Langage des Flèches. Francis Lowenthal Place du Parc 18 étage -1 B-7000 Mons Tél : 065/37.31.27

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1 Langage des Flèches

2 Francis Lowenthal Place du Parc 18 étage -1 B-7000 Mons Tél : 065/37.31.27 e-mail : Francis.Lowenthal@umons.ac.be

3 Préambule A propos de représentations non verbales Quelques conventions

4 m c

5 Magali Nicolas Jean-François

6 Graphe complet 4 1 2

7 4 1 2

8 Introduction Pourquoi les problèmes posent-ils tant de problèmes ?

9 Mise en bouche Exemple 1 :Un terrain rectangulaire a une superficie de 1200 m². Sa largeur mesure 24 m. Combien mesure la longueur ? Exemple 2 :Un terrain rectangulaire a une superficie de 1200 m². Sa longueur mesure 50 m. Combien mesure la largeur ? Exemple 3 :Les dimensions d’un terrain rectangulaire mesurent respectivement 50 et 24 m. Quelle est sa superficie ?

10 Le langage des flèches 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de calcul Les flèches pour poser et résoudre des problèmes

11 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental

12

13

14 Le langage des flèches 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Relations non numériques Relations numériques Les flèches comme outil de calcul Les flèches pour poser et résoudre des problèmes

15

16

17

18

19

20

21 *

22 D C B Z

23 Le langage des flèches 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Relations non numériques Relations numériques Les flèches comme outil de calcul Les flèches pour poser et résoudre des problèmes

24 « Je suis plus petit que toi »

25 1 6 3 7

26 « je suis plus petit que toi » 7

27

28

29

30 0

31 +2 02

32 +1 023

33 +2+1-2 0231

34 etc. +2+1-2+3 0231

35

36 Le langage des flèches 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de calcul Les flèches pour poser et résoudre des problèmes

37 +3 10

38 +2 ? 5

39 Le langage des flèches 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de calcul Les flèches pour poser et résoudre des problèmes

40 « …montre sa sœur … »

41

42

43 Anne est arrivée ce matin avec un sac de billes Elle en a gagné 3 au cours d'une première partie. Au cours d’une seconde partie elle a double son avoir. Elle a maintenant 16 billes en tout. Combien en avait-elle ce matin ?

44 x 2 - 3: 2 85 2 (x + 3) = 16 + 3 16

45

46 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental

47 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental Relations non numériques Relations numériques

48 m p « … montre sa maman … » « … montre son papa … » « … montre son frère … » « … montre sa soeur … »

49 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Relations non numériques Relations numériques

50 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental Relations non numériques Relations numériques

51 x2 +4 8

52 +5 -2 7 38

53 +5 -2 5 7 38

54 +5 -2 10 5 7 38

55 +5 -2 10 5 7 15 38

56 De 8 à 25, à l’aide des fonctions +3 et -2

57 Nabu possède 34 cents. Au Grand Bazar il voit de belles billes vertes à 3 cents chacune, et des bleues, encore plus belles à 4 cents chacune. Il dépense tout son argent pour en acheter. A la place de Nabu, qu’auriez-vous acheté? Combien de billes vertes? Combien de billes bleues?

58 De 0 à 34, à l’aide des fonctions +3 et +4

59

60 +7-3 ?

61 +100 ?

62 x 1/2 ?

63 x 1/4 x 4

64 +5+? 35 +127,50+? 183,25 127,50

65 +5+? 35 x2 x? 72 x1,35 x? 2,251,35

66 +5+? 35 x2 x? 72 -3 -? 3 8

67 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental

68 Exemple 1 Graphe complet Jean-François Magali Nicolas

69 Exemple 2Exemple 3 2 1 4 Graphe complet 4 1 2

70 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental

71 20 2135 29 36 2728 - 7 + 8 + 1

72 + 10+ 9 Mick et Mack sont les deux plus grands nombres de ce graphe + 1

73 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental

74 M me DEPENSE-TOUT fait ses courses dans 5 magasins. A la sortie de chaque boutique, curieusement, il lui reste le tiers de la somme qu’elle avait en entrant moins 2 Euros. A la sortie de la dernière boutique, elle n’a plus rien et rentre chez elle. Combien avait-elle au départ ?

75 X = somme de départ 1 er magasin : 2 ème magasin : 3 ème magasin : 4 ème magasin : 5 ème magasin : = 0 1 3 x - 2 1 3 1 3 - 2 () 1 3 x - 2 1 3 - 2 () 1 3 )( 1 3 x - 2 1 3 - 2 () 1 3 1 3 )()( 1 3 x - 2 1 3 - 2 () 1 3 1 3 1 3 )()(( )

76 0 1 3 x 726242240807826 2 24 8 6 x

77 P = 2. (L + B) A = L. B 2. + B L + L.B A L. B Périmètre et aire d’un rectangle P

78 Exemples simples Exemple 1 :Un terrain rectangulaire a une superficie de 1200 m². Sa largeur mesure 24 m. Combien mesure la longueur ? Exemple 2 :Un terrain rectangulaire a une superficie de 1200 m². Sa longueur mesure 50 m. Combien mesure la largeur ? Exemple 3 :Les dimensions d’un terrain rectangulaire mesurent respectivement 50 et 24 m. Quelle est sa superficie ?

79 P = 2. (L + B) A = L. B 24.L 1200 24. L Périmètre et aire d’un rectangle Un terrain rectangulaire a une superficie de 1200 m². Sa largeur mesure 24 m. Combien mesure la longueur ?

80 F = (B 1 + B 2 ). H F.H H 1 2. 1 2. B 1 + B 2 B2B2 B1B1 + B 2 (B 1 + B 2 ). + B 1 Aire du trapèze

81 Aire du triangle F = G. H 1 2. F.H GH 1 2.

82 Un triangle dont la hauteur mesure 20 cm, a même aire qu’un rectangle de longueur 28 cm et de largeur 15 cm. On demande la longueur de la base du triangle.

83 x 2 : 20 : 2 S x lx L lL 840420 1528 x 20 2 S HB x B x H Un triangle dont la hauteur mesure 20 cm, a même aire qu’un rectangle de longueur 28 cm et de largeur 15 cm. On demande la longueur de la base du triangle. 42

84 Aire du parallélogramme F = G. H F G..H GH

85 Poids brut - Poids net - Tare Pb = Pn + T Pb + Pn TPn + T

86 Chemin parcouru - Vitesse - Temps D = V. T D V.T. VT

87 14 ouvriers font un travail en 12 jours. Combien de jours mettraient 21 ouvriers pour faire le même travail ? 8 J 12 J : 21 14. 14 21.

88 Problèmes d'achats et de vente

89 Prix d’achat - Prix de revient - Prix de vente PAPR PV + frais + bénéfice PR = PA + frais PV = PR + bénéfice

90 Un marchand achète 50 raviers de fraises pour 60 € Il revend chaque ravier 1,75 € Quel bénéfice a-t-il fait ?

91 Un marchand achète 50 raviers de fraises pour 75 € Malheureusement, 10 raviers sont endommagés pendant le transport. Il vend les raviers restant 1,50 € pièce. Réalise-t-il un bénéfice ou une perte ? De combien ?

92 La perte à la cuisson est de 1/5 de la masse du mélange à parts égales de sucre et de fruits dénoyautés. La masse des noyaux représente le quart de la masse des fruits. Combien de fruits maman doit-elle acheter ? Maman achète des fruits pour faire de la confiture. Elle souhaite faire 20 pots de 375 g.

93 Quatre enfants se partagent une somme d'argent. Le premier en reçoit 2/7, le deuxième 1/3 du reste et le troisième en reçoit autant que le quatrième. Les trois derniers enfants ont reçu ensemble 36 Euros de plus que le premier. Calculez la somme à partager ainsi que la part de chacun. Partages

94 1 3 2 7 1 2 1 2 IIIIIIIV 810 Euros - part de I

95 III 1 2 x II 3 1 x S 2 7 x I : 9 a 90 Euro 450 Euro 540 Euro = 1890 Euro IV 1 2 x 3 2 x - 6 a9 a = 21 a 15 a 10 a 5 a 6 a 810 Euro 5 7 x

96

97

98 Part du premier

99 Part du deuxième

100 Part du premier Part du deuxième Part du troisième

101 Part du premier Part du deuxième Part du troisième Part du quatrième

102 Part du premier Part du deuxième Part du troisième Part du quatrième 36

103 Part du premier Part du deuxième Part du troisième Part du quatrième 36 euros12 euros

104 Part du premier Part du deuxième Part du troisième Part du quatrième 36 euros12 euros Somme totale : 7 x 12 € = 84 €

105 Part du premier Part du deuxième Part du troisième Part du quatrième 36 euros12 euros Somme totale : 7 x 12 € = 84 € Part du premier : 2 x 12 € = 24 €

106 Part du premier Part du deuxième Part du troisième Part du quatrième 36 euros12 euros Somme totale : 7 x 12 € = 84 € Part du premier : 2 x 12 € = 24 € Part des 3 autres : 84 € - 24 € = 60 €

107 Part du premier Part du deuxième Part du troisième Part du quatrième 36 euros12 euros Somme totale : 7 x 12 € = 84 € Part du premier : 2 x 12 € = 24 € Part des 3 autres : 84 € - 24 € = 60 € Part de chacun des 3 autres : 1/3 x 60 € = 20 €

108 Problèmes conduisant à une équation du premier degré

109 5a + 3 = 2a - 6 5a + 32a - 6

110 5a + 3 = 2a - 6 5a + 32a - 6 3a + 3- 6 - 2a

111 5a + 3 = 2a - 6 5a + 32a - 6 3a + 3- 6 3a- 9 - 2a - 3

112 5a + 3 = 2a - 6 5a + 32a - 6 3a + 3- 6 3a- 9 a- 3 - 2a - 3 x 1/3

113 5a + 3= 2a - 65a + 32a - 6 3a + 3- 6 3a- 9 a- 3 - 2a - 3 x 1/3

114 3a + 3= - 6 - 2a  5a + 32a - 6 3a + 3- 6 3a- 9 a- 3 - 2a - 3 x 1/3 5a + 3= 2a - 6

115 3a = - 9 - 2a - 3  5a + 32a - 6 3a + 3- 6 3a- 9 a- 3 - 2a - 3 x 1/3 3a + 3= - 6  5a + 3= 2a - 6

116 3a + 3 = - 6 a = - 3 - 2a - 3 x 1/3    5a + 32a - 6 3a + 3- 6 3a- 9 a- 3 - 2a - 3 x 1/3 3a = - 9

117 2 x + 3 = x + 7 x + 3 = 7 x = 4  - x  - 3 4 x - x 7 x + 32 x + 3 x + 7 2 x + 3 = x + 7

118 Maman a donné la même somme d’argent à Leila et Mimoun Leila acheté 2 cartes. Il lui reste 4,50 € Mimoun a acheté 6 cartes. Il lui reste 1,50 € Combien coûte une carte postale ? Ceux-ci sont partis acheter des cartes postales

119 Prix d’1 carte(euros)

120 Prix d’1 carte Leila :4,50 + 2 (euros)

121 Prix d’1 carte Leila :4,50 + 2 Mimoun :1,50 + 6 (euros)

122 Prix d’1 carte Leila :4,50 + 2 Mimoun :1,50 + 6 (euros) Même somme

123 Prix d’1 carte Leila :4,50 + 2 Mimoun :1,50 + 6 (euros) Même somme 4,50 + 21,50 + 6=

124 4,50 + 2 = 1,50 + 6 - 1,50 4 - 2 4,50 4,50 + 2 1,50 + 6 1,50 + 4 3,00 0,75

125 Pierre a deux ans de plus que Mustapha et Anne est deux fois plus âgées Quel âge a Moustapha ? Ensemble, ils ont 20 ans

126 Age de Moustapha :(ans)

127 Age de Moustapha : Age de Pierre :+ 2 (ans)

128 Age de Moustapha : Age de Pierre :+ 2 Age d’Annette : (ans) +

129 Age de Moustapha : Age de Pierre :+ 2 Age d’Annette : (ans) 20 ans +

130 + Age de Moustapha : Age de Pierre :+ 2 Age d’Annette : (ans) 20 ans 420=+ 2

131 Problèmes conduisant à une équation du 1 er degré

132 Annette, Moustapha et Pierre ont ensemble 48 billes Pierre a 4 billes de plus que Moustapha qui lui-même a la moitié du nombre de billes d'Annette. Combien de billes a chacun des enfants ?

133 Problèmes de grandeurs proportionnelles

134 A la pompe à essence, la voiture qui précède la notre a payé 39 € pour 30l de diesel. Nous avons besoin de 20l de super. La super coûte 1,5 fois le prix du diesel. Combien allons-nous payer ?

135 7.000 € placés pendant 9 mois à un certain taux rapportent 420 € Combien rapporteront 6.000 € placés au même taux pendant 6 mois ?

136 a.Puissance du langage des flèches Un directeur de zoo a rassemblé les girafes et les autruches. Il a compté 30 yeux et 44 pattes. Combien y-a- t-il de girafes ?

137 b.Pensée latérale Deux locomotives avancent l’une vers l’autre sur une voie rectiligne unique. A l’instant initial, elles sont éloignées de 100 km. Elles roulent chacune à la vitesse de 50 km/h. Une mouche qui se déplace à 100 km/h. part d’une des deux locomotives et vole jusque l’autre, puis revient immédiatement à la première, puis repart vers la seconde, et ainsi de suite … Quelle distance la mouche aura-t-elle parcouru entre l’instant initial, et celui où elle sera écrasée dans la collision entre deux locomotives.

138 c.Que s’est-il passé ? Un chef touareg meurt en laissant à ses 3 fils 17 chameaux, et un testament stipulant : « l’aîné aura la moitié de mes chameaux, le deuxième le tiers et le benjamin le neuvième ». Les 3 fils sont fort ennuyés, car ils ne souhaitent pas sacrifier un chameau. Ils soumettent le problème à un sage qui passe dans le village. Ce dernier, après avoir longuement réfléchi ajoute son chameau au troupeau et commence le partage.

139 A l’aîné, il donne la moitié des 18 chameaux à savoir9 chameaux Au deuxième, il donne le tiers des 18 chameaux à savoir6 chameaux Au benjamin, il donne le neuvième des 18 chameaux à savoir 2 chameaux TOTAL17 chameaux … et il repart sur sa monture !

140 d.Interdisciplinarité Le dernier jour d’un mois de la 1 ère guerre mondiale un obus tomba dans nos lignes. Il déterra le squelette d’un soldat mort au cours d’une des nombreuses guerres qu’ont connues nos régions au cours des siècles. Près du soldat on trouva la lance de ce dernier qui mesure, à vue de nez, 6, 7, 8 ou 9 m de long. Si on multiplie la longueur de la lance par le jour du mois, par le quart de l’âge du capitaine du soldat et par le temps écoulé en années depuis la mort du soldat et son exhumation, on trouve 895.433. Quel est le nom de l’oncle du capitaine du soldat ?

141 CE PROBLEME EST TOUT A FAIT MATHEMATIQUE. LA SOLUTION NE FAIT INTERVENIR QUE DES NOTIONS DE CALCUL CONNUES EN 6 ème PRIMAIRE. POUR L’ASPECT HISTORIQUE ? IL VOUS FAUDRA PROBABLEMENT L’AIDE D’UN PROFESSEUR D’HISTOIRE !

142 a.Puissance du langage des flèches Un directeur de zoo a rassemblé les girafes et les autruches. Il a compté 30 yeux et 44 pattes. Combien y-a- t-il de girafes ?

143 a.Puissance du langage des flèches g = nombre de girafes a = nombre d’autruches

144 Limite importante

145 Un magasin annonce : Soldes -10% sur prix affiché Je paie une robe 90 € Quel était le prix affiché ? La réponse évidente est 100 € Essayez avec le langage des flèches

146 90 P Aff -10 % +10 % +9 On arrive à 99 €

147 Solution correcte Prix affiché =100 % Réduction = -10 % Prix payé = 90 % = 90 € Où est le problème dans la 1 ère idée ? 10 % = 10 € 100 % = 100 €

148 90 P Aff x.90 :.90 On arrive à 100 €

149 Le langage des flèches Après le 2 ème cycle de l’enseignement fondamental Apprentissage du langage Les flèches comme outil de verbalisation Les flèches pour poser des problèmes Les flèches pour résoudre des problèmes Les flèches pour illustrer ou démontrer des procédés de calcul mental

150 x6x5x9x4 x2 x3 x2x3 x2x3 x1/2x10 x1/2 x8 x2

151 x5 x10 x1/2 : 5

152 x5 :5 x10 x1/2 : 5

153 x2 x5 :5 x10 x1/2 : 5

154 :10x2 x5 :5 x10 x1/2 : 5

155 :10x2 x5 :5 x10 x1/2 :5 x2 :10

156 x5/7 x5 x1/7 : 5/7

157 x5/7 :5/7 x5 x1/7 : 5/7

158 x7 x5/7 :5/7 x5 x1/7 : 5/7

159 x7 x5/7 :5/7 x5 x1/7 x1/5 : 5/7 x7/5

160 x7x1/5 x5/7 :5/7 x5 x1/7 :5/7 x1/5 x7 x7/5 : 5/7 x 7/5 =

161 Partir de la définition du concept si possible Sur une carte à échelle 1/200.000 ème, deux villes sont distantes de 5 cm. Quelle est la distance réelle entre les deux villes ? Limites du langage

162 Les flèches en maternelle Mme Béatrice : des flèches en 3 ème maternelle

163 Langage des Flèches