Ordre dans l’ensemble ℝ

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1 Ordre dans l’ensemble ℝ

2 Activité : Sur la droite réel on choisit un repaire 𝑶,𝑰 , le point O est l’origine ,le point I est tel que 𝑶𝑰=𝟏 (c’est l’unité ) le sens positif est de O vers I .ainsi on définit la droite réelle ou (axe réel ) Dire que le point A d’abscisse a est avant le point B d’abscisse b quand on parcourt l’axe des réels dans le sens positifs signifie que a est inferieur à b

3 DÉFINITION : Soient a ; b deux nombres réels 𝒂<𝒃 signifie que a est strictement inferieur à b ; b-a est alors strictement positif 𝒂≤𝒃 ce lit a inferieur ou égale à b et signifie que (𝒂<𝒃 𝒐𝒖 𝒂=𝒃)

4 Comparaison de deux nombres
Un nombre négatif est toujours inferieur à un nombre positif Pour comparer deux nombres négatifs il suffit de comparer leurs opposées

5 PROPRIÉTÉS Propriété 1 Si (𝒂≤𝒃 𝒆𝒕 𝒃≤𝒄) 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 (𝒂≤𝒄)
a ,b , c et d trois nombres réels : Si 𝒂≤𝒃 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 (𝒂+𝒄≤𝒃+𝒄) Si 𝒂≤𝒃 𝒆𝒕 𝒄≤𝒅 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒂+𝒄≤𝒄+𝒅

6 Propriété 2 a , b et c trois nombres réels
Si 𝒂≤𝒃 𝒆𝒕 𝒄>𝟎 ) 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔( 𝒂×𝒄≤𝒃×𝒅 ) 𝒆𝒕 𝒒𝒖𝒆:( 𝒂 𝒄 ≤ 𝒃 𝒄 ) Si 𝒂≤𝒃 𝒆𝒕 𝒄<𝟎 ) 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔( 𝒂×𝒄≥𝒃×𝒅 ) 𝒆𝒕 𝒒𝒖𝒆:( 𝒂 𝒄 ≥ 𝒃 𝒄 )

7 Conséquences : Si 𝟎≤𝒂≤𝒃 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 ( 𝒂 𝟐 ≤ 𝒃 𝟐 𝒆𝒕 𝒂 ≤ 𝒃 )
a , b et c trois nombres réels Si 𝟎≤𝒂≤𝒃 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 ( 𝒂 𝟐 ≤ 𝒃 𝟐 𝒆𝒕 𝒂 ≤ 𝒃 )

8 Représentation sur la droite réelle
Intervalles Soient a ,b deux nombres réels ensemble notation Représentation sur la droite réelle 𝒂≤𝒙≤𝒃 𝒂,𝒃 𝒂≤𝒙<𝒃 𝒂<𝒙≤𝒃 𝒂<𝒙<𝒃 𝒙≥𝒂 𝒂,+∞ 𝒙>𝒂 𝒙≤𝒂 −∞,𝒂 𝒙<𝒂

9 Valeur absolue d’un nombre réel
Définition Soit 𝑫(𝑶,𝑰) une droite graduée On appel valeur absolue de a, note 𝒂 , c’est la distance entre O et M(a)

10 Remarque : Si a≥0 alors 𝒂 =a Si a≤0 alors 𝒂 =-a

11 Propriété 1: x et y deux nombre réels
𝒙 ≥𝟎 , 𝒙 ≥𝒙 , 𝒙 ≥−𝒙 , 𝒙 = −𝒙 𝒆𝒕 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒙 =𝟎 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à 𝒙=𝟎, 𝒙 = 𝒚 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à (𝒙=𝒚 𝒐𝒖 𝒙=−𝒚)

12 a et b deux nombre réels On a : 𝒂×𝒃 = 𝒂 × 𝒃 et 𝒂+𝒃 ≤ 𝒂 + 𝒃
Propriété 2 a et b deux nombre réels On a : 𝒂×𝒃 = 𝒂 × 𝒃 et 𝒂+𝒃 ≤ 𝒂 + 𝒃 Propriété 3 Pour tout a, b deux nombres réels et pour 𝒓𝝐 ℝ + on a : 𝒙−𝒂 ≤𝒓 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à 𝒂−𝒓≤𝒙≤𝒂+𝒓 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à 𝒓𝝐 𝒂−𝒓,𝒂+𝒓 𝒙−𝒂 <𝒓 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à 𝒂−𝒓<𝒙<𝒂+𝒓 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à 𝒓𝝐 𝒂−𝒓,𝒂+𝒓 𝒙−𝒂 ≥𝒓 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à 𝒂−𝒓≤𝒙 𝒐𝒖 𝒙𝒂+𝒓 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à 𝒙𝝐 −∞,𝒂−𝒓 ∪ 𝒂+𝒓,+∞