La Magie du Calcul Gérard H. E. Duchamp (Université Paris XIII) Equipe AAA le 08 juin 2006.

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1 La Magie du Calcul Gérard H. E. Duchamp (Université Paris XIII) Equipe AAA le 08 juin 2006

2 Mathematics AbstractApplied Physics Computer Science Electronics Mechatronics Adaptronics Artificial Intelligence Chaos Theory Continuous & Discrete Modelisation Business Banking Decision Making Complex Systems Complexity Computation Techniques Image Processing

3 InformatiquePhysiqueSystèmes Complexes Structures de données Systèmes de transition Mutations d’automates et application Systèmes dissipatifs Formule exponentielle Mécanique quantique Etats cohérents

4 Calcul S ymbolique Informatique Combinatoire Physique

5 Problématique du Calcul Symbolique Organisation Complexité Performance Évaluation Décision Calcul NumériqueExact, Symbolique, Formel Combinatoire

6 Calcul Symbolique Informatique Combinatoire Physique Automates Systèmes de calcul Applications : Systèmes Complexes, Multi-agents, Finance MuPAD Schur Représentations caractères Comb. des opérateurs Fonctions spéciales

7 Mathématiques InformatiquePhysique Non commutatif Mots Produits d’opérateurs Représentations Automates Structures de Transition Champs, Flots, Systèmes Dynamiques Formules, Algèbre Universelle Arbres avec Opérateurs Diagrammes Déformations q-analogues Groupes quantiques Combinatoire & C. S. S y s t è m e s C o m p l e x e s

8 Langages Théorie des codes Automates Structures de transition Grammaires Transducteurs Expressions rationnelles et algébriques … Polyominos Chemins (Dycks,…) Configurations q-grammaires Séries génératrices Fractions continues multivariées Polynômes orthogonaux … C o m b i n a t o i r e … des mots algébrique énumérative analytique Fractions continues non commutatives Représentations des groupes et déformations Groupes quantiques Foncteurs combinatoires Caractères Fonctions spéciales …

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11 Ici le nombre de mots par longueur est Long. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ac=ca 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 17711 ac  ca 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

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13 e

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15 Exemple avec  = a + a a + a a + où a a + = a + a + + 1 a + a a + a a +

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18 a + aa + aa + = 1 a + a + a + aa + 3 a + a + a + 1 a +

19 Chemins de Dyck (parenthésages, arbres, physique, …) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) )

20 Equation : D = vide + (D) D … on compte les «mots» avec un « x » par parenthèse et on trouve T(x)=x 0 + x 2 T 2 (x) ce qui se résout par la méthode usuelle … x 2 T 2 –T+1=0 Variable : T Paramètre : x

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22 Automates et rationalité

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24 Changement de niveau en physique Positifs = D(aD) * 2 0 1

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26 Mathématiques Informatique Physique Non commutatif Mots Produits d’opérateurs Représentations Automates Structures de Transition Champs, Flots, Systèmes Dynamiques Formules, Algèbre Universelle Arbres avec Opérateurs Diagrammes Déformations q-analogues Groupes quantiques Combinatoire & C. S. Conclusion S y s t è m e s C o m p l e x e s

27 Mathematics AbstractApplied Physics Computer Science Electronics Mechatronics Adaptronics Artificial Intelligence Chaos Theory Continuous & Discrete Modelisation Business Banking Decision Making Complex Systems Complexity Computation Techniques Image Processing