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MAXIMISER les RESULTATS La méthode du simplexe. MISE en FORME MATHÉMATIQUE  Définir les variables de décision  ensemble des variables qui régissent.

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1 MAXIMISER les RESULTATS La méthode du simplexe

2 MISE en FORME MATHÉMATIQUE  Définir les variables de décision  ensemble des variables qui régissent la situation à modéliser  variables réelles, entières, binaires  Préciser la fonction objectif  fonction mathématique composée des variables de décision qui représente le modèle physique modélisé  fonction linéaire, non-linéaire  Préciser les contraintes du problème  ensemble des paramètres qui limitent le modèle réalisable  équations ou inéquations composées des variables de décision  Préciser les paramètres du modèle  constantes associées aux contraintes et à la fonction objective

3 FORMULATION MATHÉMATIQUE  FONCTION OBJECTIF  Maximiser ou minimiser  z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … + + c n x n  Contraintes  a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1n x n ( , =,  ) b 1  a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + … + a 2n x n ( , =,  ) b 2  a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + … + a mn x n ( , =,  ) b m  Contraintes de non-négativité  x j  0 ; j = 1, 2, 3, … n  avec  x j variables de décision (inconnues)  a ij, b i, c j paramètres du programme linéaire

4 TERMINOLOGIE du MODÈLE  Activités  Ensemble des actes et opérations à effectuer  j = 1,…n activités  Ressources  Moyens disponibles pour effectuer les activités  b i, i = 1,…m ressources  Quantité requise de ressource  Quantité unitaire de ressources consommées pour chaque activité a ij  Niveau activation  Quantité de ressources affectée à une activité  x j = niveau d’activation de l’activité j  Coût ou profit  Mesure de performance de l’allocation des ressources aux activités c j

5 TERMINOLOGIE de la SOLUTION  Solution réalisable  Solution où toutes les contraintes du modèle sont satisfaites  Zone de solution  Ensemble de toutes les solutions réalisables  Solution optimale  Solution réalisable où la fonction objectif atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum  Plusieurs solutions optimales possibles

6 EXEMPLE: PROBLÈME d'ALLOCATION de RESSOURCES Vous disposez de  8 kg de pommes  2,5 kg de pâte  6 plaques pour confectionner des chaussons et des tartes Pour faire un chausson, il vous faut:  150 g de pommes  et 75 g de pâte Chaque chausson est vendu 3 € Pour faire une tarte, il vous faut  1 kg de pommes  200 g de pâte  et 1 plaque Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues chacune 2 € Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre d'affaires de la vente ?

7 PROBLÈME d'ALLOCATION de RESSOURCES Définissons 2 variables de décision  x 1 : le nombre de chaussons confectionnés  x 2 : le nombre de tartes confectionnées Le chiffre d’affaires associé à une production (x 1 ; x 2 ) est z = 3x 1 + (6 x 2)x 2 = 3x x 2 Il ne faut pas utiliser plus de ressources que disponibles  150x x 2  8000 (pommes)  75x x 2  2500 (pâte)  x 2  6 (plaques) On ne peut pas cuisiner des quantités négatives : x 1 et x 2  0

8 MODÈLE: PROBLÈME d'ALLOCATION de RESSOURCES Pour maximiser le chiffre d’affaires de la vente, il faut déterminer les nombres x 1 et x 2 de chaussons et de tartes a cuisiner, solution du problème Max z = 3x x 2 Sujet à  150x x 2  8000  75x x 2  2500  x 2  6  x 1 ; x 2  0 En fait, il faudrait également imposer à x 1 et x 2 de ne prendre que des valeurs entières

9 RÉSOLUTION GRAPHIQUE Zone limitée par l’ensemble des équations de contraintes du problème et par les limites des variables de décision x2x2 x1x1 0

10 MÉTHODE du SIMPLEXE  INTRODUCTION  développée initialement par George Dantzig en 1947  seule méthode exacte pour résoudre des problèmes linéaires de grande taille  méthode itérative algébrique où l’on circule séquentiellement sur les sommets à l’intérieur de la zone de solution jusqu’à l’obtention de la solution optimale

11 MÉTHODE du SIMPLEXE : DÉFINITIONS  Systèmes d’équations équivalents  Systèmes qui possèdent le même ensemble de solutions  Variable de base  Variable qui a un coefficient unitaire positif dans une des équations du système et un coefficient nul partout ailleurs  Opérations pivot  Opération de Gauss-Jordan pour transformer un système d’équations équivalent dans lequel une variable devient de base  Système canonique  Système d’équations où il y a une variable de base par équation  Solution de base  Système d’équations où les variables hors base sont fixées à zéro résolu pour les variables de base

12 FORME NORMALISÉE  PROBLÈME de MAXIMISATION

13 SIMPLEXE, FORME MATRICIELLE

14 RÉSOLUTION avec EXCEL


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