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NANOPHYSIQUE INTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES Pierre GASPARD 2011-2012 4. NANOTUBES DE CARBONE.

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1 NANOPHYSIQUE INTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES Pierre GASPARD NANOTUBES DE CARBONE

2 DIAGRAMME DE PHASE DU CARBONE diamant graphite

3 Nano materials Carbon nanotubes(CNT) (Iijima Nature (1992)) Electron microscope image Interpretation of the images

4 Current-voltage characteristics of CNT (S.J. Tans et al. Nature (1997) ) Electron microscope image of the system ・ thin filament: Single-wall CNT ・ hills: electrodes a.Nonlinear conductance (Coulomb staircase) b.Controlling the number of electrons

5 Young’s interference of electrons from MW nanotubes (C. Oshima et al. PRL (2002)) nanotube head fringe pattern in field emission microscopy field emission sites

6 ORBITALES & LEURS HYBRIDATIONS Structure électronique d’un atome de carbone = 1s 2 2s 2 2p 2 coeur = 1s 2 4 électrons de valence = 2s 2 2p 2 Hybridation sp: acétylène: HCCH liaison triple: 1 lien  + 2 liens  1 lien  = orbitale moléculaire sp +sp 2 liens  = orbitales moléculaires 2p y, 2p z sp = hybridation 2s + 2p x Hybridation sp 2 : polyacétylène: (HCCH) n liaison double: 1 lien  + 1 lien  1 lien  = orbitale moléculaire sp 2 +sp 2 1 lien  = orbitale moléculaire 2p z sp 2 = hybridation 2s + 2p x + 2p y Hybridation sp 3 : méthane: CH 4 liaison simple: 1 lien  1 lien  = orbitale moléculaire sp 3 +sp 3 sp 3 = hybridation 2s + 2p x + 2p y + 2p z

7 GRAPHENE 1 graphène = un seul feuillet de graphite Structure électronique d’un atome de carbone = 1s 2 2s 2 2p 2 coeur = 1s 2 4 électrons de valence = 2s 2 2p 2 Chaque atome de carbone offre 3 orbitales atomiques sp 2 et une orbitale 2p z Les orbitales atomiques sp 2 forment les liens  Les orbitales atomiques 2p z forment les liens 

8 GRAPHENE 2 réseau zone de Brillouin R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)

9 GRAPHENE 3 R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)

10 NANOTUBE 1 « armchair » (n,n) « zigzag » (n,0) « chiral » (n,m)

11 NANOTUBE 2 réseau zone de Brillouin « armchair » (n,n) « zigzag » (n,0) liensπ liensσ R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)

12 RESEAU DU NANOTUBE vecteur chiral: R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998) vecteur de translation: parallèle à l’axe du nanotube et perpendiculaire au vecteur chiral nombre d’hexagônes dans la cellule unité: nombre d’atomes de carbone: périmètre: diamètre:

13 BANDES D’ENERGIE DU NANOTUBE vecteurs de base du réseau réciproque: R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998) Bandes d’énergie du nanotube à partir de la bande d’énergie du graphène:

14 NANOTUBES SEMICONDUCTEURS K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ Bande d’énergie du graphène sections des conditions aux bords périodiques Bandes d’énergie semiconductrices pour le nanotube ← niveau de Fermi : E = 0

15 NANOTUBES METALLIQUES Bande d’énergie du graphène sections des conditions aux bords périodiques Bandes d’énergie métalliques pour le nanotube ← niveau de Fermi : E = 0 K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・ K・K・

16 NANOTUBES « ARMCHAIR » (n,n) R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998) bande d’énergie du graphène: bandes d’énergie du nanotube: métallique car pas de « gap »

17 R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998) bandes d’énergie du nanotube: semiconducteur si n n’est pas un multiple de 3 métallique si n est un multiple de 3 NANOTUBES « ZIGZAG » (n,0)

18 NANOTUBE 3 bandes d’énergie « armchair » (5,5)« zigzag » (9,0)« zigzag » (10,0) R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)

19 NANOTUBE 4 DoS « zigzag » (10,0) « zigzag » (9,0) R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)

20 DOUBLES NANOTUBES DE CARBONE Feuillets de graphène enroulés sur eux-mêmes Deux exemples de nanotubes à double paroi (DWNT): armchair-armchair DWNT: N 1 = 400 N 2 = 900 zigzag-armchair DWNT: N 1 = 406 N 2 = nm

21 Moteur à axe en nanotubes de carbone Zettl, Berkeley, USA 300 nm A. M. Fennimore, T. D. Yuzvinsky, Wei-Qiang Han, M. S. Fuhrer, J. Cumings & A. Zettl, Nature 424 (2003) 410. Fréquence de rotation ~ Hertz

22 Nanotubes de carbone coulissants J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) ~1 nm distance intertube ~ 0, 34 nm période d’oscillation ~ 5-10 ps

23 FROTTEMENT DANS LES NANOTUBES DE CARBONE 3.8 nm ~ 800 atomes de carbone distance intertube ~ 0.34 nm période des oscillations ~ 5-10 ps J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. B 73 (2006)

24 HAMILTONIAN DYNAMICS OF CARBON NANOTUBES Hamiltonian microscopic dynamics: Tersoff-Brenner potential inside each carbon nanotube Lennard-Jones potential between the two nanotubes molecular dynamics: velocity Verlet algorithm two systems of double-walled nanotubes (DWNT): armchair-armchair DWNT: N 1 = 400 N 2 = 900 zigzag-armchair DWNT: N 1 = 406 N 2 = 900 microcanonical temperature: 6.1 nm

25 TRANSLATIONAL MOTION: REDUCED DESCRIPTION relative position of the centers of mass along the axis of the system: relative mass of the system: time scales: (1)correlation time: inverse of Debye vibrational frequency: (2)period of oscillations: (3) relaxation time: one-dimensional effective Newtonian dynamics: potential force friction force Langevin-type fluctuating force

26 TRANSLATIONAL MOTION: EFFECTIVE POTENTIAL effective potential due to the van der Waals interaction between the nanotubes: armchair-armchair DWNT: zigzag-armchair DWNT:

27 FRICTION ENTRE DEUX NANOTUBES DE CARBONE force de friction cinétique Kirkwood (1946); Jarzynski (1993); Berry & Robbins (1993) fonction d’autocorrélation de la force: coefficient de friction: J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003)  N 1 = 60 atomes l 1 = 1,1 nm N 2 = 240 atomes l 2 = 1,5 nm T = 300 K

28 MOUVEMENT BROWNIEN: PROCESSUS DE LANGEVIN Particule brownienne en suspension dans un liquide: rayon a = 1  m. équation de Newton pour son mouvement: 1) force due à un potentiel extérieur: 2) force due à la viscosité du liquide environnant: 3) force due aux collisions avec les molécules environnantes: force entre la particule brownienne et la i ème molécule: coefficient de friction en termes de la viscosité  : formule de Stokes La force due aux collisions est aléatoire. L’équation de Newton avec cette force aléatoire ou stochastique est appelée équation de Langevin.

29 MOUVEMENT BROWNIEN: PROCESSUS DE LANGEVIN Par ailleurs, les molécules se déplacent si vite que la force à un instant donné est essentiellement indépendante de celle à un instant suivant. Ceci se traduit en disant que la fonction de corrélation statistique de la force est égale à zéro dès que t ≠ t’ La force due aux collisions est aléatoire. On peut invoquer le théorème central limite selon lequel une somme de nombreuses variables est une distribution gaussienne. En particulier, sa moyenne statistique s’annule: Néanmoins, l’intégrale sur le temps de la fonction de corrélation ne peut s’annuler car si on intègre sur le temps l’équation de Newton sans force extérieure on obtient

30 EQUATIONS DE LANGEVIN ET DE FOKKER-PLANCK Equation de Langevin: Système d’équations différentielles stochastiques: Equation de Fokker-Planck:

31 EQUATION DE FOKKER-PLANCK solution stationnaire d’équilibre: Equation de Fokker-Planck: Relation d’Einstein entre diffusion et friction (ou mobilité): vérification:

32 EQUATION DE LANGEVIN Equation de Langevin: Relation d’Einstein entre diffusion et friction (ou mobilité): Cas limite avec grand frottement:

33 PENDULE Equation de Langevin: Pendule sous-amorti: effets inertiaux dominants: oscillations amorties Période des oscillations: Temps de relaxation: Pendule sur-amorti: effets inertiaux négligeables: oscillations absentes (systèmes biologiques)

34 ROLE DES FONCTIONS DE CORRELATION TEMPORELLE Friction: formule de Kirkwood [J. G. Kirkwood, J. Chem. Phys. 14 (1946) 180] entre le coefficient de friction et la fonction d’autocorrelation de la force fluctuante: Mouvement brownien: friction et diffusion Diffusion: formule de Green-Kubo [M. S. Green, J. Chem. Phys. 20 (1952) 1281; 22 (1954) 398; R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn 12 (1957) 570] entre le coefficient de diffusion et la fonction d’autocorrelation de la vitesse:

35 FORMULES D’EINSTEIN-HELFAND ET DE GREEN-KUBO: DIFFUSION Formule d’Einstein-Helfand: Formule de Green-Kubo: Connection:

36 TRANSLATIONAL FRICTION IN CARBON NANOTUBES dynamic friction force: damping of the amplitude over a half-period: initial position Kirkwood (1946); Jarzynski (1993); Berry & Robbins (1993) current position force-force correlation function: friction coefficient: armchair-armchair DWNT zigzag-armchair DWNT armchair-armchair DWNT zigzag-armchair DWNT

37 TRANSLATIONAL DYNAMICS & FRICTION IN CARBON NANOTUBES damping rates: position: energy: period: armchair-armchair DWNT zigzag-armchair DWNT armchair-armchair DWNT zigzag-armchair DWNT armchair-armchair DWNT zigzag-armchair DWNT

38 FLUCTUATIONS & FRICTION IN THE TRANSLATIONAL MOTION Langevin-type stochastic equation: fluctuating force: Gaussian white noise (|t  t’| >> t C ): Fokker-Planck equation: equilibrium solution: very small Brownian motion of the position: armchair-armchair DWNT zigzag-armchair DWNT

39 ROTATIONAL MOTION: REDUCED DESCRIPTION rotation around the axis of the system: equations for their angular velocity: relative moment of inertia: kinetic energy of rotation: Langevin-type stochastic equation: friction torque fluctuating torque Langevin-type fluctuating torque: Gaussian white noise (|t  t’| >> t C ):

40 ROTATIONAL FRICTION IN CARBON NANOTUBES armchair-armchair DWNT mean angular velocity mean rotational kinetic energy autocorrelation function mean square displacement diffusion coefficient: relaxation time: armchair-armchair DWNT zigzag-armchair DWNT stochastic equation:

41 COUPLAGE ENTRE PROCESSUS DISSIPATIFS Equations de Langevin de processus couplés (L. Landau & E. Lifchitz, Physique statistique): relations de réciprocité d’Onsager: résultant de la microréversibilité, i.e., de la symétrie sous renversement du temps de la dynamique microscopique formule de Kirkwood pour calculer les coefficients de frottement à partir de la fonction d’autocorrélation des forces: K = énergie cinétique stationnaritécommutativitémicroréversibilité

42 COUPLAGE TRANSLATION-ROTATION Energie cinétique d’un mouvement de translation à la vitesse v couplé à un mouvement de rotation à la vitesse angulaire  Impulsions généralisées correspondantes: Equations de Langevin des processus couplés: force et couple de force fluctuants = bruits blancs gaussiens pour relation de réciprocité d’Onsager:

43 COUPLAGE TRANSLATION-ROTATION Couplage des mouvements de translation et de rotation: formules de Kirkwood pour les coefficients de frottement: Symétrie de parité: Le force F(t) est un vecteur; Le couple de force N(t) est un pseudo-vecteur. Système achiral (symétrie de parité): Système chiral (pas de symétrie de parité): est possible. (principe de Curie) Le coefficient de couplage ne peut être non-nul que si un des nanotubes est chiral.


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