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9-3 Ulysse 68-94Cours GB 20101 9 La complexité des activités mathématiques 9-3 Façons de calculer la division.

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1 9-3 Ulysse 68-94Cours GB La complexité des activités mathématiques 9-3 Façons de calculer la division

2 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Lalgorithme de la division organisée pour permettre le calcul rapide au XIXe siècle était exigeante en temps dapprentissage et coûteuse en échecs. Elle était globalement économique car elle se rentabilisait socialement et individuellement par le nombre dindividus qui lutilisaient fréquemment. Elle nest plus adaptée à lusage actuel. On devrait utiliser aujourdhui une méthode à la fois plus fiable, plus ergonomique (demandant moins de concentration) et plus économique (en temps dapprentissage), et donc plus adaptée aux fréquences dusages actuels. Recherche dune division ergonomique Exercice : énumérer les sources derreurs comme nous lavons fait pour la multiplication et envisager les observations à faire

3 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Division « classique», cas difficile divisé par 481 Préparation Première tentative Résultat : le premier chiffre du quotient est 3

4 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Pour lélève cest une sorte déchec : il doit rayer une partie de son travail Et il reprend Les professeurs qui aiment les cahiers sans ratures préfèreraient une disposition « sans erreurs » où les calculs auxiliaires et les essais seraient intégrés dans une présentation honnête. La division exige des tentatives risquées… Elles sont parfois sanctionnées comme des fautes. Il faut rayer ou recommencer ailleurs, ou calculer mentalement et faire une pari.

5 9-3 Ulysse 68-94Cours GB La source derreur est là et là

6 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Propriétés Et au lieu dutiliser la méthode dapprentissage préconisée par Condorcet, basée sur lamélioration des soustractions successives (méthode que nous avons reprise avec un franc succès), la division est introduite par une progression « rationnelle » dapprentissages formels des sous algorithmes : division avec diviseur dun chiffre et quotient à un chiffre, puis à quotient à deux…, puis division par un diviseur à deux chiffres, etc. France, 1960 : La division sans poser les soustractions et sans ratures : combien dheures dapprentissage?

7 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Division « ergonomique » Quatre zones de travail dividende quotient Partie décimale soustractions diviseur produits Lélève choisit le quotient en première estimation : 2 et effectue le calcul

8 9-3 Ulysse 68-94Cours GB ère tentative de quotient : 2, mais le reste est trop grand Mais on peut déjà voir le nombre de chiffres du quotient : 5

9 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Lélève peut ajouter 1 au quotient sans effacer le calcul précédent Et continuer la soustraction dans la même colonne

10 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Il peut soustraire ses retraits successifs dans la même colonne Le reste 26 est insuffisant, 266 aussi 2666 convient

11 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Lélève peut se hésiter sur le quotient et calculer plusieurs options 2886 est trop grand 2405 convient, le quotient est 5… Mais 5 quoi ? Où le placer ?

12 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Le quotient partiel, 5 se place en haut de la colonne des unités de la soustraction partielle. Sa place ne dépend pas de labsence des précédents Lélève peut utiliser plusieurs fois le même produit sans refaire le calcul

13 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Il reste à calculer le quotient : Chaque chiffre du quotient est la somme des quotients partiels

14 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Opération terminée QUOTIENT RESTE

15 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Comment inventer et apprendre la division ergonomique Sens 1: partage soustraction de parts déterminées (recherche du nombre de parts) Répétition de distributions égales (recherche de la valeur dune part) Sens 2 : recherche du terme inconnu dun produit: essais de multiplications Sens 3 : recherche du reste (C20)

16 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Effet de variables ergonomiques Ébauches à propos de la soustraction, de la division

17 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Situations : ergonomie et fiabilité Une situation est un ensemble détats permis et de règles. La résolution dune situation est une suite de choix détats permis, qui, partant de létat initial aboutit à létat final gagnant. Chaque choix de lactant est le produit dune connaissance de lactant au sujet de létat de la situation. Il demande un certain effort et comporte un certain risque Ces deux paramètres interviennent dans le calcul de lintérêt et du coût des solutions, et dans le choix des modes de résolution et des solutions optimales.

18 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Les équations de lapprentissage Nous avons vu dans le diaporama précédent (9-1) que « la » complexité de la résolution dune situation et de laction qui la résout ne se réduit pas à celle de son organigramme. Cette complexité dépend des connaissances de lactant et par conséquent de lamortissement du coût de leur acquisition, lequel dépend des caractères des situations… Les équations de lapprentissage, et par conséquent celles de lenseignement, devront intégrer en même temps lensemble de ces processus… en attendant… Voici quelques extraits détudes de la complexité entre larithmétique élémentaire et lalgèbre linéaire Après le dénombrement et laddition…

19 9-3 Ulysse 68-94Cours GB La soustraction Les méthodes de résolution dune soustraction Le dénombrement direct du reste ou du manque si on y a accès par manipulation ou par vision mentale La recherche du complément par surcomptage Le décomptage ; le surcomptage à rebours La recherche du reste par décomposition décimale : recours à une table de soustraction La recherche du complément par décomposition décimale : recours à la table daddition Il existe dautres méthodes Suivant les valeurs des deux termes de la soustraction lune ou lautre de ces méthodes peur se révéler mieux adaptée que les autres Par exemple sil sagit de soustraire 8 à 93, le décomptage de 3 puis de 5 est moins complexe pour un humain que la recherche du complément. Exercice : rechercher les variables et les conditions limites

20 9-3 Ulysse 68-94Cours GB La complexité de la soustraction dans N Y y = x x - y = X Zones de meilleure efficacité (ZME) ZME de la vision globale ZME du dessin (Non confirmée) ZME de la recherche du complément (surcomptage) ZME du comptage à rebours ZME du calcul Les zones colorées représentent X-Y X, Y naturels, X>Y Zones théoriques de meilleure efficacité des méthodes de soustraction (confirmées par lexpérience) Extrait de la Thèse dImana Katembera p.33

21 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Compréhension de la division des décimaux En présence de nombres décimaux les élèves reconnaissent sil convient ou non de faire une division en se référant principalement… 1 au sens de la division euclidienne : les difficultés varient suivant La taille des nombres 2 et/ou à des représentations typiques mettant en œuvre des grandeurs ou des disposition géométriques 1. La division euclidienne perd son sens suivant la taille de d et q - lorsque le quotient et ou le diviseur prennent des valeurs < 2 Voici les 18 cas engendrés par ces trois conditions {[(q 2)] X [(d 2)]} X {(D>d) ou (D au diviseur

22 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Dividende D Diviseur d Quotient q 0 d < 11< d 2 d > 2 0 q < 1 0,3 : 0,8 q = 0,37… Grande difficulté 0,8 : 1,25 q = 0,64 380:450 q = 0,84 1< q 2 1,70 : 0,90 q = 1,88… q > D 1,8 : 1,25 =1,44 Diffic. Moyenne 15:8 = 1,875 Compris comme 15:8 q > 2 0,3 : 0,8 = 2,6… 12 : 0,75 = 16 q > D 9 : 1,5 = 6380 : 14,2 = 26,76 Compris comme 380:14

23 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Les difficultés suivant lhomogénéité de la signification (scalaires, mesures, mesures différentes) des nombres du diviseur du dividende et du quotient, par ordre croissant de difficultés a) quotient dune mesure par un scalaire b) quotient de mesures de même nature (rapport décimal) Taux, homothéties géométriques,… c) quotient de mesures de natures différentes: équation aux dimensions : o prix o grandeurs dérivées (vitesse, densité), intégrales… d) quotients décimaux de scalaires e) les mesures du temps

24 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Conclusion pour la division: 1. la connaissance de la division dans les naturels guide lélève dans le choix de lopération à faire avec les grandeurs si le diviseur et le quotient sont supérieurs à 2 Pour les autres cas, un autre modèle, un autre sens est indispensable, mais les résultats montrent que le modèle des naturels lui fait alors obstacle. Nous étudierons lexistence et limportance de tels obstacles dans la conception, dans lenseignement et dans lapprentissage des mathématiques dans le prochain paragraphe de ce diaporama. 2. Au lieu de considérer les nombres comme un même et unique concept qui senrichit de sens contradictoires, il pourrait être utile, de mieux distinguer les types de nombres des lécole primaire. Cest ce que nous avons essayé de faire – avec succès - au cours des expériences avec divers curriculums pour la scolarité commune (5-14 ans). Mais beaucoup dobservations et dexpériences restent à faire et à rassembler.

25 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Peut-on étendre ce genre danalyse aux raisonnements et à lalgèbre ?

26 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Algorithmes et théories Algorithmes et théories sont tous deux des exposés didactiques composés dexpressions mathématiques valides. Ils servent à les communiquer et à les contrôler. Ils ont des structures logiques comparables en première approche: ce sont des collections dexpressions bien formées (ex. 34x6 = 204; (x-y) 2 = x 2 + y 2 -2xy ) dont la validité est assurée par des « démonstrations » : « 34x6 = 204 » est vrai ; « 34x6 = 24 » est faux. Le procédé standard de la démonstration de ces énoncés est le calcul (algorithme ou règles de calcul direct) mais il y en a dautres : ex. le produit de deux naturels est plus grand que chacun deux ou bien (x+y) 2 = x 2 + y 2 +2xy [x+(-y)] 2 = (x-y) 2 = x 2 + (-y) 2 -2x(-y)) etc. Le présent chapitre a illustré les méthodes danalyse ergonomique de la résolution dénoncés dans un algorithme. Les mêmes méthodes peuvent-elles sétendre aux théories mathématiques?

27 9-3 Ulysse 68-94Cours GB Un algorithme est une collection dénoncés dont la validité est directement établie par un schéma de démonstration unique, un même calcul. Nous avons vu que la validité dune expression dans une théorie logique peut sétablir à partir des axiomes par des suites de théorèmes déjà établis cest-à-dire par des démonstrations spécifiques. Une théorie mathématique est une organisation qui permet de prouver chaque énoncé par des énoncés établis précédemment, ce qui permet déviter de répéter les éléments dune nouvelle démonstration. Il existe de nombreuses théories mathématiques distinctes pour un même ensemble dénoncés valides, donc pour une théorie au sens logique. Lanalyse ergonomique des théories mathématiques est évidemment beaucoup plus complexe que celle des algorithmes, mais elle est de même nature. Dans les deux cas il existe des modèles indépendants des capacités des utilisateurs et des modèles plus adaptés à des propriétés particulières des « utilisateurs »


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