Sûreté et validation des calculs numériques

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1 Sûreté et validation des calculs numériques
GT identification Sûreté et validation des calculs numériques GT identification /09/2003 Suzanne LESECQ Laboratoire d’Automatique de Grenoble UJF UMR 5528

2 Plan Introduction Quelques exemples simples… Les flottants Précision d’un résultat … Amélioration de la stabilité Moindres carrées … Estimation de la précision Conditionnement Méthode stochastique (RFPA) Amélioration de la précision Conclusion Bibliographie

3 Analyse de la sensibilité et de la précision
… ???

4 Quelques exemples simples … (Algorithme instable)
Équation 2nd degré Numérique classique Théorique x1 e-10 x2 si b>0, x₂=((-b-√(b²-4ac))/(2a)) sinon x₂=((-b+√(b²-4ac))/(2a)) x₁=(c/(ax₂)) Numérique stable Théorique x1 e-010 e-10 x2

5 Quelques exemples simples … (Algorithme instable)
Intégration Démo

6 Quelques exemples simples …
2 difficultés fondamentales Somme de 2 nombres d’ordre de grandeur très différent :  « absorption » Exemple : 1.0 1020 = 1.01020 Soustraire 2 nombres proches  « élimination catastrophique » Exemple :  100 = 10-7 résultat avec 1 seul digit significatif !!! Démo Hilbert : calcul déterminant = pas de sens en machine !!!

7 Quelques exemples simples …
Observabilité bioprocédé, benchmark COST624 matrice A(13*13) matrice C(2*13) Matrice d’observabilité Max(size(O(C,A))*Max(svd)*eps Nature cyclique naturellement mal conditionnée

8 Quelques exemples simples …
Matrice de Rosenbrock ( R ) Véritable difficulté à observer… Max(size(R))*Max(svd)*eps Formes canoniques Max(svd)*eps ? Non décidable !

9 L’ensemble des flottants F
Raisonnement En précision infinie (C ou R) En base  = 10 Calcul en précision finie (ensemble F) En base  = 2 Propriétés non conservées associativité, distributivité Exemple : ?

10 L’ensemble des flottants F
Norme IEEE Hiérarchie de type Clôture des opérations (1 résultat pour chaque opération) Reproductibilité des calculs et « arrondi exact » (+, -, , /, ) s exposant mantisse F (a  b)th fl(a  b) a, b  F type taille mantisse exposant Précision machine Domaine de variation simple 32 23+1 8 2-24  1038 double 64 52+1 11 2-52  =   10308 Fonctions « élémentaires » sin, cos, exp, log ? Exemple (thèse D. Dufour, Laboratoire de l'Informatique du Parallélisme) 1 1+

11 Précision d’un résultat … (1/4)
Précision du résultat numérique ? Stabilité de l’algorithme Conditionnement du problème Stabilité numérique Conditionnement

12 Précision d’un résultat … (2/4)
Relation entre erreurs directe et inverse Sensibilité de la solution à des petites variations des données initiales Prévoir, estimer la précision du résultat Estimation du conditionnement Méthodes directes : Arithmétique Stochastique ou autre… “Presque résolu” le problème posé Erreur « inverse » « directe » y y + y x = f(y) Calculé Résout le “presque problème” posé

13 Précision d’un résultat … (3/4)
Stabilité Numérique Algorithme déjà étudié ? Problèmes potentiels simples « Bonnes » bibliothèques, formulations a+b ? a-b ? … Sommes, Produits scalaires Outils spécifiques : PRECISE, CADNA Filtre de Kalman Intégration

14 Précision d’un résultat … (4/4)
précision    y Algorithme inverse-stable précision    eps … { Résultat numérique , précision } Quelle confiance accorder à un résultat ? Combien de décimales exactes ? Prendre en compte la précision des mesures ? Influence de la précision du calculateur ? Le calcul a-t-il un sens ? Le problème est-il soluble sur la machine ?

15 Amélioration de la stabilité des algorithmes (1/4)
Bibliothèques de calculs scientifiques Slicot, lapack, blas … Harwell, Imsl, Nag TOMS le site netlib.org  le site niconet  les livres de N. Higham, A. Bjork, Daumas-Muller, Daumas-de Dinechin-Tisserand, Barraud …  toolboxs développées par des numériciens… (INRIA, LIP6,…) Parfois, nécessité de développer un code sur mesure …

16 Amélioration de la stabilité des algorithmes (2/4)
Moindres carrés Exemple 1 : m=6 et n=4 Exemple 2 : m=10 et n=5  = 7.2e+009 standard factorisée valeurs théoriques e e e+000 e e e+000 e e e+000 e e e+000 e e e+000  = 8.8e+005 standard factorisée valeurs théoriques e e e+000 e e e+000 e e e+000 e e e+000

17 Amélioration de la stabilité des algorithmes (3/4)
Factorisations de Cholesky, LU, SVD Mise sous forme Schur, Schur généralisée Algorithme du QR Algorithme du QZ

18 Amélioration de la stabilité des algorithmes (4/4)
Filtre de Kalman Forme factorisée Approches ensembliste ellipsoïdale [Durieu et al., 1996] t t+1 Forme factorisée [Lesecq et al., 2002] =

19 Précision : quels moyens pour l’estimer ? (1/9)
Conditionnement  Dépend du problème ! Évaluation dépend de la solution !! Difficulté de calcul !!! Majorants… … Pessimisme e-12 e3 ??? … Autres approches ?

20 Précision : à partir du conditionnement (2/9)
Des cas « simples » Des problèmes moins simples Équations de Sylvester AX+XB=C Plusieurs estimateurs Des problèmes difficiles Équations de Riccati … et tous les autres !!!

21 Précision : Sylvester (3/9)
Moyenne sur les différentes composantes Obtenu à partir de (Ghavimi-Laub) (1995) Pessimisme

22 Précision : approche probabiliste – 1 (4/9)
Pourquoi ? Idée sous-jacente Chiffres significatifs exacts (Chiffres/bits) Qualité du résultat numérique Estimation de l’erreur, pas de majorant Méthode indépendante de l’algorithme 1974… …1992… x2 x1 x 8 6 3 2 1. 7 5 ^

23 Précision : approche probabiliste – 2 (5/9)
Modélisation (Approximation au 1er ordre en 2-p) [Chesneaux] Arrondi aléatoire  i v.a.i. uniformément distribuées [-1,1] Test de Student : Résultat informatique Dépend des données Perdu lors des arrondis Nombre de bits de la mantisse Moyenne Écart type Optimisme 1 chiffre = 0.54 ‰ Pessimisme de 1 chiffre = 29 %

24 Précision : approche probabiliste – 3 (6/9)
Programmation des tests ? Même séquence de calculs Arithmétique stochastique, zéro informatique (cf. déterminant) Implantation CADNA Boite à outils Matlab RFPA Non dédiée « Maths Applis » Type rfpa > type double Surcharge d’opérateurs Fonctions built-in Objectifs Combien de décimales « justes » ? Précision/imprécision des données en entrée 1.5   en machine !!! Codage des algorithmes : perte de précision ? Inst. I+1 Inst. II1 Inst. I Test i OUI NON

25 Précision : approche probabiliste – 4 (7/9)
Application : équation de Sylvester AX+XB=C Moyenne sur les différentes composantes

26 Précision : approche probabiliste – 5 (8/9)
Site CADNA add-on à certains compilateurs Fortran/C (LINUX) Définition de variables stochastique Surcharge d’opérateur Fichier « trace »

27 Précision : approche probabiliste – 6 (9/9)
Application : Digestion anaérobie (SMC-LAG) Système raide Mal conditionné Modèle algébro-différentiel Dimension 41 (21 EDO + 20 eq. alg.) Simulateur : instabilité ? Réécriture Méthodes d’intégration ad-hoc Pertes de précision « Localisées »

28 Amélioration de la précision (1/3)
Raffinement itératif (portable !) [Barraud, 2002] Calcul du résidu non trivial produit scalaire arithmétique en précision finie Produits scalaires en précision étendue CONVERGENCE de l’algorithme Solution exacte Problèmes linéaires

29 Améliorer la précision (2/3)
Eliminer les cas triviaux oui non FIN fullp X

30 Améliorer la précision (3/3)
Exemple 1 xnum = A\b xexact = solution exacte (formelle) du problème en machine xthéorique= solution exacte du problème posé Résidu standard : b-Ax s = 10, c = 1e-8 : non représentable en machine s = 10, c = 1e+8 : représentable en machine Exemple 2 Interprétation de “résidu = 0” ?

31 Stabilité des algorithmes Bonnes bibliothèques Sites web
Conclusion Stabilité des algorithmes Bonnes bibliothèques Sites web Programmes spécifiques Précision Conditionnement Systèmes équations linéaires Sylvester/Riccati Développement pour chaque problème… Approche probabiliste

32 Bibliographie

33