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1 SATELLITES LAGRANGIENS CLUB DES ASTRONOMES AMATEURS DE LAVAL J. François Audet.

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1 1 SATELLITES LAGRANGIENS CLUB DES ASTRONOMES AMATEURS DE LAVAL J. François Audet

2 2 SATELLITES LAGRANGIENS Un peu dhistoire En 1772, le célèbre mathématicien italien-français Joseph- Louis Lagrange ( ) cherchait une méthode simple pour calculer les interactions gravitationnelles entre un nombre arbitraire de corps dans un système. La mécanique Newtonienne (ref : Sir Isaac Newton, 4 Jan 1643 – 31 Mar 1727, qui a publié Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, en 1687) avait conclu que dans un tel système, les corps se comporteraient de façon chaotique, jusquà ce quil y ait collision ou éjection de corps du système. Cest alors quil fit une découverte imprévue…

3 3 SATELLITES LAGRANGIENS Un peu dhistoire En mécanique Newtonienne, les calculs avec un seul corps sont triviaux. Lorsquil y a deux corps, la situation est assez simple, du fait que les deux corps se maintiennent en opposition, de chaque côté de leur centre de masse commun (barycentre). Lorsquil y a plus de deux corps, le problème se complique vite, car il faut calculer les effets de chaque corps sur les autres, en chaque point de lorbite de chacun.

4 4 SATELLITES LAGRANGIENS Un peu dhistoire Lagrange découvrit cinq points, dans lorbite dun petit corps en orbite quasi-circulaire autour dun corps beaucoup plus massif, où un troisième corps de masse quasi-négligeable par rapport à celles des deux autres, subit une force nette nulle de la part des deux autres. Ces points furent nommés points Lagrangiens en honneur de Lagrange. Plus de cent ans plus tard, au début des années 1900, on observa les astéroïdes Troyens, aux points de Lagrange du système Soleil-Jupiter.

5 5 SATELLITES LAGRANGIENS Les cinq points de Lagrange

6 6 SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L1 Un corps qui orbiterait entre le Soleil et la Terre devrait orbiter le Soleil plus rapidement que ne le fait la Terre. Par contre, cette conclusion ne tient pas compte de lattraction de la Terre sur ce corps. Cette attraction a pour effet de diminuer lattraction exercée par le Soleil sur le troisième corps, et de ce fait, son orbite est ralentie. En fait, au point L1, le corps est synchrone avec la période de révolution de la Terre.

7 7 SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L1, suite Le Solar and Heliospheric Observatory (SOHO) est stationné au point L1 du système Soleil-Terre. À cet endroit, lobservatoire SOHO peut toujours voir le Soleil, nétant jamais gêné ni par la Terre, ni par la Lune. De la même façon, une base de ravitaillement pour une base lunaire pourrait être stationnée au point L1 du système Terre-Lune.

8 8 SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L2 De la même façon, un corps qui orbiterait le système Soleil-Terre à lextérieur de lorbite de la Terre devrait avoir une période de révolution plus longue que la Terre. Mais lattraction combinée du Soleil et de la Terre sur lobjet loblige a avoir une période de révolution plus rapide que prévue. Au point L2, la période de révolution dun corps est synchrone avec celle de la Terre autour du Soleil.

9 9 SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L3 Il existe un point, de lautre côté du Soleil, à lopposé de la Terre, où un corps pourrait orbiter autour du Soleil avec une période de révolution égale à celle de la Terre. Cest le point de Lagrange L3.

10 10 SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L4

11 11 SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L4 Si on place un corps sur la même orbite que la Terre autour du Soleil, il suffit de la placer de façon à ce quil soit au sommet dun triangle équilatéral dont la base est la ligne Soleil-Terre. Les distances entre ce corps et le Soleil dune part et entre ce corps et la Terre dautre part étant égales, les forces exercées sur ce corps sont proportionnelles à leur masse respective. Par conséquent, la force résultante ressentie par le troisième corps est orientée vers le barycentre du système constitué par les deux premiers.

12 12 SATELLITES LAGRANGIENS Les points de Lagrange L4 et L5

13 13 SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L5 Alors que le point L4 se trouve devant la Terre dans son orbite, il existe un point derrière la Terre, où le même équilibre de forces existe. Cest le point L5. Il est à noter quà cause du fait que les points L4 et L5 forment des triangles équilatéraux avec la ligne reliant les deux masses principales, ils se trouvent à 60° devant la masse secondaire (pour L4) et 60° derrière la masse secondaire (pour L5).

14 14 SATELLITES LAGRANGIENS Stabilité des points de Lagrange Les points L1, L2 et L3 sont effectivement des points (infiniment petits). Donc, dès que le corps dévie, si peu soit-il de lemplacement exact de son point de Lagrange L1, L2 ou L3, il est davantage attiré par le Soleil ou par la Terre. De plus, le passage de Vénus, par exemple, perturbera léquilibre de forces, et compromettre la stabilité de ces points. Il faut donc, pour maintenir un corps en L1, L2 ou L3, corriger constamment son orbite.

15 15 SATELLITES LAGRANGIENS Stabilité des points de Lagrange Par conséquent, les points L1, L2 et L3 fournissent des orbites instables. Par contre, les points de Lagrange L4 et L5 ont une dimension non nulle. Un corps situé en L4 ou L5, sil sécarte du point idéal, décrira une petite ellipse fléchie (kidney bean) autour du point L4 ou L5 en question.

16 16 SATELLITES LAGRANGIENS Stabilité des points de Lagrange Pour que les points L4 et L5 soient utilisables (stables), il faut… Que la masse principale soit au moins 25 fois plus importante que la masse secondaire (ceci est trivial dans le cas Soleil-Terre). Que le troisième corps soit de masse négligeable par rapport aux deux autres. Que lorbite du corps secondaire autour du corps principal soit quasi-circulaire.

17 17 SATELLITES LAGRANGIENS Généralisation de la théorie de Lagrange Jusquà maintenant, nous avons discuté du système Soleil-Terre. Nous lavons fait à titre dexemple. En fait, la même logique sapplique partout où une masse secondaire de masse inférieure à 1/25 dune masse principale orbite autour de cette masse principale et où un troisième objet existe, dans le champ de gravitation des deux autres et possède une masse insignifiante par rapport à chacune des deux autres.

18 18 SATELLITES LAGRANGIENS Exemples de satellites Lagrangiens dans la nature Les astéroïdes Troyens occupent les points L4 et L5 du système Soleil–Jupiter. Des objets de la ceinture de Kuiper occupent les points L4 et L5 du système Soleil–Neptune. Les lunes Telesto et Calypso occupent les points L4 et L5 du système Saturne-Tethys. Les lunes Hélène et Polydeuces occupent les points L4 et L5 du système Saturne-Dioné.

19 19 SATELLITES LAGRANGIENS Exemples de satellites Lagrangiens dans la nature …suite On trouve même des nuages de poussière aux points L4 et L5 des systèmes Soleil-Terre et Terre-Lune.

20 20 SATELLITES LAGRANGIENS Autres objets co-orbitaux (…non-Lagrangiens) Terre et 3753 Cruithne Cruithne parcourt deux orbites très proches de celle de la Terre. Lorsquil est sur sa grande orbite, la Terre, en le rattrapant, le tire vers larrière. Ceci le fait descendre sur sa petite orbite (plus rapide), et il repart donc de plus belle sans que la Terre ne lait dépassé. Lorsquil rattrape ensuite la Terre, lattraction de celle-ci le tire vers lavant, ce qui le fait monter sur sa grande orbite (plus lente) et ne rattrape pas la Terre. Comme 3753 Cruithne a une masse négligeable par rapport à celle de la Terre, il na pas deffet mesurable sur lorbite de celle-ci autour du Soleil.

21 21 SATELLITES LAGRANGIENS Autres objets co-orbitaux Epimetheus and Janus. Epimetheus and Janus sadonnent au même jeu que la Terre et 3753 Cruithne. Par contre, comme ils sont de masses équivalentes, ils séchangent leurs orbites et évitent les dépassements.

22 22 SATELLITES LAGRANGIENS Une autre façon de se représenter les points de Lagrange et les forces gravitationnelles qui sy exercent


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