Polynôme d’avalanche A. Micheli Dominique Rossin.

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1 Polynôme d’avalanche A. Micheli Dominique Rossin

2 Modèle du Tas de Sable  Sommet stable n < degre  Sommet instable n >= degre  Eboulement de 3  Configuration stable 2 30 2 3 3 0 0 0 22

3 Configurations récurrentes 0 0 00 0 10 1 01 0 01 1 10 1 11 0 11 1 0

4 Avalanche principale  Ajout d’un grain  Pas d’éboulements  2 éboulements 0123 0 1 1 +1 1 1 1 1 0 1 20 2 01 0 1 1 0 2 1 1 0 21 1 0 2

5 Polynôme d’avalanche  Toutes les avalanches principales pour toutes les configurations récurrentes 0 1 11 0 11 1 01 1 1

6 Tas de Sable sur les graphes complets  Configuration récurrente On revient à la même configuration On revient à la même configuration 33 01 4 2 4 1 11 3404 2233 10

7 Fonction de Parking 1 01234 2003

8 Enumeration 0 1 2 3 4 5 5 5 5 55

9 Avalanche  Ajout d’un grain  Éboulement Taille = 2 Taille = 2  Série génératrice ? 33 10 440 12 10 32

10 Chemin de Dyck  (5,4,4,3,1,1)  (1,3,1,4,4,5) 5 44 3 11

11 Série génératrice d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 2L 2n Nombre d’avalanches de taille m

12 Bijection

13 Polynôme d’avalanche des arbres 4 7 8 7 8 8 988 10 1 7 8 3 4 7 8

14 Non unicité 4 7 8 7 8 8 988 10 8 4 7 9 7 8 8 8888

15 Problème inverse  (0,4,7,7,8,8,8,8,8,8,9,10) 4 7 8 7 8 8 988 10 8 NP-complet

16 Idée de la preuve  Réduction de 3-PARTITION Problème: Problème: Un entier C, 3N nombres a i < C :Un entier C, 3N nombres a i < C : 9 ? partition des nombres en N paquets de 3 dont la somme fasse C ? 9 ? partition des nombres en N paquets de 3 dont la somme fasse C ?

17 0 C+1 C+1+  1 C+1+  1 C+1+  1 C+  1 +2 C+  1 +2 C+  1 +2  1 -1 0, C+1 ( £ N), C+1+a i, C+2+a i ( £ a i -1) ) a i ! a i,, C ! C

18  C+1  C+  1 +2  C+1+ a k  C+1+ a l  C+1/2+ a k t fils -( C+  1 +2- C+1/2+ a k) = (a k -  1 ) - 0/1 1+t  t fils (  1 –a t )  K = 2 + t – 0/1

19 Série génératrice  T(t,q) =  p ¸ 0 T p (q) t p =  p ¸ 0  T 2 Arbre, |T| = p Av_T(q) t^p =  p ¸ 0  T 2 Arbre, |T| = p Av_T(q) t^p  T(t,1) =  p ¸ 0 p C p t p T p+1 (q) =  k=0 p C k C p-k q k+1 + C p-k q k+1 T k (q)+C k T p-k (q)

20 Équation fonctionelle

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