Construire le nombre à la maternelle IEN maternelle Créteil - Josette Denizart- Annie Talamoni- Annette Breiloux 1

Éléments institutionnels Historique : du calcul à des activités mathématiques complexes Le socle commun de connaissances et de compétences: les nombres et le calcul (les 4 opérations et leur sens) Les programmes 2008: à la maternelle les nombres dans des situations ou ils font sens Le plan opérationnel de lutte contre la difficulté scolaire : construire progressivement dès la maternelle les compétences du socle Histoire : salles d’asile et à partir de 1881 dans les écoles maternelles, les mathématiques ont toujours été présentes sous la dénomination de calcul, peu de changements notables jusqu’en 1977 l’on met en en évidence de l’importance de l’activité du sujet dans l’assimilation des connaissances. On valorise alors de la construction de structures logiques au détriment de l’étude du nombre qui n’est plus évoquée que sous la forme d’activités pré numériques. A l’école maternelle, il ne s’agit pas de construire un savoir mathématique formel selon une progression linéaire rigide. Il s’agit de proposer de multiples situations référées à des contextes (jeux, défis..) qui permettent de construire à leur rythme des connaissances ( le rythme n’est pas le simple accompagnement du développement de l’enfant cf. Vygotsky guider le développement ») Les programmes 2008, en soulignant la liberté pédagogique posent la question de l’accès à la complexité et de la relation entre résolution de problèmes mathématiques et l’acquisition d’automatismes. Les connaissances scientifiques sur les performances mathématiques ont évolué, l’idée d’une capacité mathématique unique et homogène n’a pas résisté à l’étude fine des troubles et aux approches de la neuropsychologie. Les activités mathématiques apparaissent comme complexes intégrant des composantes diverses qui nécessitent chacune une relative maîtrise plus une intégration. (en lecture cohortes ELFE), des études longitudinales montrent qu’à l’entrée au CP un enfant a son destin scolaire « tracé » : intervenir dès la maternelle (cf.conférence Fayol) Le socle commun de connaissances et de compétences, programmes, plan de lutte (cf: dossier pédagogique p 2 et 3) 2

Définitions du nombre Des évocations pour l’adulte Définition scientifique Définition pour l’élève d’élémentaire Définition pour l’élève de maternelle Des évocations pour l’adulte: Compter : quantité, calcul, chiffres, ensemble de nombres, rarement résolution de problèmes Définitions scientifiques : chez les Grecs : un nombre s’identifie à une quantité, à la mesure d’un segment, d’une aire, d’un volume et au rapport de telles mesures ( pi) en mathématique actuelle: un nombre est un élément d’un ensemble particulier satisfaisant à des axiomes précis. Pour un élève du primaire, le nombre est défini par ses fonctions, la définition est proche de la définition grecque. À l’école maternelle, la notion est en construction , elle s’appuie sur deux fonctions essentielles ( pas sur l’ensemble des fonctions du nombre) Mémoriser une quantité ou une position et Anticiper des résultats dans des situations non encore réalisées. Cette construction va s’appuyer essentiellement sur des situations créant le besoin du nombre et en donnant à l’élève des outils pour utiliser les nombres. Cette construction utilise simultanément les deux entrées. 3

Arithmétique : 2 dimensions La dimension analogique : le sens élémentaire des quantités qui permet le traitement de manière approximative La dimension symbolique : culturelle qui permet après apprentissage de traiter de manière précise les quantités Les apprentissages scolaires s’inscrivent dans la dimension symbolique. Les notions se construisent par le biais de l’intervention scolaire à partir des acquisitions spontanées des enfants,(en appui sur). Sur ce point, les écarts dus aux différences socio culturelles sont aussi significatifs qu’en langage. 4

Définition du nombre pour l’élève de maternelle Prendre conscience des possibilités que donne le nombre….. Un nombre sert à : mémoriser une quantité ou une position, communiquer une information, comparer les quantités, avec ou sans la présence explicite de celles-ci, anticiper des résultats dans des situations non encore réalisées. Pour l’élève de maternelle : il est important de donner du sens aux nombres à travers la mise en œuvre d’activités fonctionnelles, c’est-à-dire, des activités à travers lesquelles les enfants vont pouvoir prendre conscience des possibilités que nous donne la connaissance des nombres. Ne pas se limiter à l’ acquisition de la comptine numérique. Les élèves doivent comprendre à quoi servent les nombres. Pour donner du sens aux nombres, il est intéressant de les utiliser dans des problèmes articulés avec des supports ludiques et des situations vécues. Les tâches de comparaison, d’égalisation, de distribution ou de partage sont à envisager de manière perceptive avec les plus jeunes, puis en utilisant des procédures non numériques (correspondance terme à terme, distribution un à un d’objets), des procédures de comptage (en recomptant la collection) ou des procédures basées sur des « faits numériques » , c’est-à-dire des résultats mémorisés comme des doubles (5 et 5, c’est 10) ou des compléments (7 pour aller à 10, il faut 3). 5

Ce que nous disent les programmes A la fin de l’école maternelle, l’élève est capable de : Utiliser des repères dans la journée, la semaine et l’année Situer des évènements les uns par rapport aux autres Dessiner un rond, un carré, un triangle Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités Mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus Associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée Se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi Se repérer dans l’espace d’une page Comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et de relations dans le temps et dans l’espace 6

Le nombre comme objet (1) Trois aspects liés à la définition même du nombre qui doivent être compris par les enfants : CARDINALITE : le nombre d’éléments (ou unité) d’un ensemble (ou collection). DESIGNATION : symbole propre à «un objet» ORDINALITE : rang ou position d’un élément d’un ensemble. Cardinalité: Situations permettant de créer des collections équipotentes : L’enfant peut les réaliser sans utiliser le nombre dans un premier temps: Ex: 5 voitures, aller chercher le nombre de voyageurs pour remplir le véhicule, pas plus pas moins. L’enfant peut utiliser la perception globale , la reproduction de la constellation , l’apparence des collections qui dominent la notion de quantité , cependant la consigne « pas plus, pas moins » le conduit quand même à prendre en compte la quantité, à utiliser la correspondance terme à terme , à confectionner parfois des collections intermédiaires…. Désignation: lorsque l’on écrit un nombre en chiffres, on ne code pas de l’oral. Lorsque l’on lit un nombre écrit en chiffres, on ne décode pas de l’écrit. Dans les deux cas , il faut chercher une correspondance dans un autre système ex : un numéro de téléphone, le numéro du maillot d’un joueur, une immatriculation de voiture, un code postal, une pointure de chaussures, la 2 comme numéro de la chaîne de télévision, etc… Ordinalité: Il s’agit de travailler l’ordre des nombres , il faut , souvent, connaître la comptine orale ou l’algorithme écrit si l’on travaille l’écriture chiffrée , donc conduire un travail simultané. Le travail sur le nombre objet d’un point de vue cardinal et ordinal peut se travailler en simultané : je suis sur une piste composée de 20 cases numérotés, je suis sur la case 11, je recule de trois cases ; où suis-je? 7

Le nombre comme objet (2) En référence aux compétences à acquérir : Cardinal comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; Ordinal et Nominal mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ; Cardinal et Ordinal dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; Nominal associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée. Cardinal : De nombreux jeux mathématiques offrent des situations de comparaison de collections. En PS, avons-nous assez d’assiettes pour donner à manger à chaque poupée ? En MS on introduit des situations rendant obligatoire l’utilisation du nombre en raison de l’éloignement des collections à comparer. En GS on confronte les élèves à des situations de comparaisons qui mobilisent les nombres dans des jeux mathématiques et problèmes de comparaisons de grandes collections (plus de 30 objets). Ordinal et nominal : en PS il s’agit d’imprégnation et répétition. On l’utilise pour dénombrer des enfants, des objets… On propose des jeux dont le but n’est que mémoriser la suite des mots : comptines numériques, faire réciter la comptine par la marionnette en faisant des erreurs… En MS et GS, on allonge la suite numérique. On démarre la suite à « n », puis en compte de 2 en 2, mais surtout on prend de plus en plus appui sur la suite écrite présentée sur la bande numérique. Cardinal et ordinal : en PS le nombre est abordé comme outil de communication pour caractériser une quantité d’objets. On dénombre une petite collection pour déterminer le nombre de feutres de couleur dont l’élève a besoin (une couleur par objet). En MS et GS on mobilise les situations de dénombrement dans des usages s’inscrivant dans des pratiques sociales qui permettent à l’enfant d’en comprendre le sens, gestion des présents/absents, constitution d’équipes, jeux mathématiques…Nominal : pour faciliter son appropriation, le nombre écrit est présenté dans la classe de manière permanente, sous forme de bandes numériques collectives et individuelles. En PS, une bande numérique de 1 à 6 associant écriture du nombre et configuration du dé, évoluant jusqu’à 12 en cours d’année. En MS de 1 à 12 en début d’année et évoluant jusqu’à 30. En GS, bande numérique de 1 à 30. Entre 1 et 12, écriture du nombre, décomposition à partir de groupes de six en utilisant les configurations du dé et décomposition à partir de groupes de cinq en utilisant les doigts de la main. 8

Les procédures qui permettent de construire le nombre Correspondance terme à terme : comparer le nombre d'éléments de 2 collections grâce à l'appariement (mettre en place le geste mental d’énumération), Subitizing : capacité à énoncer rapidement le nombre d’objets d’une collection. (reconnaissance immédiate de la quantité, nombre jusqu’à 4 ou 5). Dénombrement : c’est attribuer à une collection un symbole qui permet de conserver la mémoire de son cardinal : LE NOMBRE (« extraire de »), Correspondance terme à terme: c’est comparer le nombre d'éléments de 2 collections grâce à l'appariement. Ce geste vise essentiellement à mettre en place le geste mental d’énumération, c’est-à-dire d’apprendre à transformer, matériellement puis mentalement, un « tas » en « file ». Subitizing : C’est la capacité à énoncer rapidement, « d’un coup d’œil », le nombre d’objets d’une collection. (reconnaissance immédiate de la quantité, nombre jusqu’à 4 ou 5). Cette capacité ne nécessite pas que les éléments de la collection soient disposés de façon particulière Dénombrer : procédure, quelle qu’elle soit, qui permet de déterminer le nombre d’éléments d’une collection. […] D. VALENTIN Dénombrer c’est utiliser les mots nombres pour quantifier, pour donner le nombre d’éléments ou d’objets contenu dans une collection. » R. BRISSIAUD Le dénombrement fait appel à plusieurs concepts  : - le concept de collection : ensemble d’objets unis par une propriété commune (mis en place par des activités de tri) ; le concept de désignation : remplacer un objet par un symbole ; Et à des compétences : - L’énumération : l’élève doit pointer une et une seule fois tous les éléments de la collection. Cette compétence peut être travaillée indépendamment de la comptine et fait appel à diverses procédures. - Les procédures (pointage, déplacement..) sont dépendantes : de la nature de la collection de son organisation spatiale. Pour beaucoup d’élèves, ces procédures s’apprennent en dénombrant mais pour tous, il est important de concevoir des situations d’apprentissage. 9

Les pré stratégies de calcul(1) Pour deux quantités à «ajouter» : Recomptage: l’enfant dénombre depuis le début (directement, à partir d’un dessin ou d’une figuration mentale). Surcomptage: l’enfant, à partir de la première quantité continue la suite numérique en « pointant » les objets de la deuxième collection (effectivement ou mentalement). Les pré stratégies de calcul : Recomptage: pour deux quantités à « ajouter », l’enfant dénombre depuis le début (il fait comme si les collections n’en faisaient qu’une), il peut le faire directement sur les objets, si ceux-ci sont visibles, à partir d’un dessin qui « reproduit » chacune des collections ou encore à partir d’une figuration mentale. Surcomptage: dans le cas de deux quantités à ajouter, l’enfant a mémorisé la première quantité et continue la suite numérique en « pointant » les objets de la deuxième collection (effectivement ou mentalement). Si la connaissance de la suite numérique est nécessaire, elle n’est pas suffisante pour connaître et utiliser le nombre, elle peut même être associée par conditionnement aux situations de dénombrement sans qu’un rapport entre l’énumération des objets à décompter et l’énoncé de la comptine ne soit établi.

Les pré stratégies de calcul(2) Pour « enlever » une quantité d’une autre quantité. Décomptage : à partir de la première quantité, l’élève met sur ses doigts le nombre d’éléments à enlever et récite la comptine à rebours. Les difficultés rencontrées sont similaires au surcomptage. L’habileté à réciter la comptine à rebours ajoute un obstacle supplémentaire. Décomptage : double compteur voix et doigts, utilisé quand il s’agit « d’enlever » une quantité d’une autre quantité. La première quantité est mémorisée, l’élève met sur ses doigts le nombre d’éléments à enlever et récite la comptine à rebours. Les difficultés rencontrées sont similaires au sur comptage, avec, en plus, l’habileté à réciter la comptine à rebours. Les difficultés tiennent à la nécessité de coordonner plusieurs procédures cognitives : Énumérer tous les objets sans en oublier un, sans compter deux fois le même élément, Dire la suite des mots nombres, sans se tromper en associant bien à chaque objet le mot nombre et en s’arrêtant correctement, Énoncer le dernier mot nombre prononcé comme réponse à la question posée. On peut considérer que l’enfant construit assez tôt la notion de comptage mais qu’il ne peut accéder à une procédure efficace que lorsqu’il est capable de coordonner plusieurs opérations logiques et qu’il peut gérer sa mémoire de travail de façon à ce qu’il ne soit pas en surcharge cognitive. De nombreux éléments perturbateurs (données perceptives, contexte de l’interaction, type de questionnement.) peuvent interférer le comptage qui reste encore une procédure fragile à l’issue de la GS. Les performances en dénombrement sont instables chez le jeune enfant.

Des définitions Dominique VALENTIN Compter : réciter la suite numérique à partir de 1. Dénombrer : procédure permettant de déterminer le nombre d’éléments d’une collection. Calculer : terme réservé au travail sur les nombres et non sur les objets. Le terme « calculer» est réservé au travail sur les nombres et non sur les objets ; ce terme s’oppose ainsi aux termes « dénombrer » ou «compter », procédures qui ne peuvent se faire que sur les objets, qu’ils soient effectivement présents ou évoqués. » D. Valentin Le passage de stratégies de comptage à des stratégies de calcul est l’un des enjeux du cycle 2. 12

Le maître va guider l’élève dans la construction du nombre : En proposant : des situations créant le besoin du nombre, des outils pour utiliser les nombres, des situations pour le conduire à utiliser les fonctions du nombre. « … Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage ». Programmes 2008 Pour favoriser l’évolution des procédures des élèves, l’enseignant peut jouer sur deux variables : les nombres en jeu et les représentations utilisées (collections, constellations, écritures chiffrées, utilisation de matériel …) La construction progressive du nombre depuis la PS jusqu’à l’élémentaire articule étroitement les apprentissages et le développement des capacités logiques. La résolution de problèmes aussi variés que possible permet de donner du sens à un savoir faire technique (compter) qui est alors un outil stratégique de réponse aux questions posées. Il ne s’agit pas d’enseigner les nombres aux élèves de l’école maternelle mais de leur permettre de les utiliser pour résoudre un problème ou réaliser une production, en faire quelque chose afin que les mots et les signes qui les désignent s’imprègnent de sens. 13

1. En proposant des situations créant le besoin du nombre (1) Pour former des collections équipotentes En PS , l’élève peut former des collections équipotentes : dans un premier temps sans utiliser le nombre, par subitizing ou reproduction de la collection, puis par la correspondance terme à terme, puis avec des collections intermédiaires. En PS des situations de dénombrement de collections et de comparaisons de quantités d’objets sont proposées: dresser le couvert en appariant enfant, verres, serviettes à partir d’un stock d’objets mis à disposition, lors des rituels au cours de la gestion des présents absents, lors des moments de vie de classe, utilisation des espaces jeux Présenter tête à toto p 36 37ACCES 14

1. En proposant des situations créant le besoin du nombre ( 2) Pour utiliser le nombre : des situations présentant le nombre dans des configurations non usuelles, obligeant à compter la collection de référence. Pour mémoriser une quantité : collection éloignée dans l’espace, dans le temps, dans une situation de communication. L’élève possède des formes à compléter avec des gommettes, il doit chercher « juste ce qu’il faut de gommettes  pour remplir la forme », la quantité de gommettes est adaptée aux capacités des élèves. Pour faire évoluer aller chercher des gommettes à grande distance . Dans un premier temps l’enfant peut faire plusieurs trajets, l’enseignant change la couleur des gommettes à chaque trajet, si l’élève en rapporte trop il les colle sur une feuille « poubelle », ce qui permet d’évaluer les procédures. Lors de la deuxième phase, un seul trajet est autorisé, plusieurs reprises de cette phase sont nécessaires. Après plusieurs essais, mise en commun des procédures (ce qu’ils voulaient faire, comment ils s’y sont pris, ce qui leur a permis de réussir la tâche). Lors de situations suivantes, les élèves peuvent faire des commandes de gommettes oralement puis par écrit. Attention éviter les situations papier crayon sur photocopies, renforcer la manipulation, proposer l’enfant de schématiser pour accéder à « l’évocation de la quantité » cf conférence Fayol 15

1. En proposant des situations créant le besoin du nombre (3) Pour ordonner suivant la quantité, Pour anticiper un résultat dans une situation sans possibilité de dénombrement, Pour ordonner suivant la quantité (exemple de Dominique Valentin) : cartes à jouer sans les figures, cartes avec ou sans numéro, jouer à la bataille. Pour anticiper un résultat : Réunion de collection: on place des billes dans une boîte, les enfants connaissent le nombre de billes dans la boîte, on ajoute des billes, combien y en a-t-il ? Compétence travaillée : à partir de deux collections, comprendre que l’on peut en créer une troisième. Utiliser le nombre pour trouver et exprimer une quantité sans la présence explicite de celle-ci, au moyen d’une procédure personnelle. Les procédures utilisées par les élèves pour la réunion de deux collections ou les compléments à 5 ou 10 sont souvent : le surcomptage, l’utilisation de doigts comme collection intermédiaire, ou l’utilisation d’une collection intermédiaire autre que les doigts. 16

2. En lui proposant des outils pour utiliser le nombre L'usage efficace d'outils aide à la formation du concept. Des outils pour: Connaître les différentes désignations du nombre, Décomposer et recomposer, Reconnaître des collections-témoins (doigts de la main, points sur un dé, éléments de cartes à jouer,….) Maîtriser la comptine numérique. Tout d’abord construire le système des trois premiers nombres qui correspond au subitizing (capacité à énumérer immédiatement des unités jusque 3) Comment ? En insistant sur la pluralité «montre moi les 3 brioches sur cette carte» ; «oui, il y a une, et encore une, et encore une brioche»… L’enfant associe ainsi le mot «trois» à la totalité correspondante». Compléter les phrases: «Il y a un…» ; «Il y a deux…» ; «Il y a trois…» ou plutôt … «Il y a trois…», puis «Il y a deux…» et enfin: «Il y a un…» Les calculines, «L’album 1, 2 et 3»; Brissiaud, 2005). Privilégier les décompositions («trois camions, c’est un là, un là et encore un là» ou bien «trois camions, c’est deux là et encore un là». EX: Quand un enfant veut jouer sur le tapis figurant les routes du coin voitures, il doit prendre un parking puis aller chercher juste ce qu'il faut de voitures pour remplir son parking avant de jouer. Un dialogue s’installe alors : «tu as pris trois voitures, une et encore une et encore une, deux et encore une, cela fait trois voitures, juste ce qu’il te faut». 17

Trois gros rats gris et un petit, les quatre rats sont dans mon lit Trois gros rats gris et un petit, les quatre rats sont dans mon lit. Pouah, je n’en veux pas, partez d’ici vilains rats gris ! Les calculines Brissiaud CALCULINES ( à associer au dessin) - Un poisson bleu, un poisson rouge, un poisson vert, 3 poissons dans la mer! - Trois gros rats gris et un petit, Quatre rats sont dans mon lit, Partez d’ici vilains rats gris ! Le subitizing et la reconnaissance de constellations sont des aides précieuses pour, à la fois, accélérer et assurer le dénombrement de collections plus larges.

Des outils pour utiliser le nombre La comptine numérique : un outil indispensable Définition : Connaître et comprendre la suite orale des mots nombres. L’apprentissage de la comptine développe la capacité à énumérer une collection. Le jeune élève ne peut avoir recours au calcul ou au regroupement pour prévoir un résultat, la comptine est donc le moyen efficace pour dénombrer des quantités ; Très souvent, la comptine que récite l’enfant se subdivise en 3 parties avant d’être totalement acquise (une partie conventionnelle stable, une partie stable mais non conventionnelle, une partie ni stable ni conventionnelle) ; L’élève doit maîtriser la comptine aussi loin que possible, cependant, il dénombre souvent moins loin que la comptine connue. Comprendre la notion de chaîne orale: c’est la suite des mots nombre , associée à l’opérateur suivant , cette chaîne est ordonnée par une structure temporelle , 9 est plus grand que 7 parce que le mot «  neuf » est récité après le mot « sept ». Savoir énumérer est nécessaire pour dénombrer. La capacité à énumérer une collection peut être travaillée tout au long de l’école maternelle et peut être reprise en CP si nécessaire car sa non maîtrise peut être la cause de difficultés dans le comptage dénombrement chez certains élèves. Très souvent la comptine que récite l’enfant se subdivise en trois parties avant d’être totalement acquise: Une partie conventionnelle et stable : l’enfant récite facilement cette partie , sans erreur et est capable de le faire plusieurs fois de suite Une partie stable mais non conventionnelle, à partir d’un certain rang, il récite toujours mais oublie des nombres toujours les mêmes. Pour certains élèves , différents mots sont plus difficile à retenir que d’autres et à prononcer ex: onze , douze… le –ze en deuxième syllabe entraîne une difficulté de mémorisation. Dans la suite numérique les irrégularités sont nombreuses, ainsi que des ruptures dans la prononciation , d’où certaines difficultés à rendre stable la récitation de la chaîne : «  un, deux, trois, cinq, neuf, six… », des élèves expriment ce besoin de régularité en récitant la chaîne : (neuf), (dix), (dix-un), dix-deux), on doit prendre en compte ce besoin Une partie ni stable ni conventionnelle , il donne des nombres au hasard. 19

La comptine numérique (suite) 3 étapes dans l’acquisition : la comptine est connue mais n’est pas sécable, la comptine devient sécable ( le comptage est possible à partir de n’importe quel nombre), l’élève peut enfin compter à rebours. La comptine n’est pas sécable : « chaîne en chapelet », tous les mots sont attachés , sans capacité à sectionner. Quand le maître demande « montre moi jusqu’à combien , tu sais compter » , l’élève prend son souffle et « débite » les mots sans s’arrêter , si le maître l’interrompt , il ne peut pas reprendre. Après la chaîne en «  chapelet », on peut parfois distinguer la chaîne non sécable mais où les mots sont distincts , l’élève repart toujours de « 1 » mais si l’enseignante lui fournit un début « six, sept, … Tu continues… », il peut poursuivre. Enfin , la chaîne orale devient « sécable » : les mots nombres sont distincts et l’élève repart de lui même , sans amorce. Le passage d’un type de chaîne à l’autre fait partie d’un apprentissage , mais il faut être conscient que c’est une activité langagière.(de l’oral) Quelques rituels pour organiser la progressivité de l’apprentissage de la comptine numérique : La maîtresse compte les élèves , en touchant effectivement chaque enfant à chaque nombre ; Chaque élève compte en silence et l’enseignant touche les élèves , de temps en temps la maîtresse dit à haute voix où elle en est ; Un élève ne compte que les filles , que les garçons ; Hier on était le , aujourd’hui on est le… ; Pour enseigner la comptine numérique, on peut utiliser les rituels, les comptines, les livres à compter. Chaque comptine possède un objectif d’apprentissage : certaines comptines sont intéressantes en MS car elles permettent d’initier le passage de la « suite chapelet » à la suite « sécable ». Il s’agit aussi de construire un rapport conscient entre cette récitation (du « langage » mémorisé ou automatisé) et les quantités. Ce rapport, si il est évident pour certains élèves, est plus difficile pour d’autres. A chaque comptine son objectif : Apprendre à dire la comptine sans se tromper Apprendre à couper la comptine Apprendre à dire la comptine à partir de n’importe quel nombre Compter à rebours 20

Comment enseigner la comptine numérique? Apprendre la suite des mots nombres avec des rituels, activités (tableau)… Mémoriser des blocs de mots, les nombres ordinaux, les nombres et l’addition avec des comptines, jeux de langues… Prendre de conscience de l’augmentation de 1 au nombre suivant, aide à mémoriser les nombres… avec des livres à compter et à calculer. Les rituels permettent généralement de travailler l’apprentissage de la suite des mots-nombres et cela ne diffère pas au départ de la mémorisation d’une autre récitation. Les comptines numériques permettent de mémoriser des blocs de mots : un-deux-trois, nous irons aux bois… sept-huit-neuf… L’identification des mots-nombres reste difficile au milieu des blocs (confusions huit / t’huit). Il convient donc de varier les comptines, celles présentant des blocs plus petits : un-deux, v’là les œufs, trois-quatre, faut les battre… ou encore en isolant les nombres : un nez, deux nez, … dix nez, miam ! Certaines comptines permettent également de faire un lien avec la quantité ou d’autres représentations des nombres comme les collections de doigts : un petit lapin, sur le chemin rencontre un autre petit lapin, deux petits lapins sur le chemin sont devenus copains… A l’envers : Dans la forêt du dolmen vert vivent - Dix ours qui marchent à l’envers - Neuf petits daims pleins de lumière - Huit renardeaux bientôt notaires - Sept gros lézards testeurs de pierre - Six puces qui sautent en l’air - Cinq rats champions d’haltères - Quatre écureuils brasseurs de bière - Trois lapins coiffeurs pour vipères - Deux nains orange qui sont frères Un long ver réverbère - Et puis aussi - Zéro sorcière ! Gilles Brulet 21

Savoir dénombrer (1) Les cinq principes de Gelman : 1. LE PRINCIPE D’ORDRE STABLE : mémoriser une suite de mots nombres et la restituer de la même manière dans des contextes différents. 2. CORRESPONDANCE TERME À TERME : une unité et un mot nombre (on coordonne le geste et la comptine numérique). Vers 5-6 ans, la suite orale des nombres devient une chaîne sécable pour l’enfant, qui permet alors de déterminer le nombre d’objets d’une collection. Cependant la capacité à envisager la suite numérique comme une suite de mots indépendants n’est pas suffisante pour dénombrer. On peut considérer que les principes définis par la psychologue américaine GELMAN (les bébés et le calcul La recherche n°149) peuvent être utilisés soit pour caractériser le comptage, soit pour rendre compte des compétences des élèves. Principe d’ordre stable : lié à la stabilité des mots de la comptine. Correspondance terme à terme : elle suppose d’établir une relation entre un mot nombre et un objet. 22

Savoir dénombrer (2) 3. PRINCIPE CARDINAL : le dernier mot nombre réfère à l’ensemble (Combien ?). 4. PRINCIPE DE NON PERTINENCE DE L’ORDRE : l’ordre de comptage des objets n’influe pas sur le cardinal de l’ensemble. 5. PRINCIPE D’ABSTRACTION : la nature des objets n’influe pas sur le cardinal de l’ensemble. Principe cardinal : suppose que le dernier mot nombre représente le nombre d’éléments de la la collection, ce qui exclut des comportements de dénombrement sans mise en valeur du dernier nombre dit (combien) Principe de non pertinence de l’ordre : l’ ordre de comptage des objets n’influe pas sur le cardinal de l’ensemble Principe d’abstraction : toutes sortes d’objets, d’éléments, semblables ou non peuvent être rassemblés et comptés ensemble, le même nombre s’applique à des collections différentes Chacun de ces cinq principes semble acquis très tôt mais la difficulté du comptage provient de la nécessité de coordonner plusieurs procédures cognitives

Savoir dénombrer (3) Dénombrer une collection c’est : Énumérer tous les objets sans en oublier un, sans compter 2 fois le même. Associer à chaque objet un mot nombre et s’arrêter correctement. Énoncer le dernier mot nombre comme réponse à la question posée. Énumérer : la complexité de cette tâche dépend de la possibilité ou l’impossibilité de déplacer les objets, de la disposition spatiale (énumérer une suite d’objets est plus facile qu’énumérer les objets en vrac). Enumérer une collection importante non déplaçable suppose des stratégies (ex: marquage). Dire la suite des mots nombres, sans se tromper en associant bien objet et mot nombre. Énoncer le dernier mot nombre proposé comme réponse à la question posée. On peut considérer que l’enfant construit assez tôt la notion de comptage, mais qu’il ne peut accéder à une procédure efficace que lorsqu’il peut coordonner plusieurs opérations logiques et qu’il peut gérer sa mémoire de travail de telle façon qu’il ne soit pas en surcharge cognitive. Pour dénombrer, la connaissance de la comptine numérique ne suffit pas. Le concept de collection correspond à un ensemble d’objets unis par une propriété commune. Ce concept est en particulier mis en place par des activités de tri. Le concept de désignation revient à remplacer un objet par un symbole.

Points de vigilance et/ou comment aider à l’apprentissage du dénombrement ? Préparer cet apprentissage : Constituer des collections, Énumérer des collections, Désigner des collections, Ordonner une collection, Énoncer le dernier mot nombre comme désignation d’une quantité Les élèves acquièrent ces principes rapidement, la difficulté réside dans la coordination de ces procédures. Point crucial concernant certaines pratiques de comptage : le maître demande « combien y a-t-il de jetons ? », l’enfant répond «  un, deux , trois, quatre » et il s’arrête (respect des principes 1 et 2). Le maître réitère , combien y en t il ? L’ enfant recommence le comptage , l’élève ne dit jamais quatre. Cet élève réalise un comptage – numérotage, il associe des mots à des objets , il n’accède pas à la cardinalité , et il ne fait pas de lien avec la quantité . Comment activer un rapport à la quantité ? surtout pas d’intensification du comptage sous peine que l’élève s’enferre dans un obstacle résistant (on le voit encore en CE1). Les élèves risquent de devenir des «  bûcherons du comptage », il convient de préférer l’utilisation de collections «  témoin », le comptage ne prenant le relais des nombres que lorsqu’il n’existe pas d’autres procédures. Certaines comptines numériques permettent de centrer l’élève sur des quantités représentées sous forme analogique, exemple : les petits lapins , au début l’élève place une marionnette à doigt en forme de lapin sur son pouce, il commence la comptine, quand il dit « rencontre un autre petit lapin », il avance une autre marionnette lapin et la pose sur son index… Des jeux numériques comme ranger des collections dans chacune des cases, à condition qu’elles soient composées du même nombre d’objets que le nombre représenté analogiquement par la collection témoin associée à la case, après mélange l’exercice peut être repris… Beaucoup de jeux peuvent être inventés pour atteindre ces objectifs. 25

Points de vigilance sur les différentes désignations des nombres Les différentes désignations (doigts, constellations, collections témoins, abaques) Comment les travailler ? (bandes numériques, flash cards, pistes numérotées, compteurs, calculatrice, monnaie, calendrier) Quelques désignations écrites courantes : constellations du dé, les doigts de la main, les collections témoins (faire autant de traits, de points… qu’il y a d’objets). Ces différentes représentations, dans différents cadres, fournissent à l’élève des outils qui l’aident à construire le système de numération et à développer des procédures de calcul.là encore veiller à solliciter les représentations de l’élève. L’ensemble de ces compétences est à travailler dans différents contextes mais l’action sur des quantités réellement présentes et non sur des dessins de collections est primordiale.

Proposer des situations pour utiliser les fonctions du nombre (1) Mémoriser une quantité ou une position La mémoire de la quantité est une notion indispensable, elle permet aux enfants de conserver la trace d’une quantité d’objets qui constitue une collection en l’absence de celle-ci (cette notion se construit grâce à des problèmes du type « juste assez », « juste assez en un seul voyage »). Situations que l’on fait évoluer grâce aux variables didactiques: « faire un voyage » : l’enfant doit résoudre le problème posé (concourt à donner du sens à la situation), il doit se rendre dans un lieu séparé de l’endroit où se trouve sa collection de référence ( il ne la voit plus , il se trouve dans l’obligation de s’en construire une représentation signifiante); «  faire un seul voyage »: la situation impose progressivement un codage (passage au symbolique) de la quantité, il n’ y a plus de possibilité de résolution du problème par tâtonnement (jeu du voyageur, jeu du carrelage : dernier trimestre de MS ou début de GS); « ramener juste assez d’objets » : la situation invalide les stratégies d’estimation, de stock. Ces situations peuvent évoluer vers la représentation et l’utilisation du nombre: usage de la numération orale (quand on passe de la prise d’objets individuelle à la commande), usage du message chiffré si le message est complexe ou différé. Règles du jeu du carrelage : Voir le livre du maître de Ermel CP page 339 : Chaque groupe(par 2) reçoit un rectangle représentant une pièce à quadriller, les paquets de 10 carreaux sont dans une boîte et carreaux isolés dans une autre boîte. consigne : vous allez chercher en une seule fois juste ce qu’il faut de carreaux pour recouvrir toute la pièce. Vous pouvez prendre des pièces isolées ou des paquets de 10. - 2ème séance : contraindre les enfants à prendre des paquets de 10 – 3ème séance : utilisation d’un bon de commande 27

Proposer des situations pour utiliser les fonctions du nombre (2) Comparer les quantités, avec ou sans la présence explicite de celles-ci. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des VARIABLES importantes que l'enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. Comparaison de collections : il s’agit de mettre en œuvre une procédure numérique ou non numérique permettant de comparer des collections, en utilisant les mots « autant que », « plus que », « moins que », en PS « beaucoup », « un peu » sont des termes importants à manipuler. Il s’agit de varier le plus possible la nature des objets des collections à comparer de manière à diversifier les stratégies de comparaison. Utiliser des collections témoins, par correspondance terme à terme réalisée par rapprochement spatial, objets placés côte à côte, superposition, alignement, empilement, regroupements réguliers, paquets par paquets…. Proposer : des situations où deux collections sont réunies (jeux de pistes avec deux dés) des situations de recherche dans les compléments de 5, de 10 des jeux mathématiques où il est nécessaire de comparer des gains Penser des projets plus ambitieux qui peuvent concourir à mettre en œuvre des progressions dans la comparaison des quantités.

Proposer des situations pour utiliser les fonctions du nombre (3) Anticiper des résultats dans des situations non encore réalisées, à travers des problèmes permettant d’augmenter ou réunir des collections, distribuer, partager, égaliser. Nombreuses sont les situations où le nombre n’est pas utilisé uniquement pour mémoriser la quantité d’éléments (approche cardinale) ou indiquer le rang d’un objet (approche ordinale). Il existe des situations de jeux qui mobilisent des situations numériques dans leur règles ( jeux de pistes avec des dés), le nombre n’est pas utilisé pour décrire une situation mais pour gérer une transformation. Ces situations ne donnent pas obligatoirement au nombre une fonction opératoire : ajouter, retirer des éléments peut se faire par manipulation directe, sans intervention du nombre autre que celle utilisée pour caractériser l’action : si je retire deux jetons à un tas de jetons, j’utilise le nombre pour compter des objets, si je lance deux dés et que j’avance mon pion , en établissant une correspondance terme à terme successivement avec les configurations des deux dés , j’utilise le nombre comme définition d’une quantité. Le nombre n’est utile pour déterminer les résultats de l’action qu’en fonction des variables numériques choisies exemple : si je lance deux dés , il suffit d’établir une correspondance entre jetons et points du dé pour établir le gain, en revanche, si je lance deux fois le même dé, sans pouvoir prendre de jetons entre les deux lancers, je suis obligé d’opérer sur les nombres pour prendre les jetons.29On associe la notion de nombre pour opérer, pour anticiper à la notion de calcul c’est-à-dire de procédures permettant d’agir sur les codes ( les nombres) pour obtenir des informations sur les objets : il s’agit de donner du sens au nombre et non pas de faire mémoriser des procédures de calcul stéréotypé, sans formalisation excessive des démarches, ni institutionnalisation systématique. C’est la confrontation répétée à des problèmes nécessitant d’agir sur les nombres qui permettra aux élèves d’accéder au calcul formalisé au CP Ces actions sur des quantités se référent : À des situations additives ou soustractives : somme de plusieurs nombres (la tirelire) ou le complément d’un nombre dans le cas de la réunion où la transformation d’une collection Des situations de distribution ou de répartition en parts égales Des situations de proportionnalité simple

Le rôle du langage L’objectif essentiel de l’école maternelle est l’acquisition d’un langage oral riche, organisé et compréhensible par l’autre (Programmes 2008) La réalisation d’albums à compter et à calculer, la création de comptines pour compter ou calculer, ou de jeux mathématiques permettent de travailler l’acquisition et l’utilisation d’un lexique et de formes syntaxiques spécifiques, dans des contextes variés. Le langage oral est le pivot des apprentissages de l’école maternelle. Dans les échanges avec l’enseignant et avec ses camarades, dans l’ensemble des activités et, plus tard, dans des séances d’apprentissage spécifiques, il acquiert quotidiennement de nouveaux mots dont le sens est précisé. 30

Des apprentissages progressifs... … au regard des compétences attendues en fin d’école maternelle, par exemple : Utiliser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 pour dénombrer Dénombrer jusqu’à 3 en PS Dénombrer jusqu’à 8 ou 10 en MS Dénombrer jusqu’à 15 en GS Des repères de progressivité (cf. dossier pédagogique) 31

Appréhender les obstacles pour aider les élèves Comparer des quantités, résoudre des problèmes sur les quantités Une situation discriminante en fin de GS : Je pose 7 balles sur la table. Pierre en prend 3  et il les enferme dans une boîte. Dessine les balles que je vois maintenant sur la table. (Référence : aider les élèves en mathématiques, le nombre au cycle 2 p. 87) Cet exercice est discriminant ; les performances des élèves sont très contrastées. Une étape importante semble franchie pour la majorité des élèves qui paraissent capables de se bâtir une image mentale de la situation. Ils sont dans une véritable activité mathématique dans le sens où elle n’est plus dans la manipulation, mais dans les questions et l’activité intellectuelle qui sont liées. Des pistes se dégagent Intérêt de proposer des situations résistantes (poser un problème nécessitant un effort pour la résolution). Donner l’opportunité aux élèves d’oser, d’essayer (capacité pour laquelle PISA montre un déficit des élèves français). Enrichissements mutuels que les apprentissages sur les situations problèmes, le calcul et la numération entretiennent. Nécessité absolue de faire précéder des situations formelles « papier crayon » de problèmes en situation où la vérification est possible par manipulation, sachant que l’on construira progressivement une posture d’anticipation. En termes d’aide, la mise à disposition de matériel peut s’avérer un piège pour l’élève qui confond activité mathématique et manipulation et l’y enfermer. Ce sont les pauses réflexives instituées par l’enseignant qui seront source d’apprentissage et de construction de savoirs et compétences mathématiques. La représentation (demandée à juste titre par l’enseignant) peut aussi être comprise comme représentation de la réalité. Utiliser le dessin pour « RE présenter » une situation avec les caractéristiques nécessaires à la résolution de problème demande apprentissage, explicitation et verbalisation. Les interactions entre situations et représentations avec un codage évolutif paraissent à développer comme étapes aidantes vers l’abstraction.

Des points de vigilance (1) Être attentif à la durée d’exposition aux apprentissages : Réduire la place des photocopies Manipuler puis structurer Préciser la durée hebdomadaire dans les emplois du temps Réfléchir aux modalités de mise en œuvre (groupe, ½ groupe, ateliers..)

Des points de vigilance (2) La progressivité des apprentissages et la programmation d’activités (classe, cycle, école) La place du jeu dans les apprentissages et les choix des jeux L’observation et l’évaluation (Eduscol : DM3 fiche11(items1,2,3)- DM4 fiche12 (items 1et 2) - DM5 fiche 14 (items 1et 2))