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1 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 « Small Worlds : the dynamics of networks between order and randomness » Duncan Watts Réunion biblio LISC 09 Janvier.

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1 1 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 « Small Worlds : the dynamics of networks between order and randomness » Duncan Watts Réunion biblio LISC 09 Janvier 2001

2 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Duncan Watts & Small Worlds Duncan Watts –Cornell University (PhD) –Sante Fe Institute (Post-Doc) –MIT Small Worlds –« only six handshakes away from the president of the USAs… » –Imaginaire collectif aux USAs+ films…

3 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Expérience de Milgram 1967 Idée : chaîne de lettres avec cible… Contrainte : connaître les intermédiaires par leur prénom Résultats : 5 intermédiaires en moyenne Discussion méthodo => validité des résultats…

4 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Pb Méthodo… Obtenir des données détaillées Les interviewés sont incapables de donner leur nb damis Certaines amitiés sont + importantes que dautres (les liens nont pas le même poids) Les individus nont pas le même poids dans le réseau Liens non symétriques La notion damitié dépend du contexte social (Amish Hollywood)

5 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Théorie des graphes : définitions de base Graphe G à n sommets Taille(G) = nb de liens k s = degré du sommet s k = degré moyen de G Si k s = cte qq soit sommet, alors G = k- régulier (s) = sommets voisins de s

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7 Th G : length, clustering Distance (i,j) = + court chemin entre i et j Characteristic path length L = médiane des moyennes des distances pour chaque sommet = médiane des Clustering coeff s = nb liens de (s) / nb de liens possibles dans (s) s = E( (s))/(k s ²/2)

8 8 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Modèles de Small Worlds

9 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Construction de réseaux sociaux Existence dun espace social, réseau social défini de manière exogène (graphes spatiaux) Pb : quel espace ? Quelle métrique ? Graphes relationnels : –Un réseau social peut être exprimé uniquement par ses liens (sans espace sous-jacent) –Existence dune relation = f (relations pré-existantes) réseau social défini de manière endogène Images : Caveman World, Solaria, réseaux réels entre les deux…

10 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Hypothèses faites, limitations Graphes pris en compte : –Liens non dirigés –Non pondérés –Non multiplexes –Graphes non complets –Graphe connexe –Sparseness condition : taille(G)<

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12 Modèle : définition Une variable pour balayer [caveman, solaria]

13 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Modèle : explication M i,j = nb de sommets adj à i et j p << (n/2) M i,j /k = part de réseau perso commun = importance du réseau commun pour la création dune nouvelle relation

14 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Le cas = 0 Nouvelles connections déterminées uniquement par les relations existantes Graphe dépend énormément du graphe de départ choisi (substrat)

15 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Need for a substrate Si pas de graphe de départ, 1ers liens aléatoires puis clusters déconnectés => caveman Possibilités : –Ajouter connections a posteriori, augmenter p ????

16 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001

17 Substrat initial Structure de base doit être minimale et aucun sommet ne doit avoir un statut particulier => anneau seule possibilité !!! Quelle relation entre et L et ?

18 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Length & clustering properties

19 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Interprétation Pour L : après transition : equiv à random graphs Interprétation : augmentation de taille des clusters puis connexions des clusters Conjecture : il existe une classe de graphes avec L equiv a random graphs et highly clustered

20 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Substrat grille

21 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Cayley tree

22 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Caylee tree bis…

23 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Random substrate minimally connected

24 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Modèle : définition et motivations Quand =0, prop dominée par celle du substrat model => [ring => random graph] Substrat 1-lattice avec k voisins On bouge les liens avec la proba

25 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Algo modèle Algo modèle Chaque sommet i est choisit à tour de rôle, ainsi que la relation à son plus proche voisin dans le sens des aiguilles dune montre Si random création du lien (i,j) = 0 => 1-lattice, =1 => random graph Modèle est k-régulier

26 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 : propriétés length & clustering : propriétés length & clustering

27 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Shortcuts Rang R(i,j) = longueur du plus court chemin entre i et j en enlevant le lien (i,j) Lien de rang 2 = triade Un lien de rang r >2 = shortcut = fraction des relations qui sont des shortcuts

28 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001

29 Contraction Contraction quand une paire de sommets non connectés ont un et un seul voisin en commun = fraction des relations qui sont des contractions

30 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001

31 vs. vs.

32 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 vs. vs.

33 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Interprétations Pour très petit création de shortcut très rare => très petit Quand augmente, shortcut de – en – rare équivalent à, désordre dans une grille ordonnée équivalent à création de shortcuts Quand ou augm. On tend vers random graphs Random graphs = élevé, petit Small World graphs = L faible et élevé

34 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 L pour diff. substrats en fonction de L pour diff. substrats en fonction de

35 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 pour diff. substrats en fonction de pour diff. substrats en fonction de

36 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 model model L p/r à L randomGraph plus important que L mesure ça… et autres modèles ne permettent pas dexplorer => -model 1-lattice au départ de degré k, On fixe On bouge les liens comme dans -model + contrainte (kn)/2 doivent être des shortcuts

37 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Model : algo répété (kn)/2 fois Model : algo répété (kn)/2 fois On choisit sommet u au hasard On choisit v voisin de u / u et v ont un ami commun On efface (u,v) On choisit w au hasard / u et w nont pas damis communs On ajoute le lien (u,w) Modèle est k-régulier

38 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 L pour model

39 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 pour model pour model

40 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Complexité structurelle C = déviation moyenne de R (rang des liens)

41 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Cas réels : Oracle de Bacon Kevin Bacon Bacon Number Caractéristiques : –n = –k = 61 –L = 3.65 – = 0.79 – = et = 0.166

42 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Exploration des données Graphe bien défini, 90% des acteurs dans une même composante connexe Graphe suffisamment large et computable 1 film = sous-graphe Pas de shortcuts…(film avec seulement 2 acteurs) plutôt des contractions (acteurs pivots liant 2 groupes dacteurs)

43 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Acteurs pivots… Pivots culturels (Bruce Lee entre ciné asiatique et Hollywood) Pivots temporels (Eddie Albert lie Humphrey Bogart, Marlon Brando, John Travolta et Kevin Bacon) Pivots de genre : –Nicholas Cage comédie (raising arizona) &suspense (kiss of death) –Mel Gibson action (arme fatale) &drame (Hamlet)

44 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Autres cas réels Oracle de Bacon = small world Autres cas : –Erdös Number –Réseau électrique américain (propriété Small World mais violation de sparseness condition) –Système nerveux du lombric (petit mais par extrapolation equiv à Small World)

45 45 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Dynamics in (static) networks Est-ce que les dynamiques changent quand on choisit un Small World graph ???

46 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Spreading diseases : intro 3 sous-population : –Susceptible (S), non atteints –Infectious (I), infectés et contagieux –Removed (R ), immunisés ou morts T i et T r durée des états I et R = proba quun élément I infecte un de ses voisins Cas particuliers : –T r = permanent-removal dynamics –T r < T max temporary-removal dynamics (Tmax = durée simul)

47 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Permanent-removal dynamics

48 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Permanent-removal dynamics

49 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Temporary removal dynamics

50 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Temporary removal dynamics(2)

51 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Results disease spreading Nature de lattracteur dépend de la topologie Le temps de contagion dépend de la topologie (L) D.W. « no generally applicable relationship between structure and dynamics seems evident… »

52 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Prisoner dilemna 2 prisonniers accusés du même crime sont mis dans 2 cellules différentes, ils peuvent soit se taire, soit vendre lautre et recevoir une peine plus faible Meilleure stratégie : trahir dans tous les cas… Dilemme du prisonnier itéré (fini, infini) Meilleure stratégie : coopérer jusquà la dernière itération Spatial prisoner dilemna

53 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Generalised Tit-for-tat Param dureté h (entre 0 et 1) Pour chaque joueur : –Si taux de coop dans son voisinage h il coopère, sinon il trahit –h = 0 il coopère tout le temps –h = 0.5 généralisation du cas à deux joueurs Scheduling asynchrone (diffusion + rapide)

54 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Generalised Tit-for-tat (2)

55 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 results Coopération très sensible à Dans random graphs faible => chaque coop joue tout seul, même pour taux de coop initial élevé il peut se faire bouffer Quand augmente le voisinage est plus représentatif de létat global (la taille effective de la population avec laquelle le joueur interagit augmente)

56 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Win-stay Lose-shift Si PayOff(i) moyenne des payoff de son voisinage, il garde sa stratégie (coop ou trahir) Sinon il change On introduit 1 coop i dans un monde de traîtres 2ème tour PayOff(i) i trahit et V(i) trahit Mais PayOff(V²(i))

57 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Win-stay Lose-shift(2)

58 Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001 Conclusion & limitations Un potentiel énorme Une première pour la prise en compte de la structure sociale dans Prisoner Dilemna ou CA… Des limitations : –Est-ce quon est toujours dans le cas dun small-world ? –Tous les individus sont semblables tous les liens sont semblables –Pas de dynamiques sur la structure sociale


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