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Le problème dEshelby ( Proc. R. Soc. Lond. A 241 (1957) 376 ) Champ de déformation pour une inclusion déformée homogènement ? F Déformations internes et.

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1 Le problème dEshelby ( Proc. R. Soc. Lond. A 241 (1957) 376 ) Champ de déformation pour une inclusion déformée homogènement ? F Déformations internes et externes supplémentaires, - à lévidence, les déformations externes sont non-uniformes puisque nulles à linfini

2 Recherche de la fonction de Green dans le cas délasticité anisotrope Les équations maîtresses

3 Cas de la ligne de force parallèle à y. Espace direct : le calcul de Stroh. On injecte dans non tous nuls, équation du sixième degré à coefficients réels Six conjugués deux à deux. On choisit On obtient : Phil. M. 3(1958) 625

4 Cas de la nappe de force parallèle à y. Espace réciproque : les modes propres On choisit On réécrit les équations maîtresses équations de conformité

5 On injecte les dans et les équations de conformité où la la loi de Hooke a été utilisée sous la forme suivante équation du sixième degré à coefficients réels non tous nuls

6 Quelques remarques à ce stade : 1)les contraintes et les déplacements décroissent à linfini : le cristal est un filtre passe-bas qui sélectionne le de plus petite partie imaginaire 2) les polarisations sont également sélectionnées par ce processus sauf cas pathologique où le mode de plus petit nest pas excité.

7 Les conditions limites. Cas du cristal infini. Deux façons décrire les conditions limites. Lune utile pour les calculs dans lespace direct Lautre utile pour les calculs dans lespace réciproque Cas du cristal semi-infini. On doit ajouter la condition sur la surface « libre »

8 A ce stade, on a calculé, dans le cas anisotrope, la fonction de Green pour des lignes de force dans lespace direct et pour des nappes de force dans lespace réciproque. Pour des objets plus compliqués, on utilise la méthode classique des fonctions de Green, i.e. intégrer le produit de la fonction de Green par la force. Avec les fonctions de Green de lespace direct, on peut traiter les fils enterrés de section quelconque. Avec les fonctions de Green de lespace réciproque, on peut traiter tous les objets enterrés. La restriction majeure reste sur la forme des interfaces. On a introduit celles-ci au moment du calcul de la fonction de Green, On ne sait pas traiter les interfaces non-plans, par exemple les fils non-enterrés.

9 On cherche des solutions du type qui satisfont les conditions limites. pour lespace direct pour lespace réciproque Dans le cas de lespace réciproque et pour le cristal semi-infini, on trouve Phys. Rev. 73(2006) Dans le même esprit Ting introduit des forces images Pour un calcul dans lespace direct Q. J. Mech. appl. Math. 45(1992) 119

10 Cas isotrope Cristal infini avec Cristal semi-infini avec forces à la surface Landau et Lifchitz, Théorie de lélastcité

11 Un peu de physique. 1) Eshelby a montré que dans le cas isotrope et pour le cristal infini, des déformations homogènes dans une inclusion ellipsoïdale conduisait à des déformations homogènes après relaxation. 2) Propriétés de symétrie des tenseurs de rang 2 Les tenseurs de rang 2 de symétrie cubique sont des scalaires. Une contrainte homogène de symétrie cubique est hydrostatique. 2bis) Une contrainte hydrostatique correspond à des forces extérieures normales à linterface et de module constant. 3) La fonction de Green enterrée dans le cristal semi-infini décroît avec la profondeur denterrement. 3bis) Le résultat dEshelby pour les inclusions ellipsoïdales, nest pas conservé pour les inclusions dans un cristal semi-infini.

12 Discussion Les approximations faites a)Elasticité linéaire b)Elasticité des milieux continus c)Même constantes élastiques pour linclusion et la matrice. Les questions 1)Validité de a) et de b) Comparaison entre simulations moléculaires et calcul analytique 2) Interactions entre objets ?

13 Elasticité linéaire des milieux continus Simulations atomistiques (dynamique moléculaure trempée) Cu crystal Déplacements F=1.0 Nm -1 x 200 Calcul des déplacements élastiques O/Cu(101) =0.5

14 =0.85 Elasticité linéaire anisotrope : comparaison entre ALE et AS, le cas N/Cu(001) U x * exp(z/16.5) x-28*z U z * exp(z/21.7) uzuz ALE AS uxux ALE AS

15 B. Croset et al., PR B 76 (2007) = /r 3 Elasticité linéaire anisotrope: rôle de lanisotropie, le cas des faces (001).

16 Théorème de la divergence Cas de systèmes biphasés avec contrainte de surface : les forces sont à la lisière Symétrie carrée ou ternaire Les parties de de divergence nulle ne contribuent pas à lénergie.

17 Cas anisotrope : deux approximations équivalentes pour les calculs énergétiques I] Pour des calculs dintégrales le long des lisières II] Pour des interactions entre quadripoles Cas du cuivre (très anisotrope 2C44/(C11-C12)=3.2). Approximation pour p=1 Calcul exact par TF Utilisation du théorème de la divergence pour des calculs dans lespace direct


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