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Quelques excursions en enseignement des mathématiques : et si on séloignait un peu des sentiers battus ? Hassane Squalli Université de Sherbrooke (Qc,

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1 Quelques excursions en enseignement des mathématiques : et si on séloignait un peu des sentiers battus ? Hassane Squalli Université de Sherbrooke (Qc, Canada) Faculté déducation Département de Pédagogie 23 avril 2013 Centre régional des métiers déducation et de formation Rabat-Maroc

2 Plan Station 1: vision des mathématiques et conséquences pour lenseignement et lapprentissage Station 2: la Mathémagie Station 3 : lhistoire Station 4 : le raisonnement mathématique Station 5 : quelques démarches denseignement des mathématiques

3 3 Prenez une ficelle fermée. Quelle forme faut-il lui donner pour quelle entoure la plus grande surface? Calculer: 0 – 4 = ? Théorème Isopérimétrique À périmètre fixé, le cercle est la figure géométrique fermée qui entoure la surface de plus grande aire. Blaise Pascal ( ), dans ses pensées : « Trop de vérité nous étonne ; jen sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro. » Lazare Carnot ( ) mathématicien et ingénieur : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?».

4 Quelle est la morale des deux histoires? Tout être humain possède un génie mathématique. Aider lélève à prendre conscience de son génie mathématique et de le fructifier. Voir lélève non pas comme un automath mais comme un élève ayant un potentiel mathématique à développer. 4 Les mathématiques sont une activité humaine. Les objets mathématiques sont des objets culturels. Lapprentissage des mathématiques est de nature sociale, culturelle et interactionnelle. Les objets culturels jouent le rôle damplificateurs cognitifs.

5 Partageons une même vision des mathématiques On peut distinguer au moins deux visions des mathématiques 1)Une vision statique des mathématiques: une science toute faite =: un ensemble déjà bien organisé de connaissances (une terminologie, des définitions, des règles et des théorèmes) 2)Une vision dynamique des mathématiques: une science qui se fait : une activité humaine Cette activité consiste à mettre en évidence des régularités, étudier divers types de relations et de structures, faire des prévisions… etc. Elle permet de modéliser une partie du réel. Dans cette activité, on utilise une pensée mathématique, comme généraliser, abstraire, prouver, opérer sur linconnue, etc.

6 Quelques composantes essentielles de la pensée mathématique Résoudre des problèmes Définir des problèmes Vérifier, valider, prouver, démontrer Argumenter Généraliser, Abstraire Conjecturer Expérimenter Modéliser Exemplifier, …. 6

7 Conséquences pour lenseignement/lapprentissage Pour apprendre des mathématiques, lélève doit faire des mathématiques : réaliser des activités mathématiques Les connaissances des élèves sont le produit de leurs activités Lenseignant provoque les activités des élèves en leur proposant des tâches mathématiques La qualité de lactivité des élèves dépend en partie de la qualité des tâches mathématiques proposées par lenseignant Importance de proposer aux élèves des tâches mathématiques potentiellement riches en constructions mathématiques

8 Quelques exemples Station 2 La Mathémagie

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14 Reconstruisez les 5 grilles des nombres de 1 à 31 Quelles seraient les grilles pour jouer avec les nombre de 1 à 63 ? Généralisez 14

15 Autres tours Tours 1 Tours 2 : date de naissance Tours 3: un tour de cartes Tours 4: un carré vraiment magique Tours 5 : Bande de Mobïus

16 Station 3 Le raisonnement mathématique

17 Importance du raisonnement en mathématiques Faire des mathématiques, cest essentiellement raisonner, cest-à-dire faire usage de sa raison pour former des idées, des jugements; pour argumenter, convaincre, prouver, réfuter. Conduire un raisonnement consiste à enchaîner des jugements pour aboutir à une conclusion. La mathématique utilise une grande variété de raisonnements fondées sur la raison et lexpérience (raisonnement déductif, inductif, par analogie, par récurrence, par labsurde, par la contraposée, …). Dans ce sens, la mathématique est un mode de pensée. 17

18 Importance du raisonnement dans lapprentissage des mathématiques Raisonner à laide de concepts et de processus mathématiques est une des trois compétences mathématiques dans le programme de formation de lécole québécoise. Pour apprendre les mathématiques, lélève doit faire des mathématiques et donc raisonner, construire, argumenter, valider et communiquer des raisonnements mathématiques. Importance de voir lélève, notamment celui en difficulté, non comme un automath, mais comme une personne qui raisonne et produit des raisonnements (parfois très originaux). Importance dévaluer le raisonnement de lélève et non seulement sa réponse Importance daider les élèves de développer un regard mathématique et dexercer leur raison. 18

19 Il y a trois livres sur une étagère. Tu en retires deux. Combien en as-tu? Tu as trois bonbons. Tu en manges un chaque ½ heure. En combien de temps ne ten restera-t-il plus? Il y a 30 corbeaux dans un champ. Le fermier en tue 4 à un coup de fusil. Combien en reste-t-il? Un billet de cinéma coûte 7$. Combien coûtent 10 billets? Une fleur se fane au bout de 7 jours. Au bout de combien de jours se faneront 10 fleurs? Toi et moi avons chacun 10$. Combien dois-je te donner pour que tu aies 1 dollars de plus que moi?

20 Est-il possible de trouver deux hommes ou deux femmes à Rabat ayant exactement le même nombre de cheveux? Tentez une réponse raisonnée

21 Le principe des tiroirs de Dirichlet Si 11 chemises sont placés dans 10 tiroirs, il y a nécessairement au moins un tiroir qui contient au moins 2 chemises. Solution du problème du nombre de cheveux On sait que le nombre de cheveux dune personne ne dépasse pas À Montréal, il existe plus de femmes. Selon le principe des tiroirs de Dirichlet, il y a au moins 2 femmes qui ont le même nombre de cheveux! (il y en a en fait des centaines) 21

22 Peut-on être sûr que 2 étudiant(e)s du BES aient le même jour danniversaire? Justifiez. N.B. On compte actuellement 497 personnes étudiants au BES 22 Faites résonner votre raisonnement

23 Quels sont les nombres qui ont un nombre impair de diviseurs? 23 Exemplification Raisonner par induction # …16…25… …93… Conjecture: Ce sont les nombres carrés # diviseurs Raisonnement inductif Induction: «Opération mentale qui consiste à remonter des faits à la loi, de cas donnés le plus souvent singuliers ou spéciaux, à une proposition plus générale.» (Le Petit Robert) Cherchez une réponse

24 24 Tout en faisant des essais, on tente de trouver des raisons qui nous conduiraient à la loi générale. Exemple: - il faut exclure les nombres premiers (ils ont tous 2 diviseurs) - les nombres de la forme p 2 où p est premier ont 3 diviseurs : 1, p et p 2. - Pourquoi 9 a un nombre impair de diviseurs? 1 et 9 sont des diviseurs triviaux (1 et n toujours des diviseurs de n). Il reste le 3 seul. Pourquoi ny a-t-il pas un autre diviseur associé à 3? Parce que 3 fois 3 vaut 9. Ok le 3 compte deux fois. Les diviseurs dun nombre n sont symétriquement placés par rapport àn. Quand n est entier, c-à-d n carré parfait, il est un diviseur de n; sinon il ne lest pas. Donc, seuls les carrées parfaits ont un nombre impair de diviseurs. Raisonnement déductif Raisonner par déduction Déduction: Procédé de pensée par lequel on conclut d'une ou de plusieurs propositions données à une proposition qui en résulte, en vertu de règles logiques. (Le Petit Robert)

25 25 Raisonner à laide dune visualisation … + 99 = ? 5 2 = Réponse: 50 2 = 2500

26 Raisonner à laide dune visualisation (4 –1) x (n – 1) x 3 +2 fois 3 +3 fois 3 Chaîne de carrés dallumettes On fabrique des chaînes de carrés à laide dallumettes. Trouvez la règle qui montre comment le nombre dallumettes dépend du nombre de carrés Faites-le maintenant

27 Raisonner en sappuyant sur une régularité numérique 27 Méthode de Gauss : Alors jeune enfant fréquentant une classe de la petite école, Gauss (célèbre mathématicien suisse né en 1889) devait, en guise de punition, calculer la fastidieuse somme … Le maître de Gauss fût surpris quand ce dernier revint quelques minutes plus tard annonçant, à raison, que la somme vaut: 5050 Comment a-t-il fait? Cherchez maintenant La somme cherchée est donc 50 x 101 = 5050

28 Importance de dégager lidée principale dun raisonnement Permet de raisonner par analogie Lidée de Gauss consiste à doubler la somme en inversant les termes … …. ….. …. …... Le nombre de points = (5 x 6)/2 Nombres triangulaires Voici les 3 premiers nombres triangulaires. De combien de points est formé le 5e? Trouver une règle donnant le nombre de points de nimporte quel nombre triangulaire. Justifiez votre prédiction..... …. Doubler la somme Inverser les termes

29 Le contexte comme support au raisonnement Un échiquier (un caré formée de 8x8=64 cases) contient un grain de blé dans la première case, 2 dans la deuxième, 4 dans la troisième, et ainsi de suite. Chaque case contient le double de grains de blé de la case précédente. Quel est le nombre total de grains de blé posés sur léchiquier? 29 Cherchez maintenant Le problème des grains de blé sur léchiquier

30 Le contexte comme support au raisonnement Le nombre total de grains de blé est donné par la somme: … Pour résoudre ce problème, inventons un autre problème «équivalent» utilisant un contexte dans lequel on peut raisonner autrement. Tournoi de tennis Dans un tournoi de tennis, il y a 2 64 joueurs. Le tournoi se joue selon le principe de lélimination directe. Combien de matchs incluant la finale ont été joués durant ce tournoi? 30 Cherchez maintenant Le problème des grains de blé sur léchiquier

31 Premier raisonnement Au premier tour, il y a eu autant de matchs que la moitié du nombre des joueurs, cest-à-dire 2 64 /2 = = 2 63 matchs, au deuxième la moitié de ce nombre soit 2 62 et ainsi de suite. Le nombre de matchs durant ce tournoi incluant la final est donc : … Deuxième raisonnement Puisque à chaque match un et un seul joueur se trouve éliminé et quen tout il y a 2 64 – 1 joueurs éliminés, le nombre de matchs joués durant le tournoi incluant la finale est 2 64 – 1. Doù: … = 2 64 – 1

32 Une histoire de pizza, ou comment manger une pizza de manière mathématique Calculer 32 Commandez une pizza chez pizza-math! Mangez en la moitié; puis la moitié de ce qui reste, encore la moitié de ce qui reste; faîtes la même chose encore trois autres fois. Quelle part de pizza reste-t-il? Quelle part de pizza vous aurez mangé en tout? Réponse: Mangez votre pizza maintenant Bonne appétit! Mangez votre pizza maintenant Bonne appétit!

33 33 En mangeant une autre pizza, calculez Réponse après le clic De quelle manière mangeriez-vous une pizza pour calculer la somme: Réponse : en invitant une amie à la partager équitablement avec vous; la pizza est coupée en trois, chacun prend un tiers; le reste est coupé en trois, chacun mange un tiers du reste et ainsi de suite. En tout, chacun aura mangé la moitié de la pizza moins la moitié de ce qui reste. La somme cherchée vaut donc

34 Station 3 Lhistoire des mathématiques

35 1. Le bâton de Gerbert Vous êtes archéologue. Lors dune fouille sur un site, vous découvrez un bâton droit dune longueur égale approximativement à votre taille. À côté, un manuscrit datant du 10 e siècle à peu près, vous arrivez à décrypter ce qui y est écrit : Bâton de Gerbert servant à mesurer la hauteur dédifices. Vous êtes intrigué(e), vous vous demandez comment Gerbert opérait pour mesurer la hauteur dun édifice avec ce bâton uniquement!

36 2. La hauteur des pyramides On raconte que Thalès pouvait mesurer la hauteur dune pyramide par un moyen ingénieux exploitant lombre portée sur le sol de la pyramide. Pouvez-vous découvrir la méthode de Thalès?

37 Station 4: Quelques démarches denseignement

38 Quest-ce qui caractérise la démarche de recherche dans lactivité mathématique? Très schématiquement, les mathématiques, à tous les niveaux, consistent en 45 % dobservation, 45 % de démarche expérimentale et 10 % de démonstration. (Martin Andler, mathématicien français) Deux types de démarches se distinguent La démarche expérimentale La démarche de modélisation

39 Quest-ce quune expérience en mathématiques ? On peut distinguer plusieurs types d'expériences en mathématiques. Voici quelques exemples. Arithmétique : calculer numériquement plusieurs chiffres significatifs après la virgule de lécriture décimale dune fraction 1/7 (disons) (expérience). Observer la suite des chiffres et chercher si des motifs apparaissent ou si, au contraire, le développement semble «au hasard». (1/7 = ….. ) (observer lexpérience) Avec un regard mathématique suffisamment entraîné, lélève peut apercevoir la régularité et formuler la conjecture que le motif se répète indéfiniment. (Formuler une conjecture) Lélève peut tenter de prouver la conjecture. Il peut fonder sa conviction sur le fait que dans lexécution de lalgorithme de la division de 1 par 7, après avoir obtenu les 6 restes différents possibles, le 7e est égal au premier (1), le 8e va donc être le même que le second, le 9e est identique au troisième et ainsi de suite. (prouver la conjecture)

40 Quest-ce quune expérience en mathématiques ? Géométrie : Dessiner des figures. Par exemple dessiner un triangle quelconque. Tracer soigneusement les hauteurs issues de chacun des sommets. Constater qu'elles se coupent en un même point. Puis le démontrer (c'est un théorème ancien). Probabilité fréquentielle : Réaliser une expérience aléatoire. Par exemple, lancer deux dés et observer le total des points sur les deux faces du dessus. N.B.: La situation peut-être extra- mathématique, par exemple les diagonales dun ananas, la relation entre la longueur de la hauteur dun objet et de son ombre projetée en fonction de lheure de la journée ; etc.

41 La démarche expérimentale en mathématiques Elle comporte plusieurs étapes, qui se répètent éventuellement : (Perrin, 2007) Expérience Observation de lexpérience Formulation de conjectures Tentative de preuve Contre-expérience, production éventuelle de contre-exemples Formulation de nouvelles conjectures Nouvelles tentative de preuve, etc.

42 Quelques caractéristiques de la démarche expérimentale en mathématiques Les objets sur lesquels peut porter une expérience ne sont pas nécessairement matériels, ils peuvent être purement mathématiques. Lexpérience nest pas source de connaissances (vérités mathématiques), mais de conjectures. Lexpérimentation en mathématiques na de sens que par ses articulations avec la formulation et la validation (par la preuve). Le va-et-vient entre théorie et expérience est précisément ce qui caractérise la démarche expérimentale en mathématiques. Que la démarche de preuve aboutisse ou non, elle est propice à la construction de connaissances.

43 Quelques implications pour lenseignement Faire vivre les élèves des expériences propices à la formulation de conjectures (avoir lexpérience du triangle, du cercle, des nombres décimaux, …) Les faire entrer dans des démarches de tentative de preuve Puiser dans les situations mathématiques et en sciences et technologies Développer «lœil mathématique» des élèves … et leur «langue mathématique»

44 Lenseignement par problèmes

45 ProblèmeExercice Situation inconnue Méthode inconnue Création, procédure à inventer Acquisition dun savoir (concept ou méthode, démarche) Ouverture, autonomisation Situation connue Méthode déjà acquise Application, reproduction, exécution mécanique Consolidation dun savoir, entraînement Conditionnement Distinctions entre problème et exercice

46 Caractéristiques du problème Un problème ne doit être ni trop facile, ni trop difficile, il doit se situer dans la zone proximale de développement de lélève. Le rôle de lenseignante ou de lenseignant est primordial. Le problème peut être formulé par les élèves ou par lenseignante ou lenseignant. Dans ce dernier cas, lenseignante ou lenseignant doit faire émerger le problème chez les élèves. Lenseignante ou lenseignant doit déléguer le problème à lélève. Un problème doit poser problème à lélève. Un problème peut être un problème pour un élève et non pour un autre. Un problème cesse dêtre un problème pour lélève quand celui-ci en a trouvé une solution acceptable, ou quand il ne le perçoit plus comme un problème (par exemple, après que lenseignant ou un autre élève lui a montré la procédure à suivre).

47 Les fonctions du problème Les problèmes peuvent avoir plusieurs formes et plusieurs fonctions : construire de nouvelles connaissances (situations-problèmes) et/ou réinvestir des connaissances construites (problèmes dapplications) et/ou développer des capacités de recherche (développer une démarche scientifique).

48 Les situations-problèmes Dans la littérature scientifique, les situations-problèmes sont des problèmes particuliers: pour surmonter la difficulté quelles renferment, lélève doit construire le nouveau savoir conceptuel (contenus, démarche), préalablement identifiées par lenseignant.

49 Pédagogie du problèmePédagogie de la réponse À partir de problèmesÀ partir de démonstrations Vise la compréhension pour faciliter ensuite la performance Vise dabord la performance pour faciliter ensuite la compréhension Guide lélève vers une démarche souple de résolution Entraîne lélève à respecter des séquences de consignes et à les appliquer Caractéristiques dun enseignement par problèmes Lenseignement par problèmes sinscrit dans une pédagogie du problème à distinguer de la pédagogie de la réponse.

50 Pédagogie du problèmePédagogie de la réponse La validation des solutions est dabord sous la responsabilité des élèves Valide les solutions des élèves Insiste sur le pourquoiInsiste sur le comment Considère que le premier rôle de lenseignant est damener les élèves à sengager cognitivement dans la résolution de bons problèmes. Lenseignant ne connaît pas nécessairement toutes les réponses mais il est capable de les vérifier Considère que le premier rôle de lenseignant est de maîtriser les notions fondamentales et dêtre capable de les présenter et démontrer clairement en graduant les difficultés

51 Pédagogie du problèmePédagogie de la réponse Débute un apprentissage nouveau par des problèmes pratiques desquels sont tirées les techniques et symboles utilisés Assure dabord la maîtrise des techniques et les utilise ensuite lors de problèmes dapplication Considère que la résolution de problèmes est le point de départ de la construction des notions Considère la résolution de problèmes consiste en lapplication de formules, définitions et techniques déjà apprises.

52 La démarche de modélisation Cette démarche comporte trois grands moments: 1.Plonger du réel dans le monde des mathématiques; 2.Nager dans le monde des mathématiques; 3.Émerger du monde des mathématiques pour revenir dans le réel en étant porteur dune prévision. (Synge, 1979, p. 331).

53 Exemples de situations de modélisation Extrait des travaux du groupe 6 : mathematical modelling and sciences du Forum canadien sur lenseignement des mathématiques Vancouver report.pdf

54 S1: Balles de caoutchouc Une usine produit des balles de caoutchouc de différents diamètres et compositions. On cherche à trouver un indicateur mathématique pour caractériser la qualité de rebondissement de ces balles. CMEF 2009Mathematical Modelling and Science

55 S2: verre à café On cherche à faire un verre à café en carton qui contiendrait 250 ml. CMEF 2009Mathematical Modelling and Science Donnez les dimensions dun tel verre et la surface de carton nécessaire à sa fabrication R r

56 S3: Frettes dune guitare nNoteL n (cm) 0mi65,5 1fa61,9 2fa #58,4 3sol55,1 4sol #52,1 5la49,2 6la #46,4 7si43,8 8do41,4 9do #39,1 10ré36,9 11ré #34,8 12mi32,8 CMEF 2009Mathematical Modelling and Science L 0 L1L1 L2L2 L3L3 L4L4 Pourquoi les frettes dune guitare sont-elles plus rapprochées lorsquon se dirige vers la caisse de résonance ?

57 S4: Prédictions des marées Voici une prédiction des marées (heures et hauteurs des pleines et basses mers) de Bathurst au Nouveau Brunswick, pour le début de mai 2009 (www.marees.gc.ca )www.marees.gc.ca CMEF 2009Mathematical Modelling and Science Comment pourrait-on utiliser ces « données » pour prédire les marées de la semaine suivante ?

58 S5: Cancer du sein Quelle est la probabilité pour une femme canadienne de développer un cancer du sein au cours de sa vie ? CanadaHommesFemmes Groupes d'âgenombre de personnes (en milliers) Population totale , , ,7 Moins de 5 ans 1 740,2890,7849,5 5 à 9 ans 1 812,4927,2885,2 10 à 14 ans 2 060,51 057,11 003,4 15 à 19 ans 2 197,71 126,21 071,6 20 à 24 ans 2 271,61 161,81 109,9 25 à 29 ans 2 273,31 148,51 124,7 30 à 34 ans 2 242,01 129,61 112,5 35 à 39 ans 2 354,61 185,11 169,5 40 à 44 ans 2 640,11 326,41 313,7 45 à 49 ans 2 711,61 356,41 355,2 50 à 54 ans 2 441,31 209,61 231,7 55 à 59 ans 2 108,81 040,51 068,3 60 à 64 ans 1 698,6834,9863,7 65 à 69 ans 1 274,6614,5660,1 70 à 74 ans 1 047,9492,2555,7 75 à 79 ans 894,7398,6496,1 80 à 84 ans 650,8257,6393,2 85 à 89 ans 369,3125,5243,7 90 ans et plus 186,249,9136,3 Groupe dâge Nombre de nouveaux cas au Canada selon l'âge Nombre de décès au Canada selon l'âge 0 à 19 ans5- 20 à 29 ans à 39 ans à 49 ans à 59 ans à 69 ans à 79 ans ans et CMEF 2009Mathematical Modelling and Science Statistique Canada - Statistiques canadiennes sur le cancer 2008

59 MERCI!


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