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Résolution de problèmes Équipe académique Mathématiques - 2013.

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1 Résolution de problèmes Équipe académique Mathématiques

2 R ÉSOUDRE UN PROBLÈME, P OURQUOI ? Équipe académique Mathématiques

3 Enrichir lactivité mathématique des élèves, leur faire acquérir des compétences plus variées Renforcer lintérêt des élèves pour notre discipline dans des situations en prise avec une certaine réalité Équipe académique Mathématiques

4 R ÉSOUDRE UN PROBLÈME, ÇA CONSISTE EN QUOI ? Équipe académique Mathématiques

5 EXTRAIT DE PROGRAMMES DU LYCÉE modéliser et sengager dans une activité de recherche ; conduire un raisonnement, une démonstration ; pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique ; faire une analyse critique dun résultat, dune démarche ; pratiquer une lecture active de linformation (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (graphique, numérique, algébrique, géométrique) ; utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution dun problème ; communiquer à lécrit et à loral. Équipe académique Mathématiques

6 Chercher, expérimenter, modéliser, en particulier à laide doutils logiciels Choisir et appliquer des techniques de calcul Mettre en œuvre des algorithmes Raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective Expliquer oralement une démarche En particulier Équipe académique Mathématiques

7 Rôle du professeur dans ce cadre: Donner aux élèves : - un temps de recherche suffisant - la possibilité de prendre des initiatives Entendre les élèves, pour les aider à sécouter et à dialoguer entre eux (débat, travail en binômes, en groupes…) Fournir aux élèves des pistes et/ou outils pour répondre à leurs questions concernant le problème posé sans le résoudre à leur place Équipe académique Mathématiques

8 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, LESQUELS ? Équipe académique Mathématiques

9 Transformer des activités classiques en problèmes permettant des prises d'initiatives et développant lautonomie permettant un maximum dactivité mathématique des élèves permettant d'aborder ou dappliquer des nouvelles notions ou de réinvestir des connaissances et/ou méthodes antérieures Favoriser des problèmes qui peuvent être résolus de façons différentes (géométrie, analyse, TICE…) Favoriser des problèmes qui peuvent être résolus de façons différentes (géométrie, analyse, TICE…) Utiliser des problèmes relativement « ouverts » lénoncé est court et facile à comprendre la réponse nest pas évidente aucune méthode de résolution nest sous entendue Équipe académique Mathématiques

10 Dans la mesure du possible, il convient dessayer davoir un équilibre entre les problèmes sinspirant de situations liées à la vie courante, professionnelle et/ou à dautres disciplines et les problèmes purement mathématiques.situations liées à la vie courante Les problèmes doivent pouvoir permettre aux élèves de sexprimer de façon simple et concise (à loral et/ou à lécrit, et afin de favoriser leur autonomie et leurs prises dinitiatives). Équipe académique Mathématiques

11 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, DANS QUEL CADRE ? Équipe académique Mathématiques

12 Classe entière (travail en groupes, débat oral…)débat oral En salle informatique en demi-groupe Devoirs maison Devoirs surveillés (prévoir un problème où le temps de recherche est très raisonnable)Devoirs surveillés Équipe académique Mathématiques

13 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, C OMMENT ? Équipe académique Mathématiques

14 Il faut laisser la place à une véritable recherche des élèves, partie essentielle de lactivité mathématique (cela peut paraitre dans un premier temps chronophage mais le bilan dune bonne recherche peut aisément remplacer un cours « classique » et donc faire aussi gagner du temps) à toutes les idées quils peuvent exprimer pour répondre à des questions amenées par lenseignant, ou par eux-mêmes aux questions des élèves Équipe académique Mathématiques

15 Pour leur laisser la possibilité de se poser eux mêmes de bonnes questions, il faut : faire confiance aux élèves et à leur capacité de sinvestir dans la résolution dun problème accepter de ne pas toujours diriger ou orienter entièrement leurs réponses et leurs stratégies instaurer un climat découte et de dialogue leur fournir le cas échéant des aides et/ou outils pour répondre à ces questions de manière convaincante Équipe académique Mathématiques

16 D IFFÉRENTES POSSIBILITÉS D ORGANISATION Équipe académique Mathématiques

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18 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, LE TRAVAIL DU PROF Équipe académique Mathématiques

19 choisir un problème avec un enjeu choisir un problème avec un enjeu construire le scenario à partir du problème choisir la façon de proposer le problème aux élèves choisir éventuellement les variables didactiques (pas forcément les mêmes pour tous les groupes délèves) vérifier la compréhension de lénoncé reformuler éventuellement la question ou la faire reformuler par les élèves faire traiter un exemple, un cas particulier gérer la classe pour donner le plus de place possible à lactivité mathématique dun maximum délèves Équipe académique Mathématiques

20 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, LE TRAVAIL DE L ÉLÈVE Équipe académique Mathématiques

21 L APPROPRIATION DU PROBLÈME PAR LES ÉLÈVES phase de recherche personnelle : lenseignant peut guider les élèves sans les influencer sur leurs conjectures mais au contraire en aidant à faire naître le questionnement lenseignant peut guider les élèves sans les influencer sur leurs conjectures mais au contraire en aidant à faire naître le questionnement les élèves formulent des conjectures et proposent des stratégies les propositions visiblement fausses sont mises en évidence par des contre-exemples Équipe académique Mathématiques

22 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, EXEMPLE DE DIFFÉRENTIATION Équipe académique Mathématiques

23 S ÉANCES DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DIFFÉRENCIÉS L A ROSACE L ES FONTAINES E CHANGES DE SYSTÈMES (La résolution de systèmes napparait pas dans les contenus de 2 nde mais cette compétence peut être travaillée au travers dactivités diverses en particulier dans la résolution de problèmes) Équipe académique Mathématiques

24 1 ER GROUPE : L A ROSACE Une rosace a la forme ci-dessous, dessinée à laide dun carré ABCD de côté 2 et de demi-cercles. Entre la surface blanche et la surface colorée, quelle est celle qui a la plus grande aire ? Équipe académique Mathématiques

25 2 ÈME GROUPE ( ÉLÈVES AYANT DES DIFFICULTÉS DE LECTURE D ÉNONCÉ ) : D EUX FONTAINES Un bassin est alimenté par deux fontaines dont les débits horaires (exprimés en litres par heure) sont différents mais constants. Si on laisse couler la première fontaine pendant 4 heures et la seconde pendant 3 heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 55 litres. Si on laisse couler la première fontaine pendant 3 heures et la seconde pendant 4 heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 57 litres. Sachant que le bassin peut contenir 320 litres, combien faudra-t-il de temps pour le remplir, si les deux fontaines coulent ensemble pendant le même temps ? Équipe académique Mathématiques

26 3 ÈME ET 4 ÈME GROUPES : E CHANGES DE SYSTÈMES Ecrire lénoncé dun problème qui peut amener à la résolution dun système déquations. Modalités de mise en œuvre: donné à deux groupes différents délèves relativement faibles le groupe 3 donne à résoudre au groupe 4 son problème et réciproquement travail sur les contenus, les savoir-faire et les compétences. Équipe académique Mathématiques

27 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, ET AMENER DES CONTENUS Équipe académique Mathématiques

28 E N AMONT DE LA SÉANCE choisir un problème en lien avec les notions à introduire et si possible illustrant lintérêt de cette notion choisir un problème en lien avec les notions à introduire et si possible illustrant lintérêt de cette notion pré-requis nécessaires énoncé du problème plutôt ouvert anticiper les aides possibles à apporter aux élèves démarrage, déblocage(s)… questions possibles des élèves point(s) technique(s) délicat(s) Équipe académique Mathématiques

29 R ÉSOLUTION DU PROBLÈME ET INSTITUTIONNALISATION mise en évidence de nouveaux éléments de savoir (notion(s), technique(s), méthode(s)…) utilisés au cours de la résolution et de lintérêt et lapport en regard des autres méthodes qui ont éventuellement émergé. reformulation écrite par les élèves, avec laide du professeur, des connaissances nouvelles acquises en fin de séquence. Équipe académique Mathématiques

30 R ÉSOUDRE DES PROBLÈMES, POUR METTRE EN ŒUVRE DES MÉTHODES (deux exemples : 1H de recherche pour chaque et une heure de bilan global) (deux exemples : 1H de recherche pour chaque et une heure de bilan global) Équipe académique Mathématiques

31 Contenus (pas de formalisation excessive) En amont : Résoudre des problèmes qui accrochent les élèves et qui nécessitent les contenus du programme et justifier leur pertinence en situation En aval : Résoudre des problèmes avec un enjeu qui mettent en œuvre et montrent lintérêt des contenus étudiés Équipe académique Mathématiques

32 A LERTE À M ALIBU (Tel que nous le poserions…) Sur une plage de Malibu, le maître-nageur Mitch utilise une corde de 160 mètres de longueur et deux bouées pour délimiter une zone de baignade de forme rectangulaire. Il se demande où placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus grande aire possible. (Tel que nous lavons trouvé) On note x la longueur AB en mètres. Daprès Les maths au quotidien 2 ème édition Ellipses

33 L ÉCHANGE ARGUMENTÉ ( DÉBAT ) AUTOUR DES PROPOSITIONS ÉLABORÉES Communication des solutions élaborées, des réponses apportées, des résultats obtenus, des interrogations qui demeurent. Ne pas rejeter les solutions qui ne concernent pas la nouvelle notion. Confrontation des propositions, débat autour de leur validité, recherche darguments. Cet échange peut se terminer par le constat quil existe plusieurs voies pour parvenir au résultat attendu et par lélaboration collective de preuves. Quand une réponse fait lunanimité un protocole de démonstration si nécessaire est suggéré. Équipe académique Mathématiques

34 A STÉRIX Équipe académique Mathématiques

35 L E FIL A LINGE Un fil à linge est tendu entre deux poteaux verticaux de 1,80 mètres de hauteur. Le fil est un petit peu trop long, puisque sa longueur excède de 10 centimètres la distance séparant les deux poteaux. On pend, sur un cintre, au milieu du fil, une jupe. La longueur totale (cintre compris) est de 1 mètre. Le problème est le suivant : La jupe risque-t-elle d'être en contact avec le sol ? 1)Faire une figure (précise !) dans le cas où la distance entre les deux poteaux est de 2 mètres (échelle 1/20). La jupe touche-t-elle le sol dans ce cas ? 2) Si on augmente la distance entre les poteaux (la longueur du fil étant toujours supérieure de 10 centimètres à cette distance), pensez-vous que la jupe risque de toucher le sol ? Et si on diminue la distance ? 3) Démontrer ou invalider cette conjecture. Équipe académique Mathématiques Représentation de la situation : Si on appelle x la distance AB.

36 ABONNEMENTS Un magazine est vendu uniquement sur abonnement annuel depuis Le directeur commercial a rassemblé ci-dessous les données liées aux ventes : 1) Si le prix est porté à 90 en 2013, à quel nombre dabonnés pourrait-on sattendre ? 2) Comment estimer le prix qui amènerait personnes à sabonner ? Équipe académique Mathématiques Année Prix de labonnement (en euros) Nombre dabonnés

37 D RAPEAU (2 H DE RECHERCHE ) Un drapeau a la forme suivante : Le rectangle OABC a pour longueur 6 dm et largeur 4 dm. K est le milieu du segment [AB]. Quelle est la part de laire colorée par rapport à laire totale ? Équipe académique Mathématiques

38 VERRE A MOITIE PLEIN ( DONNÉ EN DEVOIR À LA MAISON ) Un verre a une forme conique. La hauteur de la partie conique est 10 cm et le diamètre douverture du cône est 6 cm. Avec de leau, on souhaite remplir le verre jusquà la moitié de son volume. Jusquà quelle hauteur doit-on verser leau? Vous décrirez toutes les étapes de votre démarche, les essais entrepris, même sils nont pas abouti, et le détail des calculs effectués. Équipe académique Mathématiques U NE SOLUTION D ÉLÈVE « Le volume du cône est r²h/3 94,2 cm 3. On divise le volume par 2 vu que lon veut le verre à moitié plein donc V 47,1 cm 3. Le coefficient de réduction est 1/2 pour le triangle, et donc (1/2) 3 pour le cône. Mais alors le volume est divisé par 8 : cest trop ! La partie basse du verre est plus étroite que la partie haute, donc la solution est supérieure à 5. On reprend tout… En fait, cest le contraire : le coefficient de réduction de la hauteur, en le mettant au cube, doit être égal au coefficient de réduction du volume. On a donc x 3 1/2 et je pense que la touche 3 de ma calculatrice me donne le résultat comme pour la racine carrée. On obtient x 0,794, donc, la hauteur du verre étant 10, h 0,794x10 7,94 cm. Cest la hauteur cherchée. »

39 F ORFAITS SMS Tata Yoyo, qui a un grand chapeau, compare trois forfaits SMS mensuels: Forfait A : fixe de 20 quel que soit le nombre de SMS envoyés. Forfait B : 0,15 par SMS envoyé. Forfait C : 12 fixe et 0,05 par SMS envoyé. Aider Tata Yoyo à choisir le forfait le plus avantageux selon le nombre de SMS quelle enverra. Équipe académique Mathématiques

40 L E DÉBAT Le professeur rentre dans la classe et écrit les deux égalités suivantes : (a+b)² a²+2ab+b² (a+b) 3 a 3 +3ab +b 3 « Que pensez-vous de ces deux égalités ? » Équipe académique Mathématiques

41 O PTIMISATION Un triangle isocèle a pour périmètre 1 dm. On souhaite que son aire soit la plus grande possible. En décrivant votre démarche, recherchez les dimensions et laire dun tel triangle. Voici la solution proposée par un élève: « Je résous le problème avec le logiciel GEOGEBRA: je construis la figure avec un curseur a entre 0 et 1, qui représente la longueur des deux côtés égaux, la troisième longueur est alors 1 2a. Je ne peux construire le triangle, à laide de cercles, que si a est entre 0,25 et 0,5. Je demande laire du triangle et, en faisant varier la valeur du curseur, jobtiens une aire maximale de 0,04808 dm² si a=0,33 dm, soit le tiers du périmètre. Il faut donc que le triangle soit équilatéral pour avoir une aire maximale qui est alors égale à 0,04808 dm². » Équipe académique Mathématiques

42 L ES BIDONS Chez un vigneron, on peut acheter du vin au litre. Dans ce cas, le vin est conditionné dans des cubitainers dune capacité de 5 litres. Le vin est vendu 2,50 le litre et un cubitainer vide est vendu 1,50. Proposer une méthode permettant de déterminer le prix en fonction de la quantité achetée et inversement. Aide(s) éventuelle(s) 1)Calculer le prix quun client devra payer pour 2 litres achetés, puis pour 5 litres et 7 litres. 2)On dispose de 35. Combien de litres de vin peut-on acheter ? Équipe académique Mathématiques

43 E N STATISTIQUES Max, qui a 18 ans, veut partir en vacances et il aimerait y rencontrer des jeunes comme lui. Le voyagiste lui communique la moyenne dâge de deux groupes possibles de 6 personnes : 18 ans pour lun et 29 ans pour lautre. Max choisit bien sûr le premier ! Proposer un cas dans lequel Max naurait pas fait le bon choix. Équipe académique Mathématiques

44 S UITE ET FIN … On dispose dun carré de côté 1. Etape 1 : on colore la moitié du carré. Etape 2 : on colore la moitié de la partie non colorée. Et ainsi de suite… Peut-on, par cette méthode, arriver à un moment donné à colorier tout le carré initial de côté 1 ? Équipe académique Mathématiques

45 O PTIMISATION Mr Choco est directeur d'un supermarché. Il achète à une usine, des boîtes de chocolats au prix de 5 la boîte. Il revend ses boîtes dans son magasin à 13,60 la boîte. Habituellement, il en vend par semaine. Mr Choco réalise une étude de marché qui montre que toute baisse du prix de 10 centimes fait augmenter la vente de 100 boîtes par semaine. On veut aider Mr Choco à fixer le prix de vente de la boîte de chocolats afin de réaliser un bénéfice maximum. Équipe académique Mathématiques L A CARTE Une carte de vœux de forme rectangulaire de dimensions 8 cm sur 10 cm, comporte un carré et un rectangle colorés comme sur la figure. Comme ces cartes de vœux seront imprimées en grande quantité, on souhaite que la partie blanche soit la plus grande possible afin de minimiser les coûts dimpression. Comment faire ?

46 A GE ET CHOCOLAT Ne me donne pas ton âge ; tu me mentirais certainement... 1) Choisis le nombre de fois que tu voudrais manger du chocolat chaque semaine (plus dune fois et moins de 10 fois). 2) Multiplie ce nombre par deux (pour être plus près de la réalité). 3) Ajoute 5. 4) Multiplie par 50 Oui, tu peux te servir dune calculatrice ! 5) Si tu as déjà célébré ton anniversaire cette année, ajoute Sinon, ajoute Maintenant, soustrais ton année de naissance. Tu devrais obtenir un nombre à trois chiffres. Le premier chiffre est le nombre de fois que tu veux manger du chocolat chaque semaine. Les deux autres chiffres représentent... ton âge! (mais oui, avoue le !!!) Expliquer pourquoi cet algorithme fonctionne. Équipe académique Mathématiques

47 L E LOGO Un logo a la forme dun triangle rectangle isocèle de côté AB AC 8 cm, partagé en quatre zones avec AD EB 3 cm comme sur la figure ci-dessous : Quelle est laire de la zone colorée ? Équipe académique Mathématiques

48 Un randonneur sapprochant dune colline aperçoit, planté au sommet, un bâton. La colline a une hauteur de 25 m, on admet quelle a la forme dune portion de parabole, représentant la fonction f définie par f ( x ) x²+25, et le bâton mesure 1 m. Objectifs : Le randonneur se promène au pied de la colline. Déterminer quelle est la position limite de celui-ci à partir de laquelle il ne voit plus le haut du bâton ? Équipe académique Mathématiques Q UE LA MONTAGNE EST BELLE … Représentation de la situation (Le haut du bâton est représenté par le point B.)

49 S ÉRIE NOIRE DE L ÉTÉ 2005 « 713 morts dans les crashs aériens en 2005, trois fois plus qu'en mai 2006 / L'année 2005 s'annonce comme particulièrement noire pour l'aviation civile internationale. Tout le monde a encore en tête la série de crashs meurtriers survenus durant les dernières vacances estivales, créant un début de phobie populaire. Ainsi, le nombre de victimes de crashs aériens explose, atteignant le nombre de 713 décès (contre 203 l'année précédente). Il y eut au total 18 accidents aériens meurtriers (9 en 2004).» (source : Chocolat.TV) On possède la statistique suivante : en 10 ans, de 1995 à 2004, on compte 376 accidents aériens graves. Quen pensez-vous ? Équipe académique Mathématiques


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