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Remarque :Tu devrais visionner toutes les présentations sur la factorisation avant de visionner celle-ci. Simplification de fractions rationnelles.

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1 Remarque :Tu devrais visionner toutes les présentations sur la factorisation avant de visionner celle-ci. Simplification de fractions rationnelles

2 ( x + 2) ( x + 7) ( x + 4 ) X X Simplifier une fraction rationnelle, c’est la rendre irréductible. Il faut donc simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Exemple : x x + 8 x x + 28 ( x + 4) ( x + 2) ( x + 4) ( x + 7) Dans cette fraction, on retrouve un même facteur au numérateur et au dénominateur soit ( x + 4). On peut donc les simplifier : 1 1 = x + 2 x + 7 si x ≠ - 7 et - 4 x x + 8 x x + 28 = x + 2 x + 7 si x ≠ - 7 et - 4

3 Pour simplifier une fraction rationnelle : - on factorise les polynômes composant la fraction; - on détermine les restrictions; Remarque :On doit déterminer les restrictions immédiatement après la factorisation, car si on attend après la simplification, certains facteurs auront disparu et leur restriction aussi. - on simplifie les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. x x + 8 x x + 28 ( x + 4) ( x + 2) ( x + 4) ( x + 7) x ≠ - 7 et - 4 ( x + 2) ( x + 7) ( x + 4 ) X X 1 1 = x + 2 x + 7 x ≠ - 7

4 x x + 25 x si x ≠ - 5 et 5 ( x + 5) ( x - 5)( x + 5 ) 1 1 Simplifie les fractions rationnelles suivantes : x + 5 x - 5 = x x + 6 x 2 + 4x + 4 si x ≠ - 2 ( x + 3)( x + 2 ) 1 1 x + 3 x + 2 = x x + 10 x 2 + 8x + 12 si x ≠ - 2 et - 6 ( x + 2 )( x + 5) ( x + 2 )( x + 6) 1 1 x + 5 x + 6 =

5 Attention x x + 10 x 2 + 8x + 12 ( x + 2)( x + 5) ( x + 2)( x + 6) x + 5 x + 6 = Ici, ( x + 2) est un facteur, car il est associé aux autres binômes par multiplication. On peut donc les simplifier. X X x + 5 x + 6 Ici, on ne peut pas simplifier les x, car ils sont les termes de deux binômes différents. Ils sont unis au nombre par addition. + + = x + 5 x + 6 x + 5 x Ici, on ne peut pas simplifier les x. est un facteur. est un terme du binôme; il est uni au nombre par addition.

6 2 (2 + 5) = 7 2 (2 + 6) = 7 8 Vérifions numériquement ( x + 2)( x + 5) ( x + 2)( x + 6) x + 5 x + 6 = Pour x = 2 (2 + 5) (2 + 2) (2 + 6) (2 + 2) = X 4 8 X 4 = 7 8 = ≠ ≠ 7 2 Pour x = 2 = ( x + 5) ( x + 6) ( x + 5) ( x + 6) ( x + 5) x = x Avant de simplifier, il faut s’assurer que les expressions soient des facteurs. (2 + 5) (2 + 6) = (2 + 5) = 2

7 Simplifie les fractions rationnelles suivantes : 2 x x 2x2x si x ≠ 0 2 x ( x + 2) 2x2x x + 2 = 2 x x - 4 = = 2 ( x 2 - 1) 4 ( x – 1) = = si x ≠ 1 2 ( x – 1) ( x + 1) 2 X 2 ( x – 1) x x x + 9 x + 3 == ( x + 3) x + 3 si x ≠ - 3 x + 9 x ne se factorise pas et ne se simplifie pas.

8 ( x 2 – 3) ( x 2 + 3) ( x 2 + 3) 4 x x x Simplifie les fractions rationnelles suivantes. (2 x + 3) (2 x - 3) = (2 x + 3) (2 x - 3) = x x = = x Ici, les restrictions sont inutiles, car peu importe les valeurs données à x, le binôme ne sera jamais égale à 0. x2x2 x 2 – x y = x ≠ 0 et x – y ≠ 0, x ≠ y x2x2 x ( x – y) = x x – y donc x ≠ et si x ≠ 0 et x ≠ y

9 La simplification est souvent le point de départ lorsqu’on additionne, soustrait, multiplie ou divise des fractions rationnelles.


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