Algèbre de BOOLE Laurent JEANPIERRE D’après le cours de Pascal FOUGERAY IUT de CAEN – Campus 3.

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1 Algèbre de BOOLE Laurent JEANPIERRE D’après le cours de Pascal FOUGERAY IUT de CAEN – Campus 3

2 Contenu du cours Introduction Portes logiques de base Propriétés intéressantes Résolution d’un problème logique Équivalence entre circuits

3 Définitions Algèbre binaire Variables booléennes : ne prennent que deux valeurs VRAI ou FAUX. Opérateurs décrits par une table de vérité Opérateurs réalisés par des portes logiques George BOOLE (1815-1864)

4 Contenu du cours Introduction Portes logiques de base Propriétés intéressantes Résolution d’un problème logique Équivalence entre circuits

5 Opération suiveuse (OUI) Table deSymboleÉquation vérité S = X XS 00 11

6 Table deSymboleÉquation vérité _ S = ¬X = X Remarque : La barre oblique est utilisée dans tous les symboles pour représenter la fonction de négation Opération inverseuse (NON) XS 01 10

7 Table deSymboleÉquation vérité S = A.B = A \ B = A ^ B Opération produit (ET) ABS 000 100 010 111

8 Table deSymboleÉquation vérité S = A+B = A [ B = A _ B Opération somme (OU) ABS 000 101 011 111

9 Table deSymboleÉquation vérité ___ ____ ____ S = A.B = A \ B = A ^ B Opération NON-ET (NAND) ABS 001 101 011 110

10 Table deSymboleÉquation vérité ____ ____ ____ S = A+B = A [ B = A _ B Opération NON-OU (NOR) ABS 001 100 010 110

11 Table deSymboleÉquation vérité S = A ⊕ B Opération dilemme (OU exclusif, XOR) ABS 000 101 011 110

12 Table deSymboleÉquation vérité ____ S = A ⊕ B Opération NON OU exclusif (NEXOR) ABS 001 100 010 111

13 Contenu du cours Introduction Portes logiques de base Propriétés intéressantes Résolution d’un problème logique Équivalence entre circuits

14 Propriétés algébriques LoisETOULoisETOU Identité1.A = A0+A = ANullité0.A = 01+A = 1 Associativité (A.B).C = A.(B.C) (A+B)+C = A+(B+C) CommutativitéA.B = B.AA+B = B+A DistributivitéA.(B+C) = A.B + A.CIdempotenceA.A = AA+A = A Inversion Absorption (1) A.(A+B) = AA+A.B = A Absorption (2) Loi de De Morgan

15 Contenu du cours Introduction Portes logiques de base Propriétés intéressantes Résolution d’un problème logique Équivalence entre circuits

16 Les problèmes logiques 1 Problème  Plusieurs variables Expressions possibles : Français Table de vérité Équations Circuits logiques Exemple : Fonction majorité F(A,B,C) = 1  majorité de 1 Table de vérité ABCF 0000 0010 0100 0111 1000 1011 1101 1111

17 Fonction Majorité (équations) F = ¬A. B. C + A. ¬B. C + A. B. ¬C + A. B. C F = A.B + A.C + B.C F = A. (B+C) + B.C … Table de vérité ABCF 0000 0010 0100 0111 1000 1011 1101 1111

18 Tableaux de Karnaugh Représentation compacte (non unique) Couramment utilisé pour 3/4 variables Utilise un code de Gray Cherche les regroupements maximaux F A=0A=1 B=1B=0B=1 C=0 D=0 D=1 C=1 D=0 F=1 F=¬C F=B F=D.¬B F=B.¬D F=C.D.¬B F=B.C.¬A F=A.B.C.¬D

19 Contenu du cours Introduction Portes logiques de base Propriétés intéressantes Résolution d’un problème logique Équivalence entre circuits

20 Équivalence de circuits Il est possible de réaliser toutes les fonctions logiques avec des NAND ou de NOR Il suffit de remarquer que : ¬(X. X) = ¬X et ¬(X + X) = ¬X ¬¬X = X A+B = ¬¬(A+B) = (¬A NAND ¬B) Loi de De Morgan A. B = ¬¬(A. B) = (¬A NOR ¬B) Loi de De Morgan Ce principe est utilisé dans les CPLD et les FPGA (voir le polycopié).

21 Ex : XOR avec des NAND A ⊕ B = A.¬B + B.¬A = ¬(¬(A.¬B). ¬(B.¬A )) A ⊕ B = (A nand ¬B) nand (B nand ¬A) A ⊕ B = (A nand (A nand B)) nand (B nand (A nand B))

22 Ex : NEXOR avec des NOR