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Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre 2003 1/40 Contribution à la commande et au diagnostic.

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1 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro- différentiels linéaires B. Marx sous la direction de D. Georges et D. Koenig Laboratoire dAutomatique de Grenoble UMR CNRS-UJF-INPG B.P. 46, Saint Martin dHères, France

2 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Introduction aux systèmes singuliers Placement optimal de capteurs et d'actionneurs Diagnostic robuste de défauts Commande multicritère et commande tolérante aux défauts Conclusion & Publications Syst. Sing. Introduction Conclusion Diag. Robuste Plac t Opt. CA Commande Plan de la présentation

3 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Définition des Systèmes singuliers Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.) relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.) On a donc un modèle du type : après linéarisation, le modèle devient : avec on peut supposer Diag. Robuste

4 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Formes équivalentes Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande pour P et Q non singulières on a : Forme équivalente standard : Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières : sous-syst. usuel sous -syst. non propre dynamique statique Diag. Robuste

5 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Réponse temporelle Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Réponse temporelle régularité unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x 0 données det(sE-A) 0 système non impulsif admet une représentation usuelle a une fonction de transfert propre N=0, dans la forme équivalente standard A 22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E sous-syst. usuel sous syst. non propre Diag. Robuste

6 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Intérêts des systèmes singuliers Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande signification physique des variables combinaison de relations dynamiques et statiques systèmes rectangulaires systèmes interconnectés systèmes impulsifs mauvais conditionnement de E -1 A, pour E inversible Diag. Robuste

7 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Commandabilité des syst. singuliers Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande (E,A,B) commandable sous-syst. usuel commandable sous-syst. non propre commandable K tel que les pôles finis de (E,A+BK) soient arbitrairement placés K tel que (E,A+BK) soit non impulsif (E,A,B) Imp- commandable Diag. Robuste (E,A,C) observable sous-syst. usuel observable sous-syst. non propre observable L tel que les pôles finis de (E,A+LC) soient arbitrairement placés L tel que (E,A+LC) soit non impulsif (E,A,C) Imp- observable

8 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 État du système (E,A,B) R-commandable et Imp-commandable Exemple Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Circuit RLC parallèle : à t=1, on applique v=1 V décrit par la forme singulière v(t) C R L i 1 (t) i 2 (t) x(t), avec retour d'état normalisant (E,A,C) R-observable et Imp-observable Éstimée de x(t), avec retour d'état observé de fonction de transfert Diag. Robuste

9 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Placement optimal de capteurs/actionneurs Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Problème : quelles grandeurs mesurer ? sur quelles grandeurs agir ? Méthodes (pour systèmes usuels) : assurer l'observabilité / la commandabilité minimiser une erreur d'estimation / un coût de commande pour un type d'observateur / correcteur donné performances en boucle fermée (norme H,…) maximiser les transferts d'énergie Diag. Robuste

10 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Principe et avantages des méthodes énergétiques de POC/A Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Avantages : environnement (correcteur,…) environnement (observateur, correcteur,…) ne dépend pas de la structure de supervision fondement théorique : interprétation énergétique des grammiens : énergie localisation des actionneurs énergie localisation des capteurs système Principe : Diag. Robuste

11 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Calcul des grammiens généralisés pour systèmes singuliers Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande (i)G c cc, G c ncc et G c c = G c cc + G c ncc satisfont respectivement (ii) Si (E, A) est stable, G c cc 0, G c ncc 0 et G c c 0, sont les uniques solutions de (1), (2) et (3) respectivement (iii) Si (E, A) est stable, (E, A, B) est commandable si et seulement si G c c >0 est l'unique solution de (3). => Résultats analogues pour l'observabilité (par dualité) => Résultats en temps discrets déjà établis Théorème. Diag. Robuste

12 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Interprétation énergétique des grammiens généralisés Théorème. (i) L'énergie de commande minimale pour amener un système en X, depuis x(t 0 )=0, en un temps infini, est donnée par : (ii) L'énergie de sortie d'un système libre, générée par une condition initiale x(0)=X, est donnée par : Maximisation de G d c => minimisation de l'énergie de commande Maximisation de (PQ) -T G d o (PQ) -1 => maximisation de l'énergie de sortie Diag. Robuste

13 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Optimisation de l'observabilité ou de la commandabilité Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Placement de n c capteurs maximiser l'énergie de sortie le placement optimal correspond à la matrice C solution de sous les contraintes et Placement de n a actionneurs minimiser l'énergie de commande le placement optimal correspond à la matrice B solution de sous les contraintes et Problèmes d'optimisation entière Diag. Robuste

14 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Réalisation et grammiens équilibrés Pour (E,A,B,C) commandable et observable, il existe T 1 et T 2 telles que : cas continu : et cas discret : et où et Les énergies de commande optimale, E u (X), et de sortie, E y (X), s'écrivent alors : et Diag. Robuste

15 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Optimisation jointe de l'observabilité et de la commandabilité Placement de n c capteurs et /ou n a actionneurs maximiser l'énergie transmise des entrées vers les sorties, le placement optimal correspond à la matrice C et/ou B solution de sous les contraintes Diag. Robuste

16 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Diagnostic robuste Syst. Sing. Introduction Conclusion Diag. Robuste Plac t Opt. CA Commande systèmecapteursactionneurs consigne mesures Modèle nominal générateur de résidus traitement des résidus nature, valeur, instant d'apparition,... des défauts besoin d'étudier les défauts, malgré les perturbations généralement insuffisant car : bruits, dynamiques non modélisées, variation de paramètres… perturbations défauts biais, dérives, pannes,... défauts

17 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Diagnostic robuste pour systèmes singuliers Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande méthodes a priori - traitement (logique, statistique,...) des données brutes : validation de bilans pour systèmes interconnectés méthodes a posteriori - comparaison entre des grandeurs mesurées et des grandeurs estimées : diagnostic robuste par filtrage-H diagnostic robuste par factorisation coprime estimation des fautes par observateur PI à entrées inconnues Diag. Robuste

18 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Validation de bilans pour systèmes interconnectés Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande méthode : approche graphique : système équivalent à un graphe génération de résidus par arcs et par nœuds logiques de décision pour générer des alarmes objectifs : détecter et localiser des défauts de mesures (dérives,…) détecter et localiser des défauts système (fuites,…) validité à l'apparition de défauts multiples Diag. Robuste résultats : détection et localisation de défauts multiples minimisation des fausses alarmes, décentralisation possible

19 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Diagnostic par filtrage-H Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Positionnement du problème : système décrit par ou Hypothèse : faisceau (E,A) régulier Objectifs : génération de résidus modeler la réponse fréquentielle aux défauts imposer un gabarit de robustesse aux perturbations Méthode : généralisation du filtrage-H aux systèmes singuliers Diag. Robuste

20 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Diagnostic par filtrage-H Formulation sous forme de contrôle H : G f (s) G d (s) + K(s) r w z génération de résidus modeler G fr (s) gabarit de robustesse problème standard H W f (s) - + y Déterminer le K(s) qui minimise la norme H de G wz (s) W d (s) G f (s) G d (s) G u (s) + -G u (s) K(s) + f u d r génération de résidus modeler G fr (s) gabarit de robustesse W f (s) - + z Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)G f (s)-W f (s) K(s)G d (s)W d (s) || W d (s) G f (s) G d (s) G u (s) + -G u (s) K(s) + f u d r génération de résidus modeler G fr (s) W f (s) - + z Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)G f (s)-W f (s)|| G f (s) G d (s) G u (s) + -G u (s) K(s) + f u dr génération de résidus Résolution : synthèse de K(s) par résolution de LMI strictes Limite de cette approche : générateur de résidus éventuellement impulsif Diag. Robuste

21 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Hypothèses : faisceau (E,A) régulier système (E,A,C) Imp-observable et détectable Objectifs : génération de résidus par des filtres propres modeler la réponse fréquentielle aux défauts imposer un gabarit de robustesse aux perturbations Méthode : factorisation coprime du système formulation H du diagnostic Système : Diag. Robuste

22 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Factorisation coprime de systèmes singuliers Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Théorème. Un système régulier et Imp-observable admet une factorisation coprime avec et Application à la génération de résidus cofacteurs propres, réalisables par une représentation usuelle générateur de résidus propre (choix de L ) Diag. Robuste

23 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Synthèse du module de diagnostic Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Théorème. Le choix du gain L, n'influe pas sur les performances du module de diagnostic Algorithme de synthèse du module de diagnostic. G u (s) ~ -N u (s) ~ M(s) + u y + G f (s) f G d (s) d r 1. Déterminer L, telle que (E,A+LC) soit admissible, par résolution d'une LMI stricte. G u (s) ~ -N u (s) ~ M(s) Qd(s) + u y + G f (s) W f (s) f r +-+- z G d (s) d W d (s) d r 2.Déterminer Q d (s), solution d'un problème H standard pour le système non singulier (LMI) Diag. Robuste

24 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande On considère le système défini par On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations : avec Diag. Robuste

25 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Résultats obtenus : Fautes (pointillés noirs) et résidus (traits rouge) Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit (vert) Diag. Robuste

26 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Estimation des défauts par observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Hypothèses : (E, A, C) Imp-observable (H1) rang [E E 1 ] = rang E(H2) défaut vérifiant df(t)/dt=0(H3) Objectifs : estimation robuste de l'état et des défauts gabarit de robusesse Méthode : extension de l'observateur PI aux systèmes singuliers synthèse d'un banc d'observateurs dédiés Système : Diag. Robuste

27 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Système équivalent à ( ) par compression des lignes de E : H L 1 +L 2 F J + M2M2 M1M1 M3M3 D C ++ ( ') L3L K u d f y ^f^f ^y^y ^x^x z boucle integrale On propose l'observateur proportionnel-integral défini par : gains à déterminer afin que et Diag. Robuste

28 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Existence et synthèse de l'obs. PI Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Pour : F=T 1 A-L 2 C, L 1 =FT 2, J=T 1 B-(L 1 +L 2 )B, H=T 1 R 1 -L 2 R 2 M 1 =I n, M 2 =T 2, M 3 =-T 2 D, K=R 2, l'erreur d'estimation vérifie : avec Théorème : sous ( H1-H3 ), l'observateur PI converge les erreurs d'estimation sont stabilisables Existence Théorème : l'observateur PI optimal est solution de la minimisation de sous les contraintes LMI et et L est donné par L=X -1 Y Synthèse Diag. Robuste

29 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Diagnostic robuste par observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Synthétiser un banc de n f observateurs : chaque observateur PI dédié à un défaut Pour i=1,…n f l'observateur PI dédié optimal est déterminé par la minimisation de i sous les contraintes LMI suivantes où D i est la (n+i) ème colonne de D et L i est donné par L i =X 1i -1 Y i Un gabarit de robustesse est assuré par une fonction de pondération fréquentielle W d (s) Algorithme de synthèse du module de diagnostic. Diag. Robuste

30 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Exemple d'application de l'observateur PI Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Diag. Robuste On considère le système défini par avec : et le filtre de pondération :

31 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Diagnostic robuste pour systèmes singuliers : récapitulatif Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Validation de bilansFiltrage H Factorisation coprime Observateur PI à entrées inconnues ( E,A ) régulier (non impulsif) ( E,A ) régulier (non impulsif) Structure maillée régime stationnaire Nature du système ( E,A ) régulier Imp-observable détectable Défauts à dynamiques lentes dans Im(E) Problème H non singulier LMI strictes placement de pôles Logique booléenneRésolution ImplémentationAutomate logique Filtre singulier (admissible) d'ordre n Filtre propre d'ordre 2r+k f +f d Filtre propre d'ordre n+n f Application Génération de résidus, Génération d'alarmes Estimation robuste des fautes, Accomodation de la loi de commande Estimation robuste des fautes, Accomodation de la loi de commande Génération de résidus, Estimation robuste des fautes, Contrôle tolérant aux fautes Diag. Robuste

32 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Commande multicritère Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Hypothèses : (E, A,B) Imp-commandable (E, A,C) Imp-observable Ker(E) Ker(C 2 ) Objectifs : placement de pôles (O1) contrainte de norme- H sur le transfert de w vers z (O2) contrainte de norme- H 2 sur le transfert de w vers z 2 (O3) Méthode : formulation LMI des objectifs, et optimisation convexe Système : Diag. Robuste

33 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 caractérisation par LMI stricte du placement de pôles Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Région LMI : région convexe de C 2 matrices = T et D-admissible : (E,A), stable, non impulsif et les v.p. finies D Théorème : (E,A) est D-admissible si et seulement si il existe une matrice P définie positive et une matrice S telles que EPE T + APE T + T EPA T +1 mm (AVSU T+ US T V T A T ) < 0 avec V et U base du noyau de E et E T, et où 1 ij désigne la matrice (i j) de composantes égales à 1 Généralisé aux systèmes singuliers incertains Diag. Robuste

34 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Synthèse des correcteurs pour commande multicritère Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande méthode analogue pour le contrôle par retour dynamique de sorties chaque objectif impose une contrainte LMI stricte recherche d'un solution : convexité,… mais conservatisme Théorème : Pour une région LMI D et deux réels 2 et, il existe un retour d'état u(t)=Kx(t) tel que le système en boucle fermée satisfasse (01-03) si il existe des matrices P=P T > 0, L, H et S telles que et le gain est donné par K=(LE T +HU T )(PE T +VSU T ) -1 Diag. Robuste

35 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Hypothèses : (E, A) régulier (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable (E, A,C) Imp-observable et détectable Objectifs : performances nominales tolérance aux fautes et aux perturbations mise en œuvre de filtres propres Méthode : factorisation coprime formalisme H standard pour systèmes usuels Système : Diag. Robuste

36 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 G(s) X r -1 (s)-Y r (s) + u df y ref Réponse nominale retour d'état observé L et F déterminés par LMI strictes Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande G(s) Q c (s) X r -1 (s)-Y r (s) u df y ref ~ -N u (s) ~ M(s) Tolérance aux fautes problème standard H Q c (s) déterminé par synthèse de correcteur H d'un système non singulier. filtres propres perf. nominales / tolérance aux fautes : traitées séparément Diag. Robuste

37 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Algorithme de contrôle adaptatif tolérant aux fautes. 1Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal 2Déterminer le filtre de diagnostic robuste Q d (s) 3Déterminer n f filtres Q ci (s) chacun dédié à une faute f i, et un filtre Q c0 (s) pour le cas "sans faute" 4Implémenter le contrôleur ci-contre, avec où J d est la norme H du transfert de d sur r G(s) Q c (s) X r -1 (s)-Y r (s) u df y ref ~ -N u (s) ~ M(s) Q d (s) r r Diag. Robuste

38 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Application de la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Diag. Robuste Résidus fournis par le module de diagnostic Sorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait). On considère le système défini par avec

39 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 On a proposé des méthodologies complémentaires de 1/ placement optimal de capteurs / actionneurs 2/ diagnostic robuste 3/ commande Conclusion & Perspectives Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande mais de nombreux sujets restent ouverts… 1/ robustesse du POC / A 2/ LTR et Loop shaping 3/ décentralisation de la commande 4/ aspects numériques de la mise en œuvre Diag. Robuste

40 Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires 16 décembre /40 Publications Georges, Benoit, Chovin, Koenig, Marx & Mauris, Distributed Instruments for Control and Diagnosis Applied to a Water Distribution System, IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference, Anchorage, USA, Koenig, Mammar & Marx, H Fault Detection and Isolation for Descriptor : a Matrix Inequalities Approach, American Conference on Control, Anchorage, USA, Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor/Actuator Location for Descriptor Systems Using Lyapnov-Like Equations, 41 st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, USA, Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, IFAC SAFEPROCESS03, Washington, USA, Marx, Koenig & Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, European Control Conference, Cambridge, UK, Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for linear descriptor systems using proportional integral obsevers, 42 nd IEEE Conference on Decision and Control, Hawai, USA, Syst. Sing. Introduction Conclusion Plac t Opt. CA Commande Soumis : Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor and actuator location for descriptor systems using generalized gramians and balanced realizations, soumis à American Control Conference, 2004 Marx, Koenig & Georges, Pole-Clustering, H 2 /H Control for Descriptor Systems : a Strict LMI Approach, soumis à IEEE transactions on automatic control (2003) Marx, Koenig & Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003) Diag. Robuste

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