominal dintérêt équivalent à i.

13 ACT Cours 14 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par

14 ACT Cours 14 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule.

15 ACT Cours 14 Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par

16 ACT Cours 14 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule.

17 ACT Cours 14 Considérons une rente perpétuelle de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) : le taux nominal dintérêt équivalent à i.

18 ACT Cours 14 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette rente perpétuelle par

19 ACT Cours 14 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où i (m) est le taux nominal dintérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule.

20 ACT Cours 14 Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux dintérêt par période de capitalisation et par i (m) : le taux nominal dintérêt équivalent à i.

21 ACT Cours 14 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux descompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal descompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule.

22 ACT Cours 14 La loterie nationale veut créer un nouveau jeu de hasard dans lequel le gros lot est de verser 1000$ par semaine à tout jamais. Si le taux dintérêt est le taux effectif i = 5% par année, déterminons la valeur actuelle de ce gros lot. Le premier versement est fait lors de lencaissement du billet gagnant. Exemple 1:

23 ACT Cours 14 Nous voulons ainsi déterminer la valeur actuelle dune rente perpétuelle de début de période pour lequel le paiement est 1000$, les paiements sont à toutes les semaines et la période de capitalisation est une année. m = 52 i = 5% i (52) = % Total des paiements pendant une période de capitalisation = 52 x 1000 = Exemple 1: (suite)

24 ACT Cours 14 La valeur actuelle recherchée est Exemple 1: (suite)

25 ACT Cours 14 La valeur actuelle recherchée est cest-à-dire Exemple 1: (suite)

26 ACT Cours 14 Pour conclure sur ce type dannuités, celles pour lesquelles la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de lintérêt. Nous allons considérer une situation continue.

27 ACT Cours 14 Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le taux dintérêt par période de capitalisation est le taux effectif dintérêt i

28 ACT Cours 14 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par

29 ACT Cours 14 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où est le taux instantané dintérêt équivalent à i.

30 ACT Cours 14 Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par

31 ACT Cours 14 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où est le taux instantané dintérêt équivalent à i.

32 ACT Cours 14 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants; soit les paiements forment une suite arithmétique de la forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q)

33 ACT Cours 14 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants; soit les paiements forment une suite arithmétique de la forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q) soit les paiements forment une suite géométrique: P, (1 +k)P, (1 + k) 2 P, …, (1 + k) (n - 1) P

34 ACT Cours 14 Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de lintérêt.

35 ACT Cours 14 Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusquau dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars. Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0. Nous noterons par L : la valeur actuelle de cette annuité.

36 ACT Cours 14 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

37 ACT Cours 14 La valeur actuelle est alors

38 ACT Cours 14 Anne a emprunté $ quelle remboursera en faisant 48 paiements. Ces paiements sont faits à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Le premier paiement est de 1000$ et avec chaque paiement nous augmentons le paiement de X dollars jusquau 20 e. Ensuite ceux-ci sont constants et égaux à ( X). Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt i (12) = 6% par année capitalisé à tous les mois. Déterminons X. Exemple 2:

39 ACT Cours 14 Nous avons ainsi deux annuités, les 20 premiers paiements, qui forment une suite arithmétique, et les 28 derniers paiements, qui sont constants. Pour la seconde annuité, elle est différée. Il faudra ainsi escompter pour obtenir sa valeur actuelle. Le taux dintérêt par mois est (6%/12) = 0.5% Exemple 2: (suite)

40 ACT Cours 14 La valeur actuelle de la première annuité est alors Exemple 2: (suite)

41 ACT Cours 14 La valeur actuelle de la seconde annuité est Exemple 2: (suite)

42 ACT Cours 14 Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est Exemple 2: (suite)

43 ACT Cours 14 Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est Exemple 2: (suite) Nous obtenons que X = 91.80$

44 ACT Cours 14 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

45 ACT Cours 14 Calculons maintenant la valeur accumulée à la fin de la n e période de cette annuité formant une suite arithmétique. Cette valeur est

46 ACT Cours 14 Bernard veut accumuler $ en faisant 20 dépôts à la fin de chaque semestre pendant 10 ans. Il dépose initialement P dollars et avec chaque semestre, il diminue le dépôt de (P/40) dollars. Déterminer P si le taux dintérêt est i (2) = 8%. Le taux dintérêt par semestre est (8%/2) = 4%. Exemple 3:

47 ACT Cours 14 Léquation de valeur à la fin de la dixième année est Exemple 3: (suite)

48 ACT Cours 14 Léquation de valeur à la fin de la dixième année est Exemple 3: (suite) Nous obtenons que P = $

49 ACT Cours 14 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

50 ACT Cours 14 Cléo fait des dépôts à la fin de chaque mois pendant 15 ans dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (12) = 9%. La première année, les dépôts mensuels sont de 300$. Avec chaque année, les dépôts mensuels augmentent de 20$. Déterminons le montant accumulé X à la fin de la quinzième année. Exemple 4:

51 ACT Cours 14 Il y a ainsi 15 x 12 = 180 dépôts. Le diagramme dentrées et sorties est le suivant: Exemple 4: (suite)

52 ACT Cours 14 Ceci nest pas exactement une annuité pour laquelle les paiements forment une suite arithmétique. Cependant si nous considérons les valeurs accumulées à la fin de chaque année, nous aurons une annuité dont les paiements formeront une suite arithmétique et de plus celle-ci sera équivalente à notre annuité avec dépôts mensuels. Exemple 4: (suite)

53 ACT Cours 14 Le taux dintérêt par mois est i (12) /12 = 9%/12 = 0.75%. Pour la k e année, les paiements mensuels sont au montant de (k - 1). Il y a ainsi 12 dépôts de (k -1) dollars dont la valeur accumulée à la fin de lannée est Exemple 4: (suite)

54 ACT Cours 14 Nous aurons ainsi une annuité ayant 15 dépôts annuels, un à la fin de chacun des 15 années, au montant au lieu des 180 dépôts mensuels de notre première annuité. Cette seconde annuité est équivalente à la première. Exemple 4: (suite)

55 ACT Cours 14 Cette seconde annuité a des paiements qui forment une suite arithmétique. En effet, nous aurons et Exemple 4: (suite)

56 ACT Cours 14 La période de paiement est une année et le taux effectif dintérêt par année équivalent au taux nominal dintérêt i (12) = 9% est %. Nous obtenons alors que la valeur accumulée est cest-à-dire $. Exemple 4: (suite)


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