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Quest-ce que le bayésianisme objectif? Federica Russo Université catholique de Louvain.

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1 Quest-ce que le bayésianisme objectif? Federica Russo Université catholique de Louvain

2 Dans cet exposé: Le calcul de la probabilité Axiomes, Conséquences, et Théorème de Bayes Interprétations du calcul Classique/Logique Fréquentiste/Propensionnelle Bayésienne Le bayésianisme Comme position épistémologique Comme interprétation de la probabilité s Bayésianismes Subjectif Empiriquement basé Objectif Applications En epidemiologie du cancer En modélisation causale

3 Le calcul de la probabilité Axiomes Soit S un ensemble dénoncés et P une fonction qui satisfait aux axiomes de Kolmogorov: 1.P(A) 0 2.P(A) =1 si A est vrai dans tout modèle 3.P(A B)= P(A) + P(B) si A, B sont mutuellement exclusifs

4 Conséquences: a.P ( A) = 1 P (A) b.P (A) = P (B) si dans tout modèle A B c.P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Probabilité Conditionnelle: P (A | B) = P (A B) / P (B) if P (B) 0 Théorème de Bayes: P (B | A) = P (A | B) P (B) / P (A)

5 Indépendence unconditionnelle: A et B sont unconditionnellement indépendents ssi P (A | B) = P (A) ou P (A | B) = P (B) ou P (A | B) = P (A) P (B) Indépendence conditionnelle: A est conditionnellement independent de B si C ssi P (A | B C) = P (A | C)

6 Interprétations de la probabilité Classique/Logique Proba: rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles Subjective Proba: expression quantitative du degrée de croyance, support ou confirmation Objective Proba: expression quantitative dune charactéristique objective du monde

7 Interprétations de la probabilité Une classification alternative Classique/Logique Physique Fréquentiste Propensionnelle Bayésienne Subjective Empiriquement basée Objective

8 Interprétation classique Laplace, Pascal, Bernoulli (Jakob) La proba est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. Pensez au jeu de dés Proba assignée en absence de «evidence» Equipossibilité, ou le Principe dindifférence de Keynes

9 Interprétation logique Généralisation de linterprétation classique Basée sur le principe dindifférence Donne un « account » le plus général possible du degré de support ou de confirmation Pensez à la fonction c de Carnap

10 Interprétation fréquentiste La proba dun attribut A dans une classe de référence finie B est la fréquence rélative de la recurrence de A en B (Venn) Extension aux classes de références infinies par la limite de la fréquence (von Mises, Reichenbach)

11 Interprétation propensionnelle La probabilité est dans le monde, non pas dans notre tête … La proba est une propension, disposition ou tendence dune situation physique de délivrer un certain résultat ou une fréquence Popper voulez rendre compte des probabilités en mécanique quantique

12 Bayésianisme Une position épistémologique sur le raisonnement scientifique Le raisonnement scientifique se fait en accord avec le calcul de la probabilité Cette position permet dapprendre de lexpérience (par conditionnalisation) Le système formel impose des contraintes sur les probabilités

13 Bayésianisme Une interprétation de la probabilité Les probas sont des degrés de croyance rationnelle Differents bayesianimes sont en désaccord sur comment former ces degrés de croyance

14 Bayésianisme subjectif Probabilités et paris: Les probas sont les quotients de pari Un pari hollandais est une serie de paris: (i) singulièrement acceptables par le parieur (ii) collectivement portent à une perte, quoi quil arrive Statique de lopinion: Si les degrés de croyance du parieur ne respettent pas les axiomes, le parieur est susceptible du pari hollandais Si les degrés de croyance du parieur respettent les axiomes, le parieur nest pas susceptible du pari hollandais Cinématique de lopinion: La conditionnalisation est la seule règle cohérente pour mettre à jour les probas Obéissance au calcul est condition nécessaire et suffisante pour la rationnalité

15 Problème… Aribitrarieté: Deux sujets avec les mêmes infos Peuvent choisir des probas différentes, tout en étant rationnels Solution… Le bayésianisme empiriquement basé et objectif imposent dautres contraintes sur les probas

16 Bayésianisme empiriquement basé Ajouter la contrainte « empirique »: Les degrés de croyance se forment à partir des fréquences connues

17 Bayésianisme objectif Ajouter la contrainte empirique et la contrainte logique: En présence dinfos empiriques, e.g. fréquences, celles-ci doivent être incorporées En absence de toute infos, il faut être le plus ambigu possible, c-à-d, les probas tendent vers la valeure moyenne

18 Contraintes empiriques Principe de vérité Si un sujet sait que u est vrai, son degré de croyance en u, P(u) = 1 Principe de calibration Si un sujet connaît que la « chance » de u est P*(u), son degré de croyance en u devrait être P(u)=P*(u) Connaissance des fréquences Si un sujet sait que la fréquence relative dun événement est r, son degré de croyance que le prochain cas se produira est r

19 Contraintes logiques Une extension du principe dindifférence Principe dentropie maximale Un sujet doit adopter, parmi toutes les fonctions de probabilité qui satisfont aux contraintes imposées par sa connaissance darrière plan, une fonction P qui maximise lentropie

20 Quels avantages? Pas darbitrarieté Contenu empirique Plusieurs source de « evidence »

21 En résumé: Selons les bayésiens les probas doivent satisfaires aux axiomes du calcul Example: A= demain il va plevoir à Paris P(A) est un degré de croyance en A Alors, P(A)+P( A)=1 Je connais seulement la probabilité physique (fréquence ou propension) de A, disons que cette proba est entre.2 et.3

22 En résumé: Bayésien subjectif Je peux choisir toute valeur de proba entre 0 et 1 Bayésien empiriquement basé Mon degré de croyance doit être basé sur ma connaissance empirique, donc je dois choisir entre.2 et.3, toute valeur sera acceptée Bayésien objectif Mon degré de croyance doit être basé sur la connaissance empirique et doit être les plus ambigu possible..3 est la valeure qui approche le plus.5

23 Desiderata: que voulons-nous dune inteprétation? Objectivité Rendre compte de lobjectivité de la proba Calculi Expliquer comment raisonner sur la proba Épistémologie Expliquer comment connaître la proba Variété Faire face à la grande varieté dénoncés probabilistes Parcimonie Être ontologiquement parcimonieux

24 Application: épidémiologie du cancer Problème: lépidémiologie a un double objectif Établir un énoncé générique Les non-fumeurs ont un risque majeur (25%) de développer le cancer du poumon si leurs épouses sont des fumeurs Établir un énoncé singulier Michelle a un cancer du sein métastatique et elle survivra plus de 5 ans avec un probabilité de 0.4 Ces deux énoncés sont probabilistes

25 On marchande … Class/ Log PropFreqBayes Subj Bayes Emp- Basé Bayes Obj Objectivité Calculi Epistémologie Variété Parcimonie

26 Vendu! Fréquentisme-cum-Bayésianisme objectif Le pluralisme est une option faisable Énoncés génériques requièrent une interprétation fréquentiste Énoncés singuliers requièrent une interprétation bayesienne objective Le bayésianisme objectif a des vertus pragmatiques

27 X 1 Economic development X 2 Social development X 3 Sanitary infrastructures X 4 Use of sanitary infrastructures X 5 Age structure Y Mortality Application: modélisation causale

28 Probas bayésiennes objectives Intuitivement: Les résultats dun modèle causal expriment une croyance (rationnelle) « evidence- based » sur des relations causales Bayésianisme, basé empiriquement ou bayésianisme objectif

29 Test dhypothèse Idée de base: comparer lhypothèse avec les observations Éléments du test: Hypothèse nulle: la variation observée est aléatoire Hypothèse alternative: la variation observée est réelle Statistique de test Lhypothèse nulle est acceptée ou rejetée selon la valeur-p chosie

30 Interprétation des probas Dun point de vue fréquentiste: Nous évaluons la proba dobtenir léchantillon si lhypothèse est vraie « la probabilité de lhypothèse » na pas de sens car cest un événement unique Dun point de vue bayésien: Nous pouvons évaluer la probabilité dune hypothèse

31 Example « le paramètre inconnu se trouve dans lintervalle ( 1, 2 ), niveau de confiance 95%» Ce nest pas la proba du paramètre! Si on tire nombreux échantillons de la même taille et on construit les mêmes intervalles autour de, on peut sattendre que 95% des intervalles contiennent Le fréquentiste ne peut pas évaluer la proba de lhypothèse elle-même

32 Hypothèse nulle contre hypothèse alternative On test lhypothèse nulle contre lhypothèse alternative Acceptation ou rejet concernent directement lhypothèse nulle et indirectement lhypothèse alternative Sous linterprétation bayésienne objective les 2 hypothèses sont tout aussi probable, au moins que « evidence » nindique le contraire

33 La réponse du fréquentiste Les 2 hypothèses ne peuvent pas être traitées de la même manière: Il est plus grave daccepter lhypothèse alternative quand elle est fausse que de rejeter lhypothèse nulle quand elle est vraie Le fréquentiste doit limiter sa région de rejet pour restreindre la probabilité dune erreur de type II

34 La contre-réponse du bayésien Il ny a pas de région de rejet a construire, mais de probabilités a posteriori à calculer Le choix entre lhypothèse nulle et lalternative est faite sur la base des a posteriori

35 Guide pour laction Décisions pour les résultats des tests Probas bayésiennes objectives permettent de décider entre les a posteriori des hypothèses Décisions en matière de politique publique (sciences sociales) Décisions en matière dindividus (sciences médicale)

36 Pourquoi des probas bayésienne objectives? Parce que: 1)elles ont du sens dans le cas unique 2)elles ne laissent pas de place à larbitrarieté

37 En résumé Jai rappelé Le formalisme du calcul de la probabilité Les majeures interprétations Jai présenté le bayésianisme En tant que position épistémologique En tant quinterprétation de la probabilité Jai distingué Le bayésianisme subjectif Le bayésianisme empiriquement basé Le bayésianisme objectif Jai appliqué le bayésianisme objectif En épidémiologie du cancer En modélisation causale

38 Et en suite …? Le pluralisme est-il une position tenable ? Dans quels autres contextes peut-on appliquer le bayésianisme objectif? …


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