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M1 2013/2014 Mesures de position, de dispersion et de forme, distributions, représentations graphiques.

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1 M1 2013/2014 Mesures de position, de dispersion et de forme, distributions, représentations graphiques

2 Mesures de position Ils s’expriment dans la même unité que les observations Moyenne et moyenne pondérée  Exemple : on dispose du nombre moyen d’enfants par femme des 27 régions de France (outre-mer inclus) et on souhaite calculer le nombre moyen d’enfants par femme au niveau national. Ne pas oublier de pondérer par le nombre de femmes de chaque région. Quantiles  La quantile d’ordre α % est la valeur x du caractère telle que α % des valeurs observées soient inférieures strictement à x  Médiane : quantile d’ordre 50%, elle partage la série des valeurs observées en deux séries de même taille  Les trois quartiles partagent la série en 4 séries de même taille: 25% des observations sont inférieures au 1 er quartile, 50% …, 75% ….  Déciles, centiles, etc Modes : La ou les valeurs observée d’effectif maximum Sous SAS : proc freq et proc mean

3 Statistiques descriptives QualitésModeMédianeMoyenne Dépendre du nombre de termes de la série nonoui Robustesse (faible sensibilité aux valeurs extrêmes) oui non Se prêter aux calculs algébriquesnon oui

4 Fonctions de répartition Distribution ou loi de probabilité. Elles peuvent être discrètes, continues ou hybrides. Densité d’une loi normale standard

5 Distributions Fonction de répartition empirique  Soit {Yi} un échantillon. La fonction de répartition empirique de cet échantillon est la fonction : Donne la proportion de l’échantillon sur laquelle la valeur de la variable Y est inférieure à une valeur y.

6 Construction d’une fonction de répartition empirique Exemple:

7 Fonctions de répartition et quantiles

8 Mesures de dispersion Moments et moments centrés  Les moments centrés d’ordre pair renseignent sur la dispersion des observations autour de la moyenne et les moments centrés d’ordre impair sur la dissymétrie de la distribution. Variance Ecart-type

9 SAS Quelques procédures SAS importantes à connaître  Proc sort  Proc format  Proc surveyselect : extraire un échantillon aléatoire d’une table d’observations

10 Mesures de forme Ce sont des nombres sans dimension Ils renseignent sur la forme des distributions statistiques : symétrie et aplatissement Coefficient d’asymétrie de Fisher - Coefficient d’aplatissement de Pearson Skewness Kurtosis Où μ i désigne le moment d’ordre i et σ l’écart-type Exemple Asymétrie Aplatissement

11 Mesures de forme - Propriétés Coefficient de skewness/asymétrie γ = 0 distribution est symétrique moy = med = mode γ distribution étalée vers la gauche moy < med < mode γ = 0 distribution étalée vers la droite moy > med > mode => distribution étalée vers la gauche Coefficient de kurtosis Si F = 0 la distribution est « normale » Si F < 0, la distribution est plus aplatie que la normale Si F > 0, la distribution est moins aplatie que la normale

12 Différents paramètres pour la loi normale

13 Représentations graphiques Synthèse Boîte à moustache (box plots)  Représentation graphique d’un caractère numérique résumé par la valeur minimal le premier quartile la médiane le dernier quartile la valeur maximale

14 Représentations graphiques Caractères qualitatifs: diagramme à bandes ou à secteurs Caractères quantitatifs: histogrammes avec regroupement en classes d’amplitudes égales ou inégales Préférer toujours Excel à SAS


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