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Méthodes de prévision (STT-3220) Section 5 Processus linéaires, représentation de Wold et processus inversibles Version: 11 décembre 2008.

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1 Méthodes de prévision (STT-3220) Section 5 Processus linéaires, représentation de Wold et processus inversibles Version: 11 décembre 2008

2 STT-3220; Méthodes de prévision 2 Processus linéaires On va introduire la classe des modèles linéaires. Comme on va le voir, ces processus sécrivent comme une somme infinie de bruit blanc faibles. On dit également que ces processus admettent une représentation On va voir que les processus linéaires sont toujours stationnaires au sens large, sous une condition sur les coefficients de la somme infinie.

3 STT-3220; Méthodes de prévision 3 Processus linéaires (suite) On va poursuivre par la suite en présentant le Théorème de représentation de Wold: essentiellement, ce théorème dit que si un processus est SSL, alors nécessairement il est linéaire. Autrement dit: SSL implique une certaine représentation.

4 STT-3220; Méthodes de prévision 4 Processus inversibles On va également présenter les processus inversibles. Essentiellement, quand on dispose dun processus inversible, on peut exprimer Z t en fonction de son passé Z t-1, Z t-2, … Avec nos connaissances sur les processus linéaires et inversibles, nous allons par la suite présenter les modèles ARMA.

5 STT-3220; Méthodes de prévision 5 Définition dun processus linéaire Définition: Le processus est un processus linéaire sil admet une représentation de la forme: où et j sont des paramètres réels avec la conditionet est.

6 STT-3220; Méthodes de prévision 6 Remarques Habituellement on pose. Ainsi quand un processus est linéaire on peut écrire: La condition entraîne que le membre de droite de léquation précédente converge en moyenne quadratique.

7 STT-3220; Méthodes de prévision 7 Résultat important: Un processus linéaire avecest SSL. La moyenne est indépendante de t: La variance est finie:

8 STT-3220; Méthodes de prévision 8 Fct de covariance est indépendante du temps: Or On trouve ainsi que:

9 STT-3220; Méthodes de prévision 9 En résumé… Un processus linéaire est toujours SSL avec: On trouve que: La fct dautocorrélation est:

10 STT-3220; Méthodes de prévision 10 Exemple: processus MA(1) On rappelle que: Donc Pour k = 0: Pour k = 1: Pour k = 2 ainsi que pour :

11 STT-3220; Méthodes de prévision 11 On vient de montrer pour un MA(1): On rappelle que: Ainsi pour k = 0:, Aussi, pour k = 1: Et pour on trouve que. Cest la fonction dautocorrélation quon avait trouvé pour un MA(1).

12 STT-3220; Méthodes de prévision 12 Représentation de Wold Soit un processus que lon suppose SSL. Wold a montré que Z t peut toujours sécrire sous la forme: Z t = X t + Y t, Le processus X t est purement déterministe. Exemple: X t = X, où X est une variable aléatoire; (déterministe peut être aléatoire). Le processus Y t est purement non-déterministe.

13 STT-3220; Méthodes de prévision 13 Représentation de Wold (suite) Tout processus SSL purement non- déterministe admet une représentation de la forme: Dans la représentation,, et est un bruit blanc. De plus, a t est non-corrélé avec le passé de Z, i.e., a t est non-corrélé avec Z t-1, Z t-2, …, On peut donc penser à une sorte déquivalence entre SSL et représentation en terme dun BB.

14 STT-3220; Méthodes de prévision 14 Processus inversibles Considérons le processus que lon présume linéaire. Le processus est inversible sil admet la représentation: Les j sont des paramètres réels satisfaisant la relation et est.

15 STT-3220; Méthodes de prévision 15 Un processus inversible suggère que nous pourrons prédire les observations futures avec un nombre fini dobservations On remarque la condition suivante: Cette condition nous assure la convergence en moyenne quadratique. Puisque alors. Donc on devrait avoir que j est négligeable pour j > J, disons. On peut ainsi approximer un processus linéaire par un processus linéaire fini.

16 STT-3220; Méthodes de prévision 16 Prévisions dans le processus linéaire Si la condition est satisfaite, le processus ci-dessus sapproxime par: Le terme a t est non-corrélé avec le passé. Ayant Z t-1, Z t-2,…,Z t-J à notre disposition, une prévision serait:

17 STT-3220; Méthodes de prévision 17 En résumé… Pour le processus, deux représentations importantes sont obtenues, pour un processus SSL purement non-déterministe et inversible: 1) Représentation en terme dun bruit blanc: 2) Représentation en terme des valeurs passées:


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