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DimensionS FractaleS comme descripteurs de l'hétérogénéité spatiale: Notes de lecture et questions pratiques. Nicolas Bez IRD Sète.

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1 DimensionS FractaleS comme descripteurs de l'hétérogénéité spatiale: Notes de lecture et questions pratiques. Nicolas Bez IRD Sète

2 Question de départ : Le variogramme (dordre 2) permet-il de calculer la dimension fractale ? La formule est-elle valide ? Ça dépend Si oui : de qui ? comment ? pourquoi ? Si non : pourquoi ? Autre solutions ?

3 La genèse des fractales par lexemple. En général, lorsquun objet simple (ligne droite, carré, cube, etc) est divisé en N éléments similaires chacun linéairement k fois plus petit, la dimension topologique d de lobjet est telle que : N=k d 6 éléments identiques 6 fois plus petits d=1 4 éléments identiques 2 fois plus petits dans chacun de leur dimensions (homothétie de rapport ½) d=2 La mesure de ces objets (longueur, surface, volume) est finie.

4 Courbe de Koch Chaque élément contient 4 éléments 3 fois plus petits: Dimension fractale correspond à la dimension dhomothétie (abusivement appelée dimension de Hausdorff; il y a identité dans les cas dobjets homothétiques comme cest le cas ici). La mesure (longueur, surface, volume) de ces objets est infinie. Ici, la longueur de la courbe obtenue à la limite du processus est infinie.

5 Ensemble de Cantor Chaque élément contient 2 éléments 3 fois plus petits: Le résultat du processus est un objet entre « point » (d=0) et « ligne » (d=1).

6 Self-similarity, auto-homothétie, Absence déchelle caractéristique, Systèmes emboîtés, hiérarchisés Les fractales sont auto-homothétiques Poissons Groupes= +sieurs poissons Banc= +sieurs Groupes Clusters= +sieurs Bancs Population= +sieurs Clusters Phénomènes turbulents Ex. Tourbillons, eddies, filaments, etc Les fractales sont rugueuses Rugosité Non différentiabilité

7 Malgré cette dualité, Mandelbrot (1977) fournit une définition non équivoque: « a fractal is a set in a metric space for which the Hausdorff- Besicovitch dimension is greater than the topological dimension » « Pédagogie » des fractales basées sur des processus auto-similaires Dimension dhomothétie Dimension fractale Dimension de Hausdorff

8 Fractale = Deux thèmes (Dimension non entière; auto- homothétie) Et une équivoque : toujours demander/préciser dans quel sens le mot fractal est utilisé Par habitude les fractales sont le plus souvent associées à lauto-homothétie. Matheron : « On est prié de ne pas confondre : Fractale : dimension de Hausdorff non entière (i.e. extrême rugosité), propriété purement locale Et Auto-homothétie : propriété globale »

9 Quelques remarques générales Une F.A. peut être à la fois fractale et stationnaire. Une F.A. auto-homothétique nest jamais stationnaire. Matheron: « si vous êtes à la fois stationnaire et auto-homothétiques, alors chapeau : vous êtes un pur bruit blanc! » Il existe des objets auto-homothétiques mais non fractals. Ex.: une droite dans R 2 ou R 3, un plan dans R 3

10 Mesure et dimension de Hausdorff-Besicovitch Mesure de recouvrement Mesure de Hausdorff-Besicovitch Dimension de Hausdorff-Besicovitch

11 Cas des mouvements browniens (fractionnaires) Caractérisation géostatistique Auto-homothétie Les mouvements browniens fractionnaires sont auto-homothétiques avec une dimension dhomothétie égale à α/2.

12 Dimension de HB Le graphe dun processus brownien ordinaire (α=1) mono-dimensionel est une courbe de dimension topologique 1 dans un espace de dimension 2 (une dimension pour x et une dimension pour B(x)) et de dimension fractale 1.5 (1.5=2- 0.5). A 2D, on obtient des surfaces (objets de dimension topologique 2) dans un espace de dimension 3 (deux dimensions pour (x,y) et une dimension pour B(x,y)) et de dimension fractale 2.5 (2.5=3-0.5). Variogramme dordre 1 en h α/2

13 Proposition: Variogramme dordre 1 plutôt que variogramme dordre 2 Même covariance Mais variogrammes dordre 1 différents. Brownien Ambarzumian Markov à 2 états

14 Proposition: La définition de la dimension fractale (dimension de HB) est peu opératoire. La pente en log-log du variogramme dordre 1 est un estimateur 1.Correct de la dimension fractale (i.e. de la dimension de Hausdorff) 2.Plus robuste Lutilisation de α/2, demie pente en log-log du variogramme (dordre 2) nest justifiée que pour les cas gaussiens. On peut utiliser le variogramme dordre 2 pour autant que lon connaisse le lien entre variogramme dordre 1 et 2:

15 Dimension dhomothétie et de Hausdorff Bruno et Raspa (1989): Pour les ensembles self similaires, la dimension de HB peut être calculée par la formule simplifiée qui correspond aux dimensions dhomothétie définissant les premiers objets fractals. Pour tester le caractère auto homothétique dune fonction, e donc valider lutilisation de on peut donc tester le caractère linéaire en log-log de lévolution de la mesure de cette fonction en fonction de la résolution. Rq.: En pratique, la résolution nécessairement bornée des observations impose une non linéarité de ces graphes.

16 Quid des effets de pépites apparents (régularisation) ? Effets de pépites Processus non homothètique. D=N+1 (D=2 pour le graphe dune pépite 1D) Pente log-log de γ 1 = 0 Régularisation par chevauchement de supports élémentaires. Situation pratique différente.

17 Dimension dhomothétie: Des exemples instructifs Mouvement Brownien Fractionnaire: Mais : Processus de Lévy

18 Si le variogramme dordre 1 existe, alors:

19 Des fractales pour quoi faire ? Bruno and Raspa : Without doubt the D is a parameter that measures an interesting aspect of the degree of irregularity of the random functions that geostatisticians have always examined through the generic « behaviour near the origin of the variogram». The D is a better synthesis because it quantifies in a simple manner some of the aspects of fuzzy statements of the type : «one function is more irregular than the other». Des phénomènes auto-homothétiques ne se rencontrent pas dans la nature. Gammes déchelles de validité des modèles réduites par nature et par limitations pratiques dobservations. The number of references to fractals has been increasing regularly over the last decade (web od science).

20 Laurent Nottale (astrophysicien): Relativité déchelle La longueur L nest plus une valeur mais une fonction L(r) qui exprime la longueur en fonction de la résolution r. Ainsi les phénomènes naturels entrent dans une description relative à léchelle où ils peuvent manifester des comportements fractals à petites échelles et indépendants des échelles au-delà (ou réciproquement). On cherchera à développer des dynamiques qui peuvent ne pas être fondées sur la différentiabilité (physique classique présuppose lexistence de dérivés). Il faut donc rendre les modèles explicitement dépendant des échelles/résolutions.

21 Le concept de fractal devient générateur dune nouvelle dynamique. Si on suppose: 1.Il existe un très grand nombre de trajectoires potentielles 2.Chacune est une courbe fractale 3.irréversibilité au niveau infinitésimal Alors les équations fondamentales deviennent des équations de Schrödinger dont les solutions sont des fonctions de probabilité qui sont naturellement capable de morphogénèse. Nottale, La théorie de la relativité déchelle: réflexions pour une application à lhalieutique. Les espaces de lhalieuique, 4 ème Forum Halieumétrique, Rennes, Juin 1999, Eds Gascuel D., P. Chavance, N. Bez et A. Biseau, pp 41-54

22 Mandelbrot, Fractals, form, chance and dimension. Chilès J.P. and P. Delfiner, 1999.Geostatistics, modeling spatial uncertainty. Wiley Ed.. Bruno R. and G. Raspa, Geostatistical characterisation of fractal models of surfaces. Armstrong (ed.) Geostatistics, Vol. 1, Frontier S, Development in numerical ecology. NATO ASI Series, Vol. G14, Springer, Berlin Halley J.M., S. Hartley, A.S. Kallimanis, W.E. Kunin, J.J. Lennon ans S.P. Sgardellis, Uses and abuses of fractal methodology in ecology. Ecology Letters, 7: Matheron G. ~1980. Fractals ! Transparents dexposé, Fontainebleau. Nottale L., La relativité dans tous ses états. Hachette. Bibliographie utilisées


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