Limites d’une fonction

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1 Limites d’une fonction
Introduction Limites d’une fonction en l’infini Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique Limites d’une fonction en un réel Asymptote verticale Limites et ordre Opérations sur les limites Addition, produit, quotient Composée de fonction Lever une indétermination limite des fonctions usuelles // disposition sur diapo // Uniformité graphique // mettre les symboles geogebra//trouver feuille exercices //ROC ? // quand on met du times dans les doc word ca passe bien Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

2 I Introduction Programmes de 1ère S : limites de suites
x f(x)=x2-x 10 90 20 380 30 870 40 1 560 50 2 450 100 9 900 200 39 800 300 89 700 400 500 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 10 000 x f(x)=sin(x)/x -10 -0, -20 0, -30 -0, -40 0, -50 -0, -100 -0, -200 -0, -300 -0, -400 -0, -500 -0, -1 000 0, -2 000 0, -3 000 0, -4 000 -0, -5 000 -0, -0, n un+1 = 2un - n 1 2 3 4 -3 5 -10 6 -25 7 -56 8 -119 9 -246 10 -501 11 -1012 12 -2035 13 -4082 14 -8177 15 -16368 16 -32751 x f(x)=1/x -2 -0,5 -1 -0,4 -2,5 -0,2 -5 -0,1 -10 -0,05 -20 -0,001 -1000 2 0,5 1 0,4 2,5 0,2 5 0,1 10 0,05 20 0,001 1000 On s’intéresse au comportement des valeurs d’une suite un lorsque n prend de très grandes valeurs. Programmes de Terminale S : limites de fonctions On s’intéresse au comportement de f(x) lorsque x prend : Des valeurs de plus en plus grandes Des valeurs de plus en plus petites Des valeurs de plus en plus proches d’un réel Autres suites ? On peut aussi conjecturer ces limites graphiquement à l’aide d’outil informatique … Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

3 A l’aide de l’outil graphique de la calculatrice ou d’un logiciel
I Introduction A l’aide de l’outil graphique de la calculatrice ou d’un logiciel 2x+2 4/(x2+1) -cos(x) 4/x2 1/x x2 x3 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

4 I Introduction Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

5 II Limite d’une fonction en l’infini
Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique Définition : limite finie en l’infini On dit que la fonction f a pour limite b IR quand x tend vers +∞ (respectivement vers -∞) si et seulement si tout intervalle ouvert I contenant b, contient aussi toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand (respectivement assez petit) Notations Limites de la fonction inverse. Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

6 II Limite d’une fonction en l’infini
Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique Limite de x/(1+x) en +∞ 11 p 58 17 p 58 18 p 58 19 p 58 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

7 II Limite d’une fonction en l’infini
Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique Définition Remarques : On doit préciser où une droite est asymptote à la courbe Une asymptote n’est pas forcement au dessous ou au dessus de la courbe (elle peut « bouger » autour) Ne pas dire « droite asymptote à la fonction » Pour étudier la position relative de la courbe par rapport à son asymptote, on étudie le signe de f(x)-b zoom à revoir // rajouter une troisième courbe // exercices d’application Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

8 Limites des fonctions carrée et racine.
II Limite d’une fonction en l’infini Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique Définition On dit que la fonction f a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ (respectivement -∞) si et seulement si tout intervalle ouvert ]A; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand (respectivement assez petit) Notation Graphique faux Définition équivalente On dit que la fonction f a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ (respectivement -∞) si et seulement si pour tout réel A il existe un réel M tel que pour tout x>M on a f(x)>A (respectivement pour tout x<M on a f(x)>A) Limites des fonctions carrée et racine. Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

9 II Limite d’une fonction en l’infini
Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique 14 p 58 28 p 59 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

10 II Limite d’une fonction en l’infini
Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique Définition On dit que la fonction f a pour limite -∞ quand x tend vers +∞ (respectivement -∞) si et seulement si tout intervalle ouvert ]-∞;A[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand (respectivement assez petit) A SAVOIR RETROUVER Notation Pages à repenser totalement Définition équivalente On dit que la fonction f a pour limite -∞ quand x tend vers +∞ (respectivement -∞) si et seulement si pour tout réel A il existe un réel M tel que pour tout x>M on a f(x)<A (respectivement pour tout x<M on a f(x)<A) 34 p 60 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

11 II Limite d’une fonction en l’infini
Limite finie Asymptote horizontale Limite infinie Asymptote oblique Définition : asymptote oblique Soit a et b deux réels avec a non nul. C f est la courbe représentative de f On dit que la droite (d) d’équation y = a x + b est une asymptote oblique à C f en +∞ si et seulement si en - ∞ si et seulement si [ ] Rappel : pour être asymptote à une courbe, une droite ne doit pas forcement se situer soit au dessus soit au dessous de la courbe. La droite bleue est donc bien asymptote à la courbe bleue. 26 p 59 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

12 III Limite d’une fonction en un réel
Définition intuitive Asymptote verticale S’intéresser à la limite d’une fonction en un réel a, c’est se demander comment se comportent les valeurs f(x) lorsque x se rapproche de plus en plus près de a. Plus x se rapproche de a plus f(x) se rapproche de L. Plus x se rapproche de a plus f(x) prend de très grandes valeurs. Plus x se rapproche de a avec x<a plus f(x) prend de très petites valeurs. Vérifier tous les titres ; attention aux bas de pages ; mettre en place les exercices ; gain de place pour les sous_titres Notation Notation Notation 27 p 58 Lire avant 2p51 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

13 III Limite d’une fonction en un réel
Définition intuitive Asymptote verticale Théorème : fonctions usuelles définies en a (admis) Vérifier pour la composée ce qui a été fait en premìère // police de caractère // aire sur raitionnelle // UTILE ? Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

14 III Limite d’une fonction en un réel
Définition intuitive Asymptote verticale Asymptote verticale Lorsqu’une fonction f admet une limite infinie à gauche et à droite en a, on dit que la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à Cf 15 p 58 32 p 58 35 p 60 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

15 IV Limites et ordre D pour a infini D pour a infini D pour a infini
Dans cette partie, a désigne soit un réel, soit +, soit -  Théorème des “gendarmes” D pour a infini Théorème de comparaison 1 D pour a infini 36 Théorème de comparaison 2 D pour a infini Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

16 V Opérations sur les limites
Somme, produit, quotient Composée  f + g lim g a' -∞ +∞ lim f a a + a’ F.I  f + g lim g a' -∞ +∞ lim f a Ces tableaux ne peuvent être appris par cœur ! Ils doivent pouvoir être retrouvés. f x g  lim g a‘<0 a‘>o -∞ +∞ lim f a<0 aa' a>0 F.I f x g  lim g a‘<0 a‘>o -∞ +∞ lim f a<0 a>0 Admis Mettre exemple pour forme indéterminé F.I : forme indéterminée Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

17 V Opérations sur les limites
Somme, produit, quotient Composée  f : g lim g a‘<0 a’>0 0 − 0 + -∞ +∞ lim f a<0 a:a' 0( + ) 0( − ) a>0 F.I  f : g lim g a‘<0 a’>0 0 − 0 + -∞ +∞ lim f a<0 a>0 Uniformité graphique On constate au final que les formes indéterminées sont de la forme : 40 p61 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

18 V Opérations sur les limites
Somme, produit, quotient Composée Limite à l’infini d’une fonction polynôme D Limite à l’infini d’une fonction rationnelle D Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

19 V Opérations sur les limites
Somme, produit, quotient Composée Composée f est une fonction définie sur un intervalle I. g est une fonction définie sur un intervalle J tel que J  f(I). a  I ou a est une borne de I. A Exemple à revoir.Uniformité graphique // Composée de fonctions : voir ce qui a été fait en 1èreS// vérifier le listing exercices pour que deux exercice ne soient pas donnés en même temps // trouver feuille exercices //ROC ? 43 a) p61 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

20 VI Lever une indétermination
Que peut-on essayer de faire pour lever une indétermination ? Transformer l’écriture de la fonction : Développement 42b p 62 Limite d’une fonction rationnelle en un point Factorisation 57b p 62 Identité conjugué F. c p53 … Utiliser les théorèmes de croissances comparées Utiliser les théorèmes des limites de polynôme et de fonctions rationnelles. Utiliser le nombre dérivé (voir cours de 1ère S) Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

21 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction