Le meilleur point de rencontre

Sujet : Trois personnes sont dans un grand champ plat, sans obstacles, et veulent se rejoindre le plus rapidement possible. Elles avancent toutes à la même vitesse. A quel endroit doivent– elles se rejoindre? Que se passe-t-il s'il y a 4 personnes?

Convention : on note Z le point de rencontre cherché

Sommaire : 1. Trois personnes assimilées à trois points A, B, C. 1.1 Etude de cas particuliers A, B, C sont alignés Triangles rectangles Triangles équilatéraux. 1.2 Généralisation Quelques propriétés du triangle Triangle avec ses trois angles aigus Triangle avec un angle obtus. 2. Quatre personnes assimilées à quatre points A, B, C, D. 2.1 Quadrilatères avec un angle rentrant. 2.2 Quadrilatères particuliers Carrés/rectangles Parallélogramme Exploration avec des quadrilatères quelconques Généralisation. 3. n points.

propriété : Si on assimile deux personnes à deux points A et B, alors le point de rencontre Z est le milieu du segment AB.

Démonstration : La personne A se déplace à la vitesse vA, sur une distance dA pendant la durée dA. La personne B se déplace à la vitesse vB, sur une distance dB pendant la durée dB. Puisque A et B se déplacent à la même vitesse, en partant au même instant pour se rencontrer, vA = vB et tA = tB. Comme vA = dA : tA et vB = dB : tB, on en déduit que dA = dB. Donc le point Z est à égale distance des points A et B. Si un point est égale distance des extrémités d'un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.

Le point Z est sur la médiatrice du segment AB. Notons I le milieu de AB. Si Z est distinct de I, alors le triangle AZI est rectangle en I. AZ est l'hypoténuse de ce triangle. Donc AZ > AI. Or c'est impossible car AZ doit être la plus courte distance possible. Donc Z est le milieu I de AB.

1. Trois personnes assimilées à trois points A, B, C. 1.1 Etude de cas particuliers A, B, C, sont alignés A B C Dans le cas où A, B, C sont alignés, le point de rencontre est le milieu des deux points les plus éloignés ( ici A et C ). En effet : Z doit être placé de telle façon que ZA,ZB et ZC soient minimales. On choisit le segment [AC](le plus long) : en plaçant Z au milieu du segment [AC], on a des distances ZA et ZC qui sont les plus courtes possibles. Comme ZB<ZA et ZB<ZC, ce point est le point de rencontre cherché. Dans le cas de 3 points alignés, Z est donc le milieu des 2 points les plus éloignés.

1.1.2 Triangles rectangles Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Appelons I le milieu de l'hypoténuse [BC]. On a : IA = IB = IC = x, avec IB et IC qui sont les plus courtes possible. Soit M un point tel que : IM<IA alors : MB ou MC sera supérieur à x. donc la position de M ne sera pas meilleure que I. De même si AM>IA. Dans le cas du triangle rectangle, Z est le milieu de l'hypoténuse.

1.1.3 Triangles équilatéraux On considère le cercle circonscrit à ABC de centre O et de rayon x. OA = OB = OC = x. Les cercles de centres A, B et C, de rayon x se coupent en O. Il n'y a pas d'autres points communs aux trois disques tracés. Si on essaie de réduire la distance OA, par exemple, et de trouver un point M tel que MA<OA, l'une des deux autres distances ( MB ou MC) ou même les deux sera plus grande.

Plus précisément : appelons S le secteur, intersection entre le triangle, le disque de centre B de rayon x et le disque de centre A de rayon x. Si M appartient à S alors : MA OM donc O est meilleur que M. Prenons maintenant T le secteur du triangle, intersection du disque de centre B de rayon x avec l'extérieur des disques de centres A et C et de rayon x. Si M appartient à T alors : MB OB et MC>OB donc O est encore meilleur que M. En répétant cette opération dans tous les secteurs similaires, on prouve que O est le meilleur point de rendez-vous. Dans un triangle rectangle, le point Z est donc le centre du cercle circonscrit.

A, B, C son trois points non alignés Si A est à l'extérieur du cercle de diamètre BC, Alors (AB) ou (AC) coupe le cercle en un point H. 1.2 Généralisation Quelques propriétés du triangle

Supposons que (AB) et (AC) ne coupent pas le cercle, Alors,(AB) et (AC) seraient tangentes au cercle de diamètre BC. (AB) est perpendiculaire à (BC) et (AC) est perpendiculaire à (BC) donc, (AB)serait parallèle a (AC).(AB) et (AC) seraient confondues ce qui est impossible.

Si A est à l'intérieur du cercle de diamètre BC, Alors l'angle BAC est obtus. L'angle BHA est un angle droit et dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus fait 90°: BAH<90° Donc 180°- BAH >90° BAC> 90°

Si A est à l'extérieur du cercle de diamètre BC, Alors l'angle BAC est aigu. L'angle BHA est un angle droit et dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus fait 90°: BAH<90°et BAH=BAC

Conséquence: Si l'angle BAC est aigu alors le point A est à l'intérieur du cercle de diamètre BC. Si l'angle BAC est obtus alors le point A est à l'extérieur du cercle de diamètre BC.

Lorsque trois personnes forment un triangle dont l'angle opposé au plus grand côté est aigu : Triangle avec ses trois angles aigus Si BAC est aigu, A est extérieur au cercle de diamètre [BC]. Donc AI > BI et AI > CI. Donc le point de rencontre n'est plus le milieu de [BC]. Le cercle recherché n'est plus le cercle de diamètre [BC].

Le cercle circonscrit au triangle est le plus petit cercle contenant A,B et C. Z est donc le centre du cercle circonscrit au triangle A On peut faire un raisonnement identique avec un triangle équilatéral.

Triangle avec un angle obtus Lorsque trois personnes forment un triangle dont l'angle opposé au plus grand côté est obtus, les personnes doivent se rejoindre au milieu du côté opposé à cet angle obtus. Si BAC est obtus, A est à l'intérieur au cercle de diamètre [BC]. Donc AI < BI et AI < CI. Donc Z est le point de rencontre de B et C. Donc Z est le milieu de BC.

2. Quatre personnes assimilées à quatre points A, B, C, D Quadrilatères avec un angle rentrant.

Nous cherchons toujours le plus petit cercle contenant A, B, C et D. Ici, D étant à l'intérieur du cercle passant par A, B et C, D n'intervient pas. Nous sommes donc revenu au cas de 3 points : A,B et C. Z est donc soit le milieu du plus long côté de ABC soit le centre du cercle circonscrit à ABC

2.2 Quadrilatères particuliers Carrés et rectangles Soit ABCD un carré, il est formé de deux triangles rectangles (ABC et ACD). On a démontré dans le cas du triangle rectangle que le point de rendez vous est le milieu de l'hypoténuse de chacun des deux triangles qui est le même pour les deux. Donc Z est l'intersection des diagonales du carré.

Soit ABCD un rectangle. On applique le même raisonnement que pour le carré. Donc Z est le milieu des diagonales du rectangle.

2.2.Parallélogramme Si les 4 personnes forment un parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent donc en leur milieu.

Dans un parallélogramme les angles consécutifs sont supplémentaires, il y a donc une paire d'angles opposés obtus. Dans notre cas ici, ce sera les angles de sommets B et D. Le meilleur point de rendez-vous de A,B et C est donc le milieu de [AC] et Le meilleur point de rendez-vous de C,D et A est aussi le milieu de [AC]. Ce point est donc le point Z. Dans un parallélogramme, le point Z est le point d'intersection des diagonales.

Nous avons aussi cherché s'il y avait une règle pour tous les quadrilatères. Nous avons d'abord pensé que si l'on enlevait le sommet le plus proche du point d'intersection des diagonales on obtenait un triangle. On pouvait ensuite se référer aux cas des triangles que nous avions déjà trouvés. Mais au bout de quelques temps nous avons trouvé des contre exemples ; il nous fallait donc être plus précis dans nos recherches.

2.3.1Exploration avec des quadrilatères quelconques On considère un quadrilatère ABCD donc [AC] est la plus grande diagonale. 1er cas: les angles aux sommet B et D sont obtus. On peut distinguer deux triangles, ABC et ADC dont les angles opposés au plus long côté sont obtus. Si on se réfère au cas des triangles avec un angle obtus, le point de rendez-vous de chaque triangle est le milieu du plus long côté. Donc Z est le milieu de [AC]. 2ème cas : l'angle au sommet D est droit et l'angle au sommet B est obtus. On peut distinguer deux triangles : ABC et ACD; l'un est un triangle avec un angle obtus et l'autre un triangle rectangle. Si on se réfère aux cas de ces deux triangles, le point de rendez-vous est le milieu du plus long côté. Donc Z est le milieu de [AC]. Même raisonnement si les angles aux sommets B et D sont droits

Les angles aux sommet B et D sont obtus ou droits : Z est le milieu de [AC].

Pour les cas suivants nous avons cherché avec géogébra Ce ne sont que des conjectures

2.3.2.Généralisation Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Le but est de se ramener au cas des triangles. Prenons 3 points de ce quadrilatère. Pour chacun des triangles formés par ces 3 points on peut trouver le point Z correspondant. ABC ABD ACD BCD Z1Z1 Z3Z3 Z4Z4 Z2Z2

On mesure deux distances: 1- La distance du point de rencontre du triangle au quatrième point. 2- La plus longue distance entre le point de rencontre et un des sommets de triangle. On compare ensuite ces distances en on obtient deux cas de figure: a) La distance 1 est la plus longue, le point n'est pas correcte, il faut refaire l'opération avec un autre triangle b) la distance 1 est la plus courte, on a trouvé le point de rencontre (le 4ème point ne retarde pas la rencontre.

Z1Z1 Z3Z3 Z4Z4 Z2Z2 Par exemple ici, notons : ABC ABD ACD BCD Prenons ABC supposons que Z 1 soit le centre du cercle circonscrit a ABC : On compare : DZ 1 avec AZ. Si DZ 1 < AZ, alors Z 1 est notre point de rendez-vous. Si DZ 1 > AZ, alors on passe à un autre triangle, et on répète l'opération.

Pour 5 points : Il faut trouver les cinq poins de rendez-vous des cinq quadrilatères avec la méthode indiquée avant. On mesure deux distances: 1- La distance du point de rencontre du quadrilatère au cinquième point. 2- La plus longue distance entre le point de rencontre et un des sommets du quadrilatère. On compare ensuite ces distances en on obtient deux cas de figure: a) La distance 1 est la plus longue, le point n'est pas correcte, il faut refaire l'opération. b) la distance 1 est la plus courte, on a trouvé le point de rencontre.

Soit n un nombre entier supérieur à 4 Pour n points on peut former n polygones P i à n -1 côtés qui nous donneront n -1 point Z i qu'il faudra relier avec le nième point : cette distance sera comparer avec la plus grande distance entre Z i et l'un de n -1 sommet du polygone P i. Cette méthode peut s 'avérer très longue et le problème reste de savoir si les essais successifs ont une fin et que l'on trouve enfin un point Z qui convient. 3- vers un problème à n points

En utilisant géogébra on a pu essayer avec 4 et 5 points et on a l'impression que la réponse est oui.

Ce sujet vous a été présenté par : -Marion Debar, Sophie Juan et Baptiste Blais du collège Charles Péguy de Palaiseau. - Fleur Guillemin, Nawel Missenard, Julie Hosseini et Pierre Moller du collège Alain Fournier d' Orsay Merci aux chercheurs qui nous ont accompagnés : Nina Aguillon et Olivier Coulaud ainsi qu'à nos Professeurs de Mathématiques madame Damongeot et madame Ferry.