Théorie algébrique des nombres

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1 Théorie algébrique des nombres
TAI Nombres et structures Anthony Branca Clément Garnier Antoine Llorca Sébastien Masurel

2 Grand théorème de Fermat
Définition Les nombres algébriques L’anneau de Dedekind La fonction zêta

3 Des entiers aux polynômes
Fermat conjecture qu’il n’y a pas de solution à l’équation xn + yn = zn pour n ≥ 3 avec x, y, z entiers triviaux . En 1994, Andrew Wiles la démontre. Elle deviendra alors théorème de Fermat-Wiles. q(x) ≡ r(x) mod p(x)  p(x) divise (q(x) – r(x))

4 Des entiers aux polynômes
Démonstration: - Soit q(x), p(x) et r(x) tel que q(x) ≡r(x)mod p(x). La division euclidienne de q(x) par p(x) est donc q(x)=p(x)*s(x)+r(x) avec s(x) quotient de la division. Alors q(x)-r(x)=p(x)*s(x) et donc p(x) divise (q(x)-r(x)) Soit q(x), p(x) et r(x) tel que on a  p(x) divise (q(x)-r(x)). Il existe donc s(x) tels que q(x)-r(x)=p(x)*s(x) . On a alors : q(x)=p(x)*s(x)+r(x) et donc q(x) ≡r(x)mod p(x). -Donc q(x) ≡ r(x) mod p(x)  p(x) divise (q(x) – r(x))

5 Des polynômes aux nombres idéaux
Racines p-ièmes de l’unité démonstration : xp + yp = ? ei2π = 1 αn la racine n-ième de 1 dans ℂ αn = (ei2π)1/n = ei2π/n Avec la formule d’Euler αn = cos(2 / n) + isin(2 / n) Tout les α sont des puissances de l’une d’entre elles Si p est premier, toute racine p-ième sauf 1 est racine primitive

6 Des polynômes aux nombres idéaux
Kummer veut démontrer xp + yp en facteur premiers ou p est premier xp + yp = (x + y)(x + y) … (x + p-1y) Etudes des « entiers complexes » a0 + a1 + a22 + a33 + … + ap-1p-1 Kummer dit décomposition en facteur premier est unique Preuve réfuter par Cauchy pour p=23

7 Annexes Quelques scripts Python Programme en C La suite de Fibonacci
Les nombres premiers Factorisation d’un entier en facteurs premiers Les nombres de Smith Approximation de la racine carrée d’un réel Programme en C Résolution d’équation du quatrième degré