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1 Le calcul mental au cycle 3. 2 Définition Le calcul mental est un calcul numérique qui ne fait pas appel aux intermédiaires écrits: aucun support nintervient.

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1 1 Le calcul mental au cycle 3

2 2 Définition Le calcul mental est un calcul numérique qui ne fait pas appel aux intermédiaires écrits: aucun support nintervient entre lénoncé et la production du résultat. De plus, lénoncé est une situation numérique pure, non habillée sous la forme dun énoncé de problème.

3 3 CALCUL MENTAL Calcul automatisé ? Calcul réfléchi ? Calcul approché ? Calcul instrumenté ? Le travail sur le calcul approché commence au cycle 3. Le calcul instrumenté doit faire lobjet dune utilisation raisonnée et ne doit pas masquer des situations pouvant être résolues par le calcul mental. Les compétences en calcul mental (résultats mémorisés,calcul réfléchi exact ou approché) sont à développer en priorité.

4 4 Modalités de présentation ÉnoncéCalculRésultat Écrit Oral Calcul mental Avec ou non un support visuel (bande numérique, graduation, tableau de nombres,…) Avec ou non lécriture de résultats intermédiaires Écrit Frappé au clavier Oral

5 5 Plan - Raisons pour lesquelles le calcul mental est une priorité. -Distinction entre le calcul automatisé, automatisme et le calcul réfléchi. -Une progression - Pistes de travail pour ces deux types de calcul.

6 6 Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi (1)

7 7 Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi (2)

8 8 Distinction entre 2 procédures de calcul -Procédure automatisée faible adaptabilité - Automatisme procédure productrice dapprentissage

9 9 2 formes de calcul mental Le calcul automatisé Le calcul réfléchi

10 10 Un exemple de calcul Pour effectuer Les procédures possibles -Simulation mentale de lalgorithme écrit (lélève pose dans sa tête lopération en colonne) -Utilisation de la décomposition additive canonique de lun ou des deux termes 45+17= =55+7= = = 50+12= 62 -Utilisation dune décomposition additive de lun des deux termes sappuyant sur un passage à une dizaine supérieure 45+17= =50+12=62 ou =60+2=62 ou = Utilisation dune décomposition soustractive de lun des deux termes = 65-3= 62 - Etc…..

11 11 ObjectifsDuréeDispositifCommentaires Calcul automatisé : entretenir ou contrôler la mémorisation de résultats et l automatisation de procédures. 5 à 10 minutes Classe entière Consigne orale Réponse écrite ou choisie parmi des propositions Débuter par une activité facile, rituelle pour focaliser lattention. Procédé Lamartinière avec correction immédiate ou différée Dans ce type de séance, la rapidité est de mise car, lobjectif est de maîtriser un répertoire avec sûreté. Calcul réfléchi : concevoir des méthodes et comparer leur efficacité. 15 à 30 minutes Classe entière ou par petits groupes Pour chaque question, laisser un temps de recherche aux élèves Exposé des procédures, discussion, justification Liberté est laissée à lélève de choisir sa procédure Des situations de jeux, stratégiques ou non, utilisant des dés, dominos, cartes et mettant en jeu des décompositions numériques ou des calculs simples fournissent des occasions de rappel des résultats arithmétiques ou matière à calculs. Dans tous les cas les questions peuvent porter directement sur les nombres ou être situées dans la résolution de « petits problèmes ». Une pratique régulière de calcul mental permet de familiariser les élèves avec les nombres et dapprocher certaines propriétés des opérations et aussi damener lélève à mettre en œuvre des procédures économiques.

12 12 Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à lécole élémentaire et faire lobjet dune pratique régulière dès le cycle 2. Au cycle 3 : les compétences en calcul mental résultats mémorisés, calcul réfléchi exact ou approché sont à développer en priorité.

13 13 Une pratique régulière de calcul mental : un moyen pour améliorer les performances des élèves dans la résolution de problèmes Amélioration des habiletés calculatoires: plus de rapidité dans la reconnaissance de lopération en jeu dans des problèmes familiers (additifs ou multiplicatifs simples) Exemples: le problème de lautobus L énoncé : Dans un autobus, il y a n (28)voyageurs, à un arrêt, a (15) voyageurs montent et b (17) descendent. Combien y-a-t-il de voyageurs dans l autobus quand il repart ? Les variables : – Les termes « montent » et « descendent » peuvent être permutés – a peut être supérieur à b – etc. Prise de sens lors de la résolution de problèmes: allègement des tâches de calcul Installation dautomatismes de calcul (schémas de problèmes en mémoire et procédures de résolution associées) Mémoire organisée grâce à une certaine catégorisation et à un recours de problèmes prototypiques représentatifs de chaque catégorie. Mobilisation à bon escient du modèle le plus adapté pour résoudre le problème.

14 14 Des situations daccompagnement de la pratique du calcul mental au cycle 3 avec des nombres purs avec un support

15 15 Exemples dactivités avec des nombres purs Calcul automatisé

16 16 Un exemple de progression Domaine de laddition et de la soustraction Maîtriser le répertoire additif (tables daddition: somme de deux nombres entiers inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associées). Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers… Calculer les compléments correspondants. Exemples : à rapprocher de à rapprocher de 15 centaines moins 7 centaines

17 17 Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type: Exemples : – pour aller à – pour aller à 2037

18 18 Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur à 10) dunités, de dizaines, de centaines…à un nombre quelconque (avec et sans retenue). Exemples : … Calculer les compléments dun nombre à la dizaine supérieure. Calculer les compléments à 100 et à la centaine supérieure pour des nombres entiers dont le chiffre des unités est 0. Exemples : de 430 à 500 de 2430 à 2500…

19 19 Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou de multiples de 250 inférieurs à Exemples : Savoir que 75 = ou 1000 – 750 = 250 Calculer certaines sommes de deux décimaux (avec un chiffre après la virgule), en particulier ajouter un entier et un décimal. Exemples : ,7 ou 0,3 + 0,5 ou 0,8 – 0,2 2,5 + 0,5…3,7 + 0,6 fin de cycle

20 20 Décomposer un nombre décimal en utilisant lentier immédiatement inférieur. Calculer les compléments à lunité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule. Connaître quelques relations entre certains nombres entiers et décimaux. Exemple : 2,5 = 2 + 0,5 2,5 + 2,5 = 5 1,5 + 1,5 = 3…

21 21 Ajouter ou soustraire des nombres entiers ronds. Exemple : Utiliser la proximité avec les dizaines ou les centaines entières, proposer des calculs avec 9, 19, 11, 21, 8, 18, 12, 22, 99, 101, 198… Calculer des sommes de plusieurs entiers en regroupant des termes « qui vont bien ensemble ». Exemple : Calculer des sommes et des différences de nombres décimaux simples. Conforter la compréhension de la valeur des chiffres en fonction de leur position.

22 22 Calculer le complément dun nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule au nombre entier immédiatement supérieur. Compétence liée à la connaissance des compléments à 100 des nombres entiers à deux chiffres Évaluer un ordre de grandeur en utilisant un calcul approché: sommes de deux ou plusieurs nombres entiers ou décimaux, différences de deux nombres entiers ou décimaux. Repérer le nombre « rond » le plus proche.

23 23 Domaine de la multiplication et de la division Maîtriser le répertoire multiplicatif (tables): produits de deux nombres inférieurs à 10, recherche dun facteur, quotients et décompositions associés. Essentiel: répertoire à stabiliser, éviter la répétition mécanique des tables (obstacle à la mobilisation rapide dun résultat), repérer des régularités ou des particularités sur la table de Pythagore… 8 X 6 =…. Combien de fois 8 dans 48 ? Diviser 48 par 6 48 = …x…

24 24 Utiliser la connaissance des tables pour répondre à des questions du type: - Combien de fois 8 dans 50 ? - Diviser 50 par 8. Donner une réponse approchée. Situer un nombre entre deux résultats dune table de multiplication. Exemple : Encadrer 29 entre 2 multiples de 7 4 x 7 et 5 x 7

25 25 Multiplier et diviser par 10, 100, 1000, les nombres entiers. Exemples : Compétence à mettre en relation avec le système de numération chiffrée: Multiplier 34 par 10 revient à chercher une autre écriture de 34 dizaines Diviser 340 par 10 revient à chercher combien il y a de dizaines dans 340

26 26 Calculer des produits du type 30 X 4, 400 X 8, 20 X 30… et les quotients correspondants. Connaître et utiliser les relations entre des nombres «repères »: 100, 1000, 60 et leurs diviseurs. Exemple : Mémoriser que 25 est le quart de 100, la moitié de 50, le tiers de 75 Ces relations sont liées à lutilisation des expressions «moitié, double, quart, quadruple, tiers, triple» Multiplier et diviser par 10, 100 dans lensemble des nombres décimaux.

27 27 Connaître les relations entre certains nombres décimaux comme 0,25-0,5-0,75 et 1 ou 2,5-5-7,5 et 10. Calculer les doubles, moitiés des nombres entiers inférieurs à100 (résultats entiers) ou de nombres plus grands lorsque le calcul reste simple. Calculer les quadruples, quarts des nombres entiers inférieurs à 100 (résultats entiers) ou de nombres plus grands lorsque le calcul reste simple. Exemples : Moitié de 240, 360, 900 Quart de 120 ou 600 En fin de C3: moitié des nombres impairs (2 chiffres) et double de nombres comme 7,5…45,5

28 28 Multiplier et diviser par 5, par 20, par 50. Il peut être intéressant de considérer dans certains calculs 5 comme la moitié de 10… Multiplier un nombre par des nombres comme 11, 19, 9, 19, 21, 15, 25… multiples procédures Décomposer un nombre sous forme de produits de 2 ou plusieurs facteurs. Connaissance des tables et plus 64 = 8 x 8 mais aussi 32 x 2, 16 x 4… Calculer mentalement un quotient et un reste entiers dans des cas de division dun nombre entier par un nombre entier. Exemple : Les élèves doivent, par exemple, être capables deffectuer mentalement la division de 230 par 7, en décomposant 230 en ou en

29 29 Exemples dactivités avec support Calcul automatisé (avec traces écrites)

30 30 Numération et calcul Les grilles de loto. Les nombres sont choisis en fonction du niveau. Les nombres sont dictés par le maître ou un élève Plusieurs activités sont envisageables avec les grilles de loto Lotos additifs et multiplicatifs Nombres donnés sous la forme de décompositions (ex : ) ( ) Écritures équivalentes (50 = 25x2 = 100/2 = 10x5 = …) Variantes: compléter avec le prédécesseur ou successeur des nombres inscrits (les cases seront blanches et non plus grisées)

31 31 Connaître les nombres Jeu : qui a ? Doubles et moitiés Jai 16.Jai 14Jai 10.Jai 60.Jai 20.Jai 15.Jai 150. Jai 4.Jai 7. Jai 24. Jai 40.Jai 3.Jai 50.Jai 25.Jai 300. Jai 30.Jai 2.Jai 8.Jai 22.Jai 9.Jai 200.Jai 600.Jai 400. Qui a le double de 7 ? Qui a le double de 8 ? Qui a le double de 150 ? Qui a la moitié de 800 ? Qui a le double de 3 ? Qui a la moitié de 400 ? Qui a le double de 10 ? Qui a le double de 15 ? Qui a la moitié de 14 ? Qui a le double de 5 ? Qui a la moitié de 12 ? Qui a le double de 2 ? Qui a le double de 11 ? Qui a le double de 20 ? Qui a le double de 300 ? Qui a le double de 12 ? Qui a la moitié de 4 ? Qui a la moitié de 16 ? Qui a la moitié de 18 ? Qui a le double de 30 ? Qui a la moitié de 6 ? Qui a le double de 100 ? Qui a le double de 25 ? Qui a la moitié de 600 ? Qui a la moitié de 50 ? Qui a la moitié de 800 ? Qui a la moitié de 300 ? Qui a la moitié de 30 ? Autres activités possibles - Nombre suivant et précédent Qui a le nombre après 799 3,9 - Multiplier ou diviser par ,1 0,01 0,001 - Nombre de dizaines, de centaines Qui a 5 centaines, 20 dizaines … -Tables daddition, de multiplication 6x8 7X9

32 32 La suite de nombres En ligne En rouleaux ,17,5 4, ,12 17,5

33 ,3 4,39 AvantAprès

34 34 Les furets individuels Chaque élève doit compléter dans un temps court le tableau qui lui est proposé. (Variation des opérateurs: je compte de …en ….ou bien je multiplie par…..) 2,5 5 7,510 12, 15 Début Fin Variante: Les furets individuels avec « chut » tenir compte des cases « chut » quil ne doit pas compléter (case cachée). Possibilité de jouer sur la difficulté en plaçant 2 ou 3 cases « chut » à suivre.

35 35 Les nombres à placer

36 36 Tables à compléter x x

37 37 Décompositions dun nombre Choisir un nombre au tableau et demander de chercher toutes les décompositions possibles

38 38 Exemples dactivités avec support Calcul réfléchi

39 39 Les cascades Additives, soustractives Multiplicatives Remarque : le dernier produit peut être vérifié à la calculatrice

40 40

41 41 Suites et règles Ajouter Multiplier par 2 et retrancher Diviser par 2 et ajouter

42 42 Les carrés magiques Additifs Les nombres de 1 à 16 ne sont utilisés quune fois. La somme de chaque ligne, chaque colonne, chaque diagonale = Multiplicatifs Attention : le nombre utilisé doit être correct pour le produit vertical et horizontal.

43 43 Les carrés de nombres Règle : former des carrés de somme 10 (avec des décimaux) Règle : former des carrés de somme 100

44 44 Opérateurs ? ? ? 6 + ? ? 360 ? ? ? ? ? 6 On se déplace sur le quadrillage selon les opérateurs indiqués. Trouver les nombres qui vont occuper les cases marquées [?]

45 45 Multiples et fractions Exemples Le double Le triple X 100 La moitié Le tiers Le centième Principe : les élèves possèdent une grille avec la colonne de gauche remplie. Régulièrement, le maître propose de nouveaux nombres à chercher. On peut demander une écriture fractionnaire ou décimale. (Ex pour 9 : la moitié = 9/2 = 4,5)

46 46 Le compte est bon Jeu de calcul mental par excellence associant les quatre opérations - Dans un premier temps, le maître choisit des nombres qui donneront le résultat juste. Exemple: On peut ensuite fabriquer des cartes que lon sort par tirage pour favoriser le caractère aléatoire des calculs. Exemple de tirages

47 47 Le bon compte Utiliser les signes + - x : et les parenthèses pour obtenir le résultat. Exemple : (5 + 5) – (5 : 5) = = = = = = 120 Variantes : On donne le cadre et il faut trouver le résultat Ex : [( ?- ? ) x ? ] + ? = 31 Avec une série de nombres On donne le cadre et il faut trouver le plus grand nombre On ne pose pas dopération

48 48 Dictée de calcul Voici un nombre : 307 A ce nombre ajoutez deux centaines, puis ajoutez mille, puis ajoutez cinq centaines. Écrivez le nombre qui suit celui que vous avez obtenu. Les élèves peuvent éventuellement noter les résultats intermédiaires, seul le résultat final est exigé. Voici un nombre : 495 Enlevez à ce nombre trois dizaines, puis ajoutez quatre centaines, puis ajoutez trois milliers. Écrivez le nombre qui précède celui que vous avez obtenu. Mon nombre a - Un dixième de plus que trois virgule huit. - Un centième de moins que trois virgule soixante huit

49 49 Un résultat peut en cacher un autre Le maître affiche au tableau : 3 x 37 = 111 Comment trouver ? 6 x 37 ? 30 x 37 ? 3 x 370 ? 9 x 37 ? 12 x 37 ? 300 x 37 ? Connaissant 4 x 12 = 48 Calcule 40 x 12 = 16 x 12 = 12 x 12 = 24 x 12 = 400 x 12 = 4 x 1200 = 4 x 120 = 4 x 24 = 4 x 36 = 40 x 120 =

50 50 Les problèmes lus par le maître Le trésor est caché dans l'une des trois tours. A toi de trouver le bon chemin en évaluant les opérations qui barrent le passage entre les salles : tu ne peux passer que si le résultat est juste.

51 51 Une consigne : on ne pose pas dopération Mais on peut éventuellement dessiner, schématiser… Tu as 100 euros. Dans une vitrine, il y a un jean à 49 euros, des baskets à 38 euros et une casquette à 9 euros. Peux-tu acheter les trois ? Tu veux acheter des tickets pour faire des tours de manège. Tu as 5 euros et les tickets coûtent : 1 euro le ticket, 2 euros les 3 tickets. Combien peux-tu acheter de tickets ? Le périmètre dun terrain rectangulaire mesure 100 m. Le plus petit côté de ce terrain mesure 15 m. Quelle est la longueur du grand côté ?

52 52 Problème de recherche Toutes les parcelles sont carrées. Trouver la dimension des côtés, ainsi que la dimension du cadre extérieur.

53 ,42,4 x 35 – 0, ,4 x 88 x 0,6 2,4 x 21,2 x 45 – 1,20,8 x 54,2 + 0,64 x 8 Colorie tout ce qui fait 4,8 Ecritures

54 54 Valeurs approchées Calcule le résultat le plus approché

55 55 Valeur approchée et calculatrice 1- Colorie - En rouge lorsque le résultat a trop de chiffres - En jaune lorsquil na pas assez de chiffres - En bleu lorsque le dernier chiffre est impossible 2- Colorie en vert le bon résultat et vérifie avec ta calculatrice – – –

56 56 Pour résumer: les points dappui pour la mémorisation Addition : différents points dappui que lenseignant doit aider à mettre en place : utilisation de la suite numérique, par surcomptage (1en 1, …10 en 10…); appui sur les doubles connus : 5 + 4, cest 1 de plus que ; utilisation de la commutativité de laddition : cest comme ; utilisation du passage par la dizaine : pour calculer 8 + 5, on « complète à dix » on ajoute dabord 2 à 8 puis 3 à 10 (ce qui suppose de connaître les compléments à 10 et les décompositions additives des nombres inférieurs à 10).

57 57 Multiplication : viser, avant la fin du cycle 3, une mémorisation totale des produits des tables et leur utilisation pour répondre à des questions du type « combien de fois 7 dans 56 ? », « 56 divisé par 7 ? » ou « décomposer 56 sous forme de produits de 2 nombres inférieurs à 10 ». On peut citer lappui : sur les résultats rapidement connus des tables de 2 et de 5 sur le comptage de n en n pour retrouver un résultat à partir dun résultat mémorisé sur la connaissance des carrés, souvent bien maîtrisés sur la commutativité de la multiplication sur le fait que multiplier par 4, cest doubler deux fois ou que multiplier par 6 revient à tripler, puis doubler (7X6 cest 7X3X2)

58 58 Réfléchir au moment du calcul mental dans lemploi du temps……….

59 59 Références : bibliographie,sites « Le calcul mental à lécole »: une programmation des activités Site de Jean-Luc Bregeon C2 et C3 Mission départementale « Mathématiques » Dossier Calcul mental à lécole primaire Mars 2008 Fort en calcul mental ! Connaissances et stratégies pour réussir Christophe Bolsius – Sceren – CRDP Lorraine (Août 2008) Ermel (Apprentissages mathématiques à lécole élémentaire)


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