A.Faÿ 1 Recherche opérationnelle Résumé de cours.

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1 A.Faÿ 1 Recherche opérationnelle Résumé de cours

2 A.Faÿ 2 Liste des chapitres 1 Introduction 2 Eléments de théorie des graphes 3 Applications de la théorie des graphes en Recherche Opérationnelle 4 Programmation linéaire - méthode du simplexe 5 Phénomènes aléatoires

3 A.Faÿ 3 Chapitre 1 - Introduction n La R.O., un outil pour l aide à la décision n Fonction économique et contraintes n Une discipline transversale n Le domaine combinatoire : chemin optimal, ordonnancement, transport, affectation n Le domaine aléatoire : files d attente, gestion des stocks n Le domaine concurrentiel n Bibliographie

4 A.Faÿ 4 Chapitre 2 Eléments de théorie des graphes n Structure simple, approches multiples n Sommets, arcs, adjacence, degrés… n Graphe partiel, sous-graphe, graphe complémentaire n Les représentations dun graphe et les matrices associées n Chaîne, chemin, cycle, circuit, connexité ; arbres n Le problème du plus court chemin : définition, exemples, algorithmes

5 A.Faÿ 5 Chapitre 3 - Applications de la théorie des graphes n Programmation dynamique n Problèmes d ordonnancement n Flots et réseaux de transport - Algorithme de Ford-Fulkerson n Problèmes d affectation n Problèmes de transport

6 A.Faÿ 6 La programmation dynamique n Principe : « toute partie dun chemin optimal est elle-même optimale » n Exemple : projet de voie ferrée entre A et L n Démarche générale pour la construction du graphe n Calculs séquentiels et élimination de sous-chemins A B C D E F G H I J K L 0 0 5 6 7 8 4 1 9 8 5 7 2 6 3 4 8 4 6 5 3 7

7 A.Faÿ 7 La méthode PERT n Qu est-ce quun ordonnancement ? n Les méthodes : GANTT, MPM, PERT n Construction du diagramme PERT n Calendrier des étapes : arrivée au plus tôt/tard n Calendrier des tâches et calcul des marges La signification des marges n Modification de contraintes

8 A.Faÿ 8 Flots et réseaux de transport n Définition et construction dun réseau de transport. La loi de Kirchoff n Flot au jugé (exemple) n Recherche d un flot complet 1234SE [4] [2] [3] [1] [4] [7] 2 3 1 1 4 1 1 2 4 6

9 A.Faÿ 9 Algorithme de Ford-Fulkerson n Marquer lentrée du réseau avec +, puis : - si i est marqué et (i,j) non saturé, marquer j par +i - si j est marqué et si le flot est non nul sur (i,j), marquer i par -j n Si la sortie ne peut être marquée : le flot est maximal Sinon prendre une chaîne de sommets marqués de E à S et calculer d 1 et d 2 puis d = min(d 1, d 2 ) avec d 1 = min {c(i,j)- (i,j), arcs parcourus dans le sens (i,j)} d 2 = min { (i,j), arcs parcourus dans le sens (j,i)} ; augmenter de d le flot des arcs de la1° catégorie diminuer2° n Effacer le marquage précédent et recommencer

10 A.Faÿ 10 Optimalité du flot obtenu n Coupe associée à un ensemble L connexe de sommets (E L, S L) - Capacité de la coupe n Propriété : (E) c(L) pour toute coupe L n Si L 0 est lensemble des sommets marqués lors de la dernière itération de F.F., alors : - les arcs sortants sont saturés : 2 (L 0 ) = c(L 0 ) - les arcs entrants sont à flot nul : 1 (L 0 )= 0 - (E) = (S) = c(L 0 ) est maximal

11 A.Faÿ 11 Problèmes d affectation n Définition n Résolution par la méthode hongroise : - Phase 1 : obtention initiale de zéros - Phase 2 : recherche d une solution de coût nul - Phase 3 : recherche de la solution optimale 3.1 marquage des lignes et des colonnes 3.2 ajout/soustraction du plus petit élément non rayé 3.3 retour à la phase 2 n Autre résolution à l aide d un réseau de transport

12 A.Faÿ 12 Problèmes de transport n Définition n Obtention d une solution de base : - méthode du coin Nord-Ouest - méthode de la différence maximale (Balas- Hammer) n Calcul de la solution optimale - méthode du stepping-stone n Autre résolution à l aide d un réseau de transport

13 A.Faÿ 13 Programmation linéaire n Définition n La méthode du simplexe

14 A.Faÿ 14 Phénomènes aléatoires n Files d attente n Gestion de stocks

15 A.Faÿ 15 Phénomènes aléatoires n Files d attente n Gestion de stocks