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1 Modélisation de l’élève en algèbre dans un contexte technologique Jean-François Nicaud Équipe MTAH, IMAG-Leibniz.

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1 1 Modélisation de l’élève en algèbre dans un contexte technologique Jean-François Nicaud Équipe MTAH, IMAG-Leibniz

2 2 Première partie : le logiciel Aplusix  Démonstrationhttp://aplusix.imag.fr

3 3 Caractéristiques de base •L’élève effectue les calculs qu’il veut •Fidélité visuelle (même langage qu’au tableau) •Fonctionnalité d’édition : sélection, couper, copier, coller, glisser-déposer  ayant un comportement algébrique •Intuitif, proche du papier/crayon

4 4 Fonctionnalités de niveau supérieur •La vérification des calculs •La vérification du « résolu » •Des indicateurs d’état ou de progression •Des commandes de type calcul formel •Un résolveur pas à pas (en cours de développement)

5 5 Domaine Une très grosse partie de l’algèbre de l’enseignement secondaire –Expressions polynomiales et rationnelles –Équations et inéquations polynomiales de degré inférieur ou égal à 4 –Équations rationnelles se ramenant aux précédentes –Systèmes linéaires (maxi 10 équations, 10 inconnues)

6 6 Pour l’enseignant •Très fortement paramétrable L’enseignant peut l’adapter à ses désirs •Un magnétoscope •Permet de faire des fichiers d’exercices •Permet de faire des scénarios •Un logiciel d’administration (en cours de réalisation) –Gestion des classes –Statistiques

7 7 Deuxième partie : modélisation de l’élève Projet de l’ACI « école et sciences cognitives » Deux équipes de Grenoble (informatique et didactique) Une équipe de Montpellier (didactique) Une équipe de Paris 8 (psychologie)

8 8 Les données •Les élèves utilisent Aplusix dans des conditions choisies, par exemple : –3 séances d’une heure –En salle informatique (un élève par machine) –Encadrement par le professeur •A partir des fichiers d’interaction –Des analyses « manuelles » (magnétoscope, étude de fichiers extraits) –Des analyses automatiques

9 9 Les objectifs •Construire une bibliothèque de règles erronées •Diagnostiquer les transformations d’élève par une suite de règles •Construire des conceptions prototypiques •Modéliser l’élève par des conception •Élaborer des stratégies d’enseignement s’appuyant sur les modèles d’élèves

10 10 Construction d’une bibliothèque de règles erronées •Par analyse des comportements d’élèves et analyse épistémique •Exemple : A+B = C  A = B+C aB < C  B

11 11 Diagnostic de transformations d’élèves •L’algorithme de diagnostic –Un algorithme de recherche heuristique –Il développe un arbre de recherche en appliquant des règles correctes et erronées –Il utilise une distance entre les expressions algébriques  forte explosion combinatoire, différents éléments heuristiques pour la contrôler

12 12 Exemple passage de (49x 2 -28x+4)-(9x ) à 40x 2 -28x x 2 -28x+4-(9x )ParenthesesArgDePlus 49x 2 -28x+4-9x ER_Nb_Fois1erDeSomme 40x 2 -28x GrouptAdditifCoefRationnel 40x 2 -28x-140PlusEntier

13 13 Construction de « clusters » d’élèves à l’aide d’algorithmes de classification •Un ensemble de comportements d’élèves sur des moments sélectionnés •Mis sous la forme d’un vecteur de traits avec ajout de propriétés calculées Exercice résolu, calcul juste, sorte de transformation, diagnostic, etc. •Une distance entre les vecteurs •Un algorithme de classification

14 14 Exemple 1 : sans diagnostic •Exercice « Développer-réduire (9x-5)(-6x+2) » •197 élèves, 12 traits utilisés –nombre d’exps équivalentes à énoncé –nombre d’exps équivalentes à la précédente –nombre d’exps mal formées –nombre d’actions modifiantes –nombre d’exps non équivalentes à la précédente –nombre d’actions/exps total –nombre d’étapes supprimées –nombre d’étapes créées –temps passé dans des exps équivalentes –temps passé dans des exps mal formées –temps passé dans des exps non équivalentes –temps total passé sur l’exercice

15 15 Résultats : 4 groupes a)Succès rapides (48)  temps faible  faible interaction avec le logiciel  calculs corrects b)Succès « actifs » (15)  plus lents que le groupe a)  forte interaction avec le logiciel  calculs corrects c)Echecs pour faute de parcours (20)  très similaire à groupe a) en termes de temps et d’actions  beaucoup de calculs erronés d)Echecs lents (18)  beaucoup de temps dans des expressions mal formées ou non équivalentes  beaucoup de calculs erronés

16 16 Exemple 2 : avec diagnostic Exercice « Développer-réduire (9x-5)(-6x+2) » –Un diagnostic est une suite de règles –Chaque sorte de diagnostic est un trait –Prise en compte seulement des étapes

17 17 Étape suivante (1) •Décomposition des règles des diagnostics en traits –SousTache : la sous-tâche en cours –RegleAbstraite : la règle à niveau abstrait –RegleFine : la règle à niveau fin –Regle : la règle elle-même –Statut : parmi (correct, errone) –Source : l'expression transformée –OperateurSource –TypeSource –Resultat : le résultat de la transformation –Etc.

18 18 Étape suivante (2) •Sélection des comportements sur une même sous- tâche (réduire, développer, factoriser, opérations sur équation) •Construction de « clusters » qui regroupent les élèves ayant les mêmes conceptions •Extraction des conceptions

19 19 ANNEXES

20 20 Le logiciel Aplusix •Apprécié des élèves et des professeurs –Des tests auprès de 300 élèves en 2002 –Environ résolutions d’exercices par des élèves en 2002 •Langue –français, anglais, portugais, italien –japonais et espagnol en cours •Disponibilité –Libre actuellement (durée limitée) –En cours de valorisation

21 21 La classification non supervisée •But : détecter au sein d’un ensemble de données non étiquetées des groupes d ’objets «similaires» •Large éventail d’algorithmes existants. Notre choix : le SuperParamagnetic Clustering [Domany 97]

22 22 Le SuperParamagnetic Clustering •Basé sur une analogie physique : l’orientation du spin de particules ferromagnétiques sous l ’effet d ’une variation de température •Résultat : continuum de classifications •Exemple


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