Lorbite de Mars par J. Kepler. 18/01/2005Orbite de Mars2 Contexte historique Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré

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1 Lorbite de Mars par J. Kepler

2 18/01/2005Orbite de Mars2 Contexte historique Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré lattention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs mouvements. Un siècle plus tard, lastronome allemand Jean KEPLER (1571-1630), convaincu que la distribution, la forme et les dimensions des orbites nétaient pas dues au hasard mais régies par des lois, entreprit de les découvrir à partir des observations précises de TYCHO BRAHE dont il avait été le disciple. Cest ainsi quil établit une très belle théorie concernant lorbite de Mars et quil énonça les trois lois dites lois de Kepler. Le système de PTOLEMEE (II ème siècle de notre ère) a prévalu jusquau XVII ème siècle et consistait à placer la Terre au centre du monde et à en faire un corps fixe. Lastronome polonais Nicolas COPERNIC (1473–1543) proposa une représentation héliocentrique du système solaire montrant le double mouvement des planètes sur elles-mêmes et autour du Soleil, théorie condamnée par le Pape comme contraire aux Ecritures.

3 18/01/2005Orbite de Mars3 Principe de la méthode de Kepler Pour un objet inaccessible, la méthode des parallaxes, qui consiste le viser à partir de deux sites différents, permet de déterminer la distance qui le sépare de lobservateur. Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars par rapport à la Terre, la planète étant beaucoup plus près de nous que le fond du ciel avec les étoiles constituant le décor. Cependant la distance de Mars à la Terre est telle que, même en se plaçant en deux points diamétralement opposés de la Terre, on ne pourrait voir Mars sous deux angles sensiblement différents. Il a alors imaginé de viser Mars depuis deux positions différentes de la Terre sur son orbite, ce qui permet d'avoir des lieux d'observation assez éloignés. Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit dans les deux cas à la même place dans le repère héliocentrique de Copernic. Or Mars comme la Terre se déplace constamment ; il faut donc que les deux mesures soient faites à un intervalle de temps égal à la durée que met Mars pour faire un tour complet et que l'on appelle « révolution sidérale de Mars ».

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6 18/01/2005Orbite de Mars6 Révolution sidérale et révolution synodique La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. relation période synodique – période sidérale Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre. Cette période est calculable à partir dobservations de positions de planètes à des dates déterminées.

7 18/01/2005Orbite de Mars7 Révolution sidérale et révolution synodique La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre. Cette période est calculable à partir dobservations de positions de planètes à des dates déterminées. Pour une planète intérieurePour une planète extérieure

8 18/01/2005Orbite de Mars8 Mesure de la période synodique Observation des temps dopposition La mesure de la période synodique de Mars consiste à repérer les dates successives de ses oppositions. On en déduit la période synodique. Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont elliptiques. Les intervalles de temps entre plusieurs oppositions successives peuvent être assez différentes. La période synodique est une moyenne sur une période assez grande des intervalles de temps entre oppositions successives.

9 18/01/2005Orbite de Mars9 Mesure de la période synodique On peut utiliser lobservations des configurations Mars – Soleil soit avec : un calculateur déphémérides (ICE ou serveur de lIMCCE) et chercher par interpolation soit - le moment où les longitudes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales pour la conjonction - le moment où elles sont déphasées de 180° pour les oppositions. et inversement si lon utilise les longitudes héliocentriques. Observation des temps dopposition un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant les moments des alignements lors des oppositions ou conjonctions lorsque lon fait défiler le temps. Les temps observés peuvent être imprécis.

10 18/01/2005Orbite de Mars10 Sans toucher à lheure, avancer ou reculer le temps de mois en mois dabord, puis de jour en jour à lapproche de lopposition jusquà ce que Mars soit dans le méridien. Temps des oppositions : Temps des oppositions avec Skyglobe configuré à Londres, face au Sud, à minuit en hiver ou 1 heure en été. Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de lannée rigoureusement à minuit dans le demi-méridien nord lindication de date est légèrement approchée. On peut lobtenir avec plus de précision en recherchant par petits sauts linstant où les ascensions droites des deux astres diffèrent exactement de 12 heures. Mesure de la période synodique

11 18/01/2005Orbite de Mars11 Temps des oppositions avec les éphémérides On peut chercher à tâtons la date précise où les longitudes du Soleil et de Mars sont exactement opposées. Méthode fastidieuse et longue. programme ICE programme ICE ou autres ou http://www.imcce.fr/page.php?nav=fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php Ce travail peut être fait sous tableur Excel et lutilisation du programme ICE. tableur Excel programme ICE Mesure de la période synodique Il est plus facile de faire calculer aux alentours de lopposition les longitudes de Mars et du Soleil sur quelques jours et par un graphique ou un calcul formel dinterpolation, de trouver la date.

12 18/01/2005Orbite de Mars12 Heliocentric Coordinates of MARS Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 47 05 22.2 - 0 04 51.9 1.4654601 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 47 39 10.1 - 0 03 46.5 1.4666980 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 48 12 54.5 - 0 02 41.1 1.4679400 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 48 46 35.6 - 0 01 35.9 1.4691859 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 49 20 13.2 - 0 00 30.7 1.4704357 Heliocentric Coordinates of EARTH Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 48 42 06.5 + 0 00 00.4.9900451 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 49 42 26.1 + 0 00 00.3.9898078 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 50 42 47.1 + 0 00 00.2.9895744 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 51 43 09.6 0 00 00.0.9893453 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 52 43 33.6 - 0 00 00.1.9891206 Temps des oppositions avec les éphémérides Il reste à interpoler pour trouver le moment précis de lopposition. Ici égalité des longitudes en coordonnées écliptiques géocentriques. Ce travail peut être fait sous tableur Excel et lutilisation du programme ICE. tableur Excel programme ICE Mesure de la période synodique

13 18/01/2005Orbite de Mars13 Période synodique Les astronomes (et autres) utilisent une datation qui consiste simplement à compter les jours un à un. Le jour julien La mesure de la période synodique demande à calculer des intervalle de temps entre deux dates. Rien de plus simple en utilisant un calendrier avec années bissextiles et des mois irréguliers ! Exercice : nombre de jours écoulés entre le jour de la rentrée scolaire et le dernier jour de cette année scolaire. 1er septembre 2004 et 1er juillet 2005

14 18/01/2005Orbite de Mars14 Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques dune planète ou du Soleil à une date Entrer la date (F1/F1) Donner le nom du fichier de sortie (F2) Faire faire le calcul (F3/F3)

15 18/01/2005Orbite de Mars15 Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques dune planète ou du Soleil à une date Entrer la date (F1) avec le format exact (décimales non obligatoire) Donner le nombre de ligne de calcul (F5) Sortir du menu (F7) Entrer la date (F1) : ouverture du menu :

16 18/01/2005Orbite de Mars16 Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques dune planète ou du Soleil à une date Sortir (F10) Récupérer le fichier de données pour les insérer dans le fichier excel Faire le calcul en coordonnées héliocentriques (F3) / (F3) : Mars Terre (earth) oppositions_mars.xls 685,17 782,26

17 18/01/2005Orbite de Mars17 Utilisation de ICE On obtient pour la période synodique : 782,26 jours et la période sidérale : 685,17 jours Valeurs officielles de lUAI : 779,936 jours et 686,980 jours

18 18/01/2005Orbite de Mars18 Tracé de lorbite de Mars Classement par couples pour le tracé géométrique ? Date Jour julien longitude Soleil longitude Mars 17/02/15852300017339,38135,20 10/03/15852300038359,68131,80 5/01/15872300704295,35182,13 26/01/15872300725316,10184,70 28/03/1587230078616,83168,20 12/02/15892301473333,70218,80 19/09/15912302422185,78284,30 6/08/15932303109143,43346,93 7/12/15932303232265,883,07 25/10/15952303919221,7049,70 Observations de Mars utilisées par Kepler Données dans le fichier excel : data_kepler.xlsdata_kepler.xls Résultats fichier excel : data_kepler_res.xlsdata_kepler_res.xls

19 18/01/2005Orbite de Mars19 Tracé de lorbite de Mars Tracé des points des orbites de la Terre et de Mars ? Couples dobservations de Mars utilisées par Kepler Date Jour julien T longitude Soleil longitude Mars 10/03/15852300038 359,68131,80 26/01/15872300725 687 316,10184,70 17/02/15852300017 339,38135,20 5/01/15872300704 687 295,35182,13 28/03/15872300786 16,83168,20 12/02/15892301473 687 333,70218,80 19/09/15912302422 185,78284,30 6/08/15932303109 687 143,43346,93 7/12/15932303232 265,883,07 25/10/15952303919 687 221,7049,70

20 18/01/2005Orbite de Mars20 Tracé dun couple dobservations L Terre = l Soleil -180 l Soleil On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction O, origine des directions Lorbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. O L Terre = l Soleil +/- 180° Terre

21 18/01/2005Orbite de Mars21 L Terre = l Soleil -180 l Soleil Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle l Mars l Mars De même pour la deuxième observation. Tracé dun couple dobservations On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction O, origine des directions Lorbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. L Terre = l Soleil +/- 180° Terre Mars

22 18/01/2005Orbite de Mars22 Le point de lorbite de Mars est à lintersection des deux directions. On recommence pour les autres couples dobservations. Tracé dun couple dobservations On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction O, origine des directions Lorbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. L Terre = l Soleil +/- 180° Terre Mars De même pour la deuxième observation.

23 18/01/2005Orbite de Mars23 A laide de la feuille transparente on recherche le meilleur ajustement dun des cercles. Noter le rayon et la position du centre. Le rayon trouvé donne le demi grand axe a de lorbite de Mars exprimé en rayons de lorbite terrestre. de c et a on en déduit lexcentricité e. Orbite de Mars La distance Soleil-centre du cercle donne la valeur de c de lellipse de lorbite de Mars

24 18/01/2005Orbite de Mars24 Méthode analytique On exprime les équations des droites Terre-Mars aux deux positions : Coordonnées des points T 1 et T 2 : Intersection des deux droites : Positions de Mars à partir des deux observations.

25 18/01/2005Orbite de Mars25 Résultats Date Jour julien T longitude Soleil longitude Mars 10/03/15852300038 359,68131,80 26/01/15872300725 687 316,10184,70 17/02/15852300017 339,38135,20 5/01/15872300704 687 295,35182,13 28/03/15872300786 16,83168,20 12/02/15892301473 687 333,70218,80 19/09/15912302422 185,78284,30 6/08/15932303109 687 143,43346,93 7/12/15932303232 265,883,07 25/10/15952303919 687 221,7049,70 Programmation dans excel : fichier kepler_calculs.xlskepler_calculs.xls Rayon orbite Terre : 60 mm

26 18/01/2005Orbite de Mars26 Résultats Programmation dans excel : fichier kepler_calcul_res.xls Rayon orbite Terre : 60 mm Point Positions TerrePosition Mars x1y1X2y2x marsy marsr mars 1-59,99910,3351-43,233141,6041-93,223137,4942100,4807 2-56,156221,1301-25,688854,2226-87,177551,9356101,4753 3-57,4301-17,3720-53,789226,5843-97,9352-8,910098,3397 459,69506,042548,1878-35,748371,7411-41,216382,7379 54,310759,844944,798339,913864,435863,069690,1652

27 18/01/2005Orbite de Mars27 Mesure du rayon de lorbite de Mars et de son excentricité Points reportés sur un graphique : même méthode que par rapporteur et cercles concentriques. Construction dune image avec les points positionnés. Cette image peut être traitée par IRIS (imaorbite.jpg).IRIS (imaorbite.jpg) Utilisation de la fonction Photométrie douverture. Cette fonction permet dajuster, à la souris, un cercle de rayon donné. On mesure pour les points de la Terre et de Mars, les rayons et les positions des centres des cercles qui sajustent au mieux aux points des orbites. (Analyse / Photométrie douverture)

28 18/01/2005Orbite de Mars28 Mesure du rayon de lorbite de Mars et de son excentricité Traitement par IRIS dimaorbite.jpgIRIS On mesure pour les points de la Terre et de Mars, les rayons et les positions des centres des cercles qui sajustent au mieux aux points des orbites. Mesu. 1Mes. 2 xt yt rt Echelle xm ym rm a Mars e Mars Résultats -> Données à rentrer dans le fichier excel : kepler_iris.xlskepler_iris.xls Construire les formules pour arriver aux résultats

29 18/01/2005Orbite de Mars29 Résultat fichier image IDL imaorbite.jpg IRIS xt500 yt501 rt300 Echelle0,2000 xm463464 ym533530 rm460461 a Mars1,53331,5367 e Mars0,10630,1003 Mesure du rayon de lorbite de Mars et de son excentricité Traitement par IRIS dimaorbite.jpgIRIS On mesure pour les points de la Terre et de Mars, les rayons et les positions des centres des cercles qui sajustent au mieux aux points des orbites. Terre Mars

30 18/01/2005Orbite de Mars30 Tracé de lorbite de Mars Peut-on justifier lutilisation de cercles à la place des ellipses ? Avec un rayon de lorbite de la Terre de 60 mm et de 92 mm pour Mars et des excentricités de 0,01671 et 0,090 de Mars Quelles est la différence grand axe – petit axe de chaque ellipse ? La différence correspond au tracé de lépaisseur - dun trait fin pour la Terre - dun trait un peu épais pour Mars. (a-b) 0,01 mm 0,40 mm b 59,992 91,598 Terre Mars a 60 90 e 0,01671 0,09340 Programmation dans excel : fichier kepler_iris.xls feuille 2kepler_iris.xls Résultats dans le fichier kepler_iris_res.xls feuille 2kepler_iris_res.xls

31 18/01/2005Orbite de Mars31 Repérage rapide des oppositions et des conjonctions Au moyen des graphiques des positions relatives des planètes / au Soleil

32 18/01/2005Orbite de Mars32

33 18/01/2005Orbite de Mars33 Configuration du 13 janvier 2004 Planètes se couchant avant le Soleil et se levant avant lui Planètes du matin Planètes se couchant après le Soleil et se levant après lui Planètes du soir Planètes opposées au Soleil visibles toute la nuit SaturneMarsVénusMercureJupiter

34 18/01/2005Orbite de Mars34

35 18/01/2005Orbite de Mars35 Positions des Planètes 2005 V Saturne Mars Jupiter Mercure S Vénus T U W

36 Lorbite de Mars par J. Kepler Fin de