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Atelier Probabilités et statistiques Animation Nouveau programme de Terminale Mai 2012.

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1 Atelier Probabilités et statistiques Animation Nouveau programme de Terminale Mai 2012

2 Quelques problèmes pour se motiver Comment vérifier quune chaîne de production vérifie un cahier des charges ? Peut-on déterminer la probabilité quun enfant porte des vêtements 3 mois dès la naissance ? Comment retrouver la trace des flux migratoires ?

3 Un outil: la loi normale N(0,1) Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée N(0,1) si, pour tous réels a et b tels que a b, on a : Densité de la loi normale

4 La loi normale N( ) Densité de la loi normale

5 La loi normale: exemple dactivité Le périmètre crânien en cm dun enfant de 3 ans suit une la loi normale despérance 49cm et décart-type 1,6 cm. 1)Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien dun enfant de 3 ans soit inférieure à 48 cm ? 2)Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien dun enfant de 3 ans soit comprise entre 45,8 et 52,2 cm ?

6 La loi normale: exemple dactivité Le périmètre crânien en cm dun enfant de 3 ans suit une la loi normale despérance 49cm et décart-type 1,6 cm. 1)Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien dun enfant de 3 ans soit comprise entre 45,8 et 52,2 cm ? 2)Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien dun enfant de 3 ans soit inférieure à 48 cm ?

7 La loi normale: exemple dactivité à modifier X suit une v.a. N(49;1,6²). Avec la calculatrice, on peut évaluer 1. perimetrecranien.ggb 2. ou

8 Comment introduire la loi normale en T ale ?

9 Pour se rassurer: la planche de Galton Planche de Galton

10 Retour à loi binomiale p n tirages avec remise. X nombre de boules rouges distributionbinomiale.xls

11 La loi binomiale: visualisation Distribution dune loi Binomiale TableurTableur GéogebraGéogebra Planche de Galton

12 Distribution de B(38;0,6)

13 X suit la loi binomiale de moyenne E(X) = np=m et décart type. On pose alors =. E(Z) = 0 et σ(Z) = 1 sont indépendants de n et de p. Z est appelée binomiale centrée réduite.

14 Avec Z=. X prend des valeurs entières k dans [0 ; n ] Z prend des valeurs z régulièrement réparties sur et lécart entre deux valeurs consécutives est. La représentation graphique de Z est donc un diagramme en bâtons qui dépend donc de p et de n

15

16 Pour comparer deux variables continues, et donc visualiser un histogramme, à chaque valeur de z on fait correspondre un rectangle vertical dont laire est égale à P(Z=z). La base est un segment de laxe horizontal de longueur ( écart entre deux valeurs consécutives prises par Z ). La hauteur de ce rectangle est donc.

17 Ca marche ! Mais pourquoi ?

18 La loi normale (T ale )

19 Un peu dhistoire… Bernoulli De Moivre Laplace ( ) ( ) ( ) Point commun: Volonté de mesurer aussi précisément que possible les fluctuations dune variable aléatoire binomiale autour de son espérance.

20 Ce que fit Bernoulli… Jacob Bernoulli ( ) Il est lun des premiers à aborder lapproche fréquentielle des probabilités. "Même pour le plus stupide des hommes, linstinct naturel, et sans aucune instruction, ce qui est remarquable, le conduit à être convaincu que plus on fait dobservations, moins le danger de dévier de son but est grand ». Il établit la première version de la loi des grands nombres.

21 Un peu dhistoire… Abraham De Moivre ( ) De Moivre est un protestant qui fut emprisonné suite à la révocation de lEdit de Nantes. Puis, il émigre en Angleterre où il rencontre James Stirling. Formule dite de Stirling (à tort ?): Cest la première rencontre avec la loi normale. De Moivre, qui fréquenta Leibniz et Newton, utilise les techniques de calcul infinitésimal.

22 Un peu dhistoire… Abraham De Moivre ( ) Il utilise laire sous la courbe de Et obtient que Si suit alors « environ 68% des observations sont au plus à un écart-type ». « environ 95% des observations sont au plus à deux écart-types ». Densitenormale.ggb

23 Un peu dhistoire… Abraham De Moivre Cette démonstration figure dans The doctrine of chances (1718). Il généralise ses résultats sans démonstration au cas où.

24 Un peu dhistoire… Pierre-Simon De Laplace ( ) Il démontre que la moyenne arithmétique des erreurs dobservations commises lors de n mesures se comporte approximativement comme une "loi normale"; et lapproximation est dautant plus précise que n est grand. Cest que lon appelle aujourdhui le théorème central-limite, dont le théorème de Moivre –Laplace est un cas particulier. Ce théorème rend la loi normale…centrale !

25 La loi normale Observation du théorème de Moivre-Laplace Distribution Fonction de répartition DistributionFonction de répartition

26 Applications Prendre une décision à partir dun échantillon. Prendre une décision à partir dun échantillon. Estimer une proportion Estimer une proportion


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