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Introduction: Lanalyse mathématique Histoire du calcul infinitésimal Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du calcul infinitésimal.

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2 Introduction: Lanalyse mathématique Histoire du calcul infinitésimal Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du calcul infinitésimal Application dans la vie quotidienne Bibliographie

3 L invention de lanalyse mathématique - le résultat des recherches antérieures sur des problèmes apparemment disparats, mais ayant une unité cachée. Par exemple: Le calcul de la vitesse instantanée dun objet en mouvement; La tangente à la courbe et la longueur de la courbe; La valeur maximale et minimale dune fonction; Calculer la surface dune figure plane et le volume dun corps tridimensionnel.

4 Certaines idée et exemples importants ont été énoncés par Fermat et Descartes et aussi par un anglais, moins connu, Isaac Barrow, mais ces méthodes étaient valables seulement pour des problèmes particuliers. On avait besoin dun méthode général.

5 Lanalyse mathématique a deux branches principales: 1.Le calcul différentiel 2.Le calcul intégral

6 La création du calcul infinitésimal est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz. Néanmoins, son histoire est très vaste, d'Archimède à Barrow en passant par Fermat. Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

7 Pierre de Fermat – ans France Un avocat, fonctionnaire et mathématicien français Calcul de probabilités - pionnier, avec Blaise Pascal Calcul différentiel - précurseur, avec ses travaux sur le calcul infinitésimal méthode, dite de maximis et minimis Géométrie analytique - fondateur, comme Descartes Créateur de la méthode des coordonnées qui permet de situer un point sur une surface. Conception des courbes comme lieux géométriques (c'est-à-dire comme ensemble de points qui vérifient une équation). Premier à donner une méthode générale pour la détermination des tangentes à une courbe plane. Unifie les deux domaines de lalgèbre et de la géométrie.

8 Pierre de Fermat – ans France Théorie des nombres – créateur Études arithmétiques approfondies Fermat laisse de nombreux théorèmes non démontrés; Euler en démontrera un bon nombre Aucune publication, mais correspondance privée avec d'autres savants: Descartes, Pascal, Roberval, Torricelli, Huygens, Mersenne. Théorème de Fermat- Wiles x n + y n = z n, na pas de solution pour n>2

9 NEWTON Sir Isaac – ans Angleterre Mathématicien, physicien, astronome. Un des plus grands scientifiques de l'Histoire. L inventeur du calcul infinitésimal à côté de Leibniz Travaux sur la lumière et l'optique. Trois lois sur le mouvement et loi de la gravitation universelle.

10 NEWTON Sir Isaac – ans Angleterre Théorie du calcul infinitésimal, en même temps que Leibniz ( ) inventait le calcul différentiel. - Leibniz publie sa description de lanalyse en Les mathématiciens d'Eudoxe à Fermat ont découvert des techniques de dérivation et dintégration avant Newton et Leibniz. - Mais ils navaient pas vu la relation entre les deux. - Newton et Leibniz, travaillant séparément, établissent les règles générales pour toutes les fonctions. - Ce sont les pères du calcul infinitésimal : lanalyse. - Concept moderne de dérivée qui encore écrite en utilisant le symbole de Newton x', et, plus généralement le symbole dy/dx, introduit par Leibniz.

11 NEWTON Sir Isaac – ans Angleterre Théorème de la série du binôme:binôme - développement de (a+b) n, - utilisation en combinatoire: C p n = n! / ( p! (n-p)! ) Ondes lumineuses en optique, dispersion par le prisme. « Principes mathématiques de philosophie naturelle »: - forces, inertie, gravité, action/ réaction. Gravitation universelle explique le mouvement des planètes et la pesanteur: - la pomme de Newton.

12 LEIBNIZ Gottfried Wilhelm ans Allemagne Éminent philosophe, savant, juriste et diplomate à l'époque de Louis XIV Fondateur, en 1700, de l'Académie des sciences de Berlin. Dans lhistoire du calcul infinitésimal, le procès de Newton contre Leibniz est resté célèbre. Newton et Leibniz avaient trouvé lart de lever les indéterminations dans le calcul des tangentes ou dérivées.

13 EULER Leonhard ans Suisse Mathematician suisse, physicien, ingénieur et philosophe. Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque : l'astronomie les sciences physiques les mathématiques, dans toutes ses branches, de l'arithmétique à la géométrie différentielle en passant par l'analyse numérique et fonctionnelle, le calcul des variations, les courbes et les surfaces algébriques, le calcul des probabilités et les premiers aspects de la théorie des graphes et de la topologie. La première étude des surfaces abordée en termes de géométrie différentielle : La difficile étude des surfaces est entreprise par Euler grâce á l'apport du calcul différentiel et intégral. Au 19è siècle Gauss et Riemann (tout particulièrement) se pencheront sur cette théorie, aussi.

14 Joseph-Louis Lagrange ans Italie- Allemagne- France Un mathématicien, mécanicien et astronome. Son nom apparaît presque partout en mathématiques. Lagrange est considéré comme le fondateur du calcul des variations (Euler simultanément) et la théorie des formes quadratiques. Dans les équations différentielles sur le terrain, la théorie de Lagrange développé des solutions simples et la méthode de variation constante. En physique, énonçant le principe de moindre action et en utilisant le calcul des variations, il a trouvé la fonction qui satisfait les équations de Lagrange, en fonction de ce qui porte son nom. Il a développé la mécanique analytique, en introduisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange (1788). Il a fait des recherches approfondies sur le problème des trois corps, l'un de ses résultats mettent en évidence les points d'oscillation («points de Lagrange») en Un des plus célèbre théorème qui est attribué est le théorème de Lagrange.

15 Augustin Louis Cauchy – ans France, Paris Mathématicien Membre de lAcadémie des sciences et professeur à lÉcole polytechnique Il fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, quoique devancé par Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; Sa recherche couvre lensemble des domaines mathématiques de lépoque. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques. Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIX e siècle.

16 Augustin Louis Cauchy – ans France, Paris Sous linfluence de Laplace, il présente dans le mémoire Sur les intégrales définies (1814) la première écriture des équations de Cauchy- Riemann comme condition d'analyticité pour une fonction d'une variable complexe. Dans Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (1825), il donne la première définition d'intégrale curviligne, démontre l'invariance par homotopie (formulée en termes d'analyse), et énonce précisément le théorème des résidus pour les fonctions analytiques comme outil pour le calcul d'intégrales. Augustin Louis, baron Cauchy

17 Karl Weierstrass ans Allemagne Karl Weierstrass est souvent cité comme le « père» de lanalyse moderne. Il fut nommé à Breslau l'année suivante en remplacement de Kummer et élu à l'Académie des sciences de Berlin en Son brillant traité sur les intégrales elliptiques (Réflexions sur l'intégration des équations différentielles hyper elliptiques) le mènent à une chaire de mathématiques à l'université de Berlin en Il en fut le recteur en 1873.

18 Ernesto Cesàro ans Italie Un mathématicien italien, connu pour ses contributions à la géométrie différentielle et à la théorie des séries infinie Leçons de géométrie intrinsèque écrites en 1894 Par la suite, Cesàro étudia également la "courbe à flocon de neige" de Koch, continue mais non différentiable dans tous ses points La fractale Cesàro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°).

19 Ernesto Cesàro ans Italie Parmi ses autres œuvres marquantes, on trouve Introduction à la théorie mathématique de calculs infinitésimaux (1893), Analyse algébrique (1894), Éléments de calcul infinitésimal (1897). Il propose une définition possible de la limite d'une suite divergente, connue aujourd'hui comme "Somme de Cesàro", donnée par la limite de la moyenne des sommes des termes partiels de la succession.

20 Henri-Léon Lebesgue ans France Un mathématicien français. Il est reconnu pour sa théorie d'intégration publiée initialement dans sa dissertation Intégrale, longueur, aire à l'université de Nancy en Il fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du xxe siècle. Henri Léon Lebesgue a révolutionné et généralisé le calcul intégral. Sa théorie de l'intégration ( ) est extrêmement commode d'emploi, et répond aux besoins des physiciens

21 Des applications du calcul différentiel et intégral

22 Lune des première application du calcul différentiel et intégral utilisées pour comprendre les phénomènes naturels a été liée au problème concernant la forme dune chaîne accroché à deux pilons. Le pont suspendu de Clifton - une parabole

23 Y=k(e x +e -x ), où k est une constante. Les câbles des ponts suspendus sont paraboliques. La différence se produit parce que ces câbles supportent en même temps le poids du pont et leur propre poids. Cela aussi peut être démontré en utilisant le calcul différentiel.

24 À quoi nous aide lanalyse mathématique ? Les équations différentielles sont omniprésents dans la science: elles sont de loin le moyen le plus répandu de modeler les systèmes naturels. On les utilise, par exemple, pour calculer les trajectoires des sondes spatiales Mission Cassini, qui explore Saturne et ses satellites, est un autre exemple. Bien sûr, le calcul n'est pas la seule technique utilisée pour les missions spatiales -, mais sans celui-ci, la navette n'aurait jamais été lancée.

25 D'un point de vue pratique, tout avion qui vole, tout véhicule à moteur qui parcourt une route, tout pont de suspendu et toute construction résistante aux tremblements de terre doit partiellement sa conception au calcul différentiel. Même les plages numériques décrivant la manière dont les populations animales varient, dérive des équations différentielles. Le même est vrai pour la propagation des épidémies, où des modèles analytiques sont utilisés pour planifier la façon la plus efficace d'intervenir et de prévenir la propagation désastreuses. Un modèle récent pour la propagation de l'épidémie de fièvre aphteuse au Royaume-Uni a montré que la stratégie adoptée nétait pas la meilleure. Robot Spirit Mars

26 Les plus importantes inventions du progrès technologique, telles que le radio, la télévision et les avions, dépendent d'une certaine façon des mathématiques des équations différentielles. L équation des ondes est directement liée à la radio et la télévision. Maxwell a reformulé les théories de Faraday sous forme d'équations mathématiques de l'électromagnétisme. Ce sont des équations aux dérivées partielles impliquant des champs électriques et magnétiques. A partir des équations de Maxwell, en résulte immédiatement l'équation des ondes. La télévision et le radar sont basés sur les ondes électromagnétiques, la navigation GPS aussi, les téléphones mobiles et les communications informatiques sans fil.

27 L'analyse est utilisée en biologie pour étudier la croissance des populations d'organismes. Un exemple simple est la logistique du module Verhulst - Peale. Cette variation de la population x en fonction du temps t est modelée par une équation différentielle où la constante M est la capacité de support de la plus grande population que l'environnement peut supporter. Les méthodes standard de lanalyse donnent une solution explicite ce quon appelle la courbe logistique.

28 La prévision météorologique ou climatique nest pas une mince affaire. Elle implique la modélisation de nombreux phénomènes de nature différente et lintervention de plusieurs sciences, des mathématiques à la biologie, en passant par linformatique, la physique ou la chimie. Une prévision météorologique, avec un rendement élevé de réalisation, ne peut pas être effectuée que grâce à la collaboration des centres météorologiques régionaux et lutilisation des modèles mathématiques de la performance atmosphérique.

29 1.Îmblânzirea infinitului- povestea matematicii, Ian Stewart, Humanitas 2.La brochure L explosion des math é matiques 3.www.wikipedia.org 4.http://www.astrofiles.nethttp://www.astrofiles.net 5.http://www.cosmovisions.com/calculdifferentiel.htmhttp://www.cosmovisions.com/calculdifferentiel.htm 6.http://villemin.gerard.free.fr


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